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    正態(tài)分布定數(shù)和定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法

    2023-12-09 08:07:42傅惠民郭建超付越帥李子昂
    關(guān)鍵詞:定數(shù)置信置信度

    傅惠民, 郭建超, 付越帥, 李子昂

    (北京航空航天大學(xué) 小樣本技術(shù)研究中心, 北京 100191)

    0 引言

    隨著產(chǎn)品質(zhì)量和可靠性越來越高, 產(chǎn)品壽命越來越長,導(dǎo)致壽命試驗(yàn)所需時(shí)間長、費(fèi)用高,工程上難以承受。因此, 定數(shù)和定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)?zāi)壳耙殉蔀楣こ躺弦活惓S玫膲勖囼?yàn)[1]。定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)是試驗(yàn)達(dá)到事先規(guī)定的失效數(shù)時(shí)停止試驗(yàn),此時(shí)試驗(yàn)停止時(shí)間是隨機(jī)變量;定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)則是試驗(yàn)達(dá)到事先規(guī)定的時(shí)間停止試驗(yàn),此時(shí)得到的失效數(shù)為隨機(jī)變量。 定數(shù)和定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)都不是傳統(tǒng)的完全壽命數(shù)據(jù), 在統(tǒng)計(jì)分析上比較復(fù)雜。

    由于指數(shù)分布具有簡單的數(shù)學(xué)形式和性質(zhì), 其推導(dǎo)和計(jì)算都相對容易,所以人們對于產(chǎn)品壽命遵循指數(shù)分布情況, 已經(jīng)建立了能夠根據(jù)定數(shù)和定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評估的方法, 并廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐中[2]。但是, 對于工程上常見的產(chǎn)品對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布的情況, 還難以根據(jù)定數(shù)和定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評估。 鑒于工程上許多情況產(chǎn)品對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差均為已知[3],因此本文在文獻(xiàn)[4-5]給出的不完全壽命數(shù)據(jù)可靠性評估方法的基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步建立了一種正態(tài)分布定數(shù)和定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法, 能夠根據(jù)定數(shù)或定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)給出產(chǎn)品高置信水平、 高可靠度的可靠壽命單側(cè)置信限或可靠度單側(cè)置信下限, 從而使工程上許多原先無法處理的定數(shù)或定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)得以統(tǒng)計(jì)分析,實(shí)現(xiàn)小樣本可靠性評估。

    1 正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估

    定數(shù)截尾試驗(yàn)是工程上一類常見的重要試驗(yàn), 它要求試驗(yàn)達(dá)到事先規(guī)定的失效數(shù)時(shí)停止試驗(yàn)。 下面給出產(chǎn)品對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布情況下的定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法。

    1.1 定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命評估方法

    設(shè)某產(chǎn)品對數(shù)壽命X=lgN 遵循標(biāo)準(zhǔn)差為σ0(已知)的正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為

    可靠度函數(shù)為

    式中: μ 為對數(shù)壽命均值;Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

    現(xiàn)進(jìn)行了一組n 個(gè)該產(chǎn)品的定數(shù)截尾試驗(yàn), 前r 個(gè)為失效數(shù)據(jù)xi=lgNi,i=1,2,…,r,后n-r 個(gè)為未失效數(shù)據(jù),且xi=xr=lgNr,i=r+1,r+2,…,n。則可以證明,該產(chǎn)品置信度為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命xR單側(cè)置信下限xRL,γ可由下式給出

    其置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信下限NRL,γ則為

    式中:M 根據(jù)數(shù)值計(jì)算精度要求進(jìn)行取值(如104,105,106等),并且應(yīng)使Mγ 為整數(shù)。然后,調(diào)整式(8)中的γ 至某一值γ**,使得式(5)中γ*等于γ,此時(shí)γ**即為所求值。

    對于工程上需要計(jì)算置信度為γ、 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信上限NRU,γ的情況,則將上面公式中的γ 用1-γ 代替即可。

    現(xiàn)證明如下: 首先, 根據(jù)前r 個(gè)失效數(shù)據(jù)xi,i=1,2,…,r, 可以按照完全數(shù)據(jù)處理方法求得該產(chǎn)品置信度為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命xR單側(cè)置信下限為

    滿足

    然后, 利用其余n-r 個(gè)未失效數(shù)據(jù)xi=lgNr,i=r+1,r+2,…,n,對的置信度進(jìn)行Bayes 更新。 即將前r 個(gè)失效數(shù)據(jù)求得的式(10)作為先驗(yàn)分布,并將后n-r 個(gè)未失效數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù),通過Bayes 公式求得后驗(yàn)分布。 由于先驗(yàn)分布直接根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)求得, 所以確保了后驗(yàn)分布的客觀真實(shí)。 更新后的置信度γ*可以表示為

    式中:g(xR)為xR的置信分布[5]。

    因此,可將式(12)和式(13)變換為

    而式(16)和式(17)可以通過下面兩式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算:

    代入式(11),可以得到

    式中:

    最后,調(diào)整式(23)中的置信度γ 至γ**,使得式(20)中的γ*=γ,此時(shí)即可求得該產(chǎn)品置信度為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限為

    將上述證明過程中的置信度換成置信水平, 仍然成立。 證畢!

    1.2 定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠度評估方法

    由置信限曲線的等同性可知, 該產(chǎn)品在給定時(shí)間x=lgN 處置信度為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL,γ為

    2 正態(tài)分布定時(shí)截尾試驗(yàn)可靠性評估

    同樣, 定時(shí)截尾試驗(yàn)也是工程上一類常見的重要試驗(yàn),它要求試驗(yàn)達(dá)到事先規(guī)定的試驗(yàn)時(shí)間停止試驗(yàn)。下面給出產(chǎn)品對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布情況下的定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法。

    2.1 定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命評估方法

    設(shè)某產(chǎn)品對數(shù)壽命X=lgN 遵循標(biāo)準(zhǔn)差為σ0(已知)的正態(tài)分布,如式(1)所示。 現(xiàn)進(jìn)行了一組n 個(gè)該產(chǎn)品的定時(shí)截尾試驗(yàn),前r 個(gè)為失效數(shù)據(jù)xi=lgNi,i=1,2,…,r,后n-r個(gè)為未失效數(shù)據(jù),且xi=x0=lgN0,i=r+1,r+2,…,n,其中N0為試驗(yàn)截尾時(shí)間。 針對定時(shí)截尾試驗(yàn)情況,可將一個(gè)未失效數(shù)據(jù)xr+1=x0看作失效數(shù)據(jù),進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為定數(shù)截尾試驗(yàn)情況進(jìn)行處理, 得到的結(jié)果將偏于保守。 即在式(3)中用r+1 代替r,就可以根據(jù)定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)求得置信水平為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命xR單側(cè)置信下限為

    其置信水平為γ、 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信下限NRL,γ仍由式(4)計(jì)算。

    對于工程上要計(jì)算置信水平為γ, 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信上限NRU,γ的情況,只需將式(6)中的xr換成x0,式(8)中的γ 換成1-γ 即可。

    特別地,當(dāng)定時(shí)截尾壽命數(shù)據(jù)均為未失效數(shù)據(jù)時(shí),該產(chǎn)品置信水平為γ、 可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限為

    2.2 定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠度評估方法

    由置信限曲線的等同性可知,該產(chǎn)品在給定時(shí)間x=lgN處置信水平為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL,γ由下式給出

    3 仿真驗(yàn)證

    本文方法除了嚴(yán)格的理論推導(dǎo)外, 還進(jìn)行了大量的Monte Carlo 模擬仿真驗(yàn)證,其結(jié)果表明:正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法嚴(yán)格滿足置信度要求; 而正態(tài)分布定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法則通常高于置信度,偏于安全,滿足置信水平要求。下面給出仿真方法和幾組仿真結(jié)果。

    仿真驗(yàn)證方法: 設(shè)某產(chǎn)品的對數(shù)壽命遵循正態(tài)分布N(μ,σ02),首先通過Monte Carlo 方法從其對數(shù)壽命母體中進(jìn)行隨機(jī)抽樣, 分別產(chǎn)生該產(chǎn)品定數(shù)或定時(shí)截尾壽命數(shù)據(jù)。 然后根據(jù)本文方法求得其置信水平為γ、可靠度為R 的對數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限xRL,γ,并使之與對數(shù)可靠壽命真值xR=μ-uRσ0進(jìn)行比較。重復(fù)仿真m 次,統(tǒng)計(jì)xRL,γ小于等于xR的頻率作為仿真置信度γ′,比較仿真置信度γ′與設(shè)定的置信度γ,即可驗(yàn)證本文方法的正確性。

    定數(shù)截尾仿真驗(yàn)證:在每次仿真試驗(yàn)中,產(chǎn)生一組定數(shù)截尾壽命數(shù)據(jù),重復(fù)仿真次數(shù)m=50000 次,表1 列出了不同條件下可靠度R=0.999 的定數(shù)截尾仿真驗(yàn)證結(jié)果。可以看到,仿真置信度γ′均非常接近于設(shè)定的置信度γ。倘若增加重復(fù)仿真次數(shù)m, 則仿真置信度γ′將與設(shè)定的置信度γ 完全相等。 表明本文提出的正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命單側(cè)置信下限評估方法滿足置信度要求。

    表1 定數(shù)截尾仿真驗(yàn)證結(jié)果

    定時(shí)截尾仿真驗(yàn)證:在每次仿真試驗(yàn)中,產(chǎn)生一組定時(shí)截尾壽命數(shù)據(jù),重復(fù)仿真次數(shù)m=50000 次,表2 列出了不同條件下可靠度R=0.999 的定時(shí)截尾仿真驗(yàn)證結(jié)果。 可以看到,仿真置信度γ′均高于設(shè)定置信度γ,表明本文提出的正態(tài)分布定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠壽命單側(cè)置信下限評估方法滿足置信水平要求,略偏于保守。 此外,可以發(fā)現(xiàn)隨著截尾時(shí)間的增加, 仿真置信度越加接近于設(shè)定置信度。倘若無限延長截尾時(shí)間,該方法將會(huì)退化為完全數(shù)據(jù)處理方法。

    表2 定時(shí)截尾仿真驗(yàn)證結(jié)果

    4 算例

    已知某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片對數(shù)壽命遵循標(biāo)準(zhǔn)差為σ0=0.15 的正態(tài)分布?,F(xiàn)從一批該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5 個(gè)進(jìn)行振動(dòng)疲勞試驗(yàn), 規(guī)定循環(huán)次數(shù)達(dá)到2×107時(shí)停止試驗(yàn),試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3 所示。下面采用本文方法對該產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行評估。

    表3 某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)

    首先,根據(jù)本文2.1 節(jié)方法,將一個(gè)未失效數(shù)據(jù)N2視為失效。 由式(9),利用失效數(shù)據(jù)Ni(i=1,2)計(jì)算該產(chǎn)品置信水平γ=0.95、 可靠度R=0.9987 的可靠壽命單側(cè)置信下限為

    最后,調(diào)整式(23)中的置信水平γ=0.95 至γ**=0.36,使得γ*=γ。 根據(jù)式(26)和式(4)可計(jì)算該產(chǎn)品置信水平γ=0.95,可靠度R=0.9987 的可靠壽命單側(cè)置信下限NRL,γ為

    5 結(jié)論

    提出一種正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法,能夠根據(jù)定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)評估產(chǎn)品高置信度、高可靠度的可靠壽命單側(cè)置信限, 以及給定時(shí)刻下高置信度的可靠度單側(cè)置信下限, 解決了長期以來正態(tài)分布定數(shù)截尾數(shù)據(jù)難以進(jìn)行可靠性評估的問題。

    針對工程上常見的正態(tài)分布定時(shí)截尾壽命試驗(yàn),進(jìn)一步建立一種正態(tài)分布定時(shí)截尾數(shù)據(jù)可靠性評估方法,使工程上許多原先無法處理的定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)得以統(tǒng)計(jì)分析,實(shí)現(xiàn)小樣本可靠性評估。

    嚴(yán)格的理論推導(dǎo)和大量的Monte Carlo 模擬仿真,證明了本文方法的正確性。

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