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      Chen 混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真及其電路實(shí)現(xiàn)

      2023-12-08 12:31:32蔣逢靈劉賢群
      電子制作 2023年22期
      關(guān)鍵詞:時序運(yùn)算數(shù)值

      蔣逢靈,劉賢群

      (1.湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖南株洲,412006;2.湖南省高鐵運(yùn)行安全保障工程技術(shù)研究中心,湖南株洲,412006)

      混沌系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng),具有隨機(jī)性、遍歷性以及初值敏感等特征,系統(tǒng)軌跡表現(xiàn)出及其的不確定性,非常適合于在安全通信[1]、密鑰加密算法[2]以及圖像處理[3]等方面中的應(yīng)用,已經(jīng)成為一門熱門的學(xué)科研究。混沌系統(tǒng)經(jīng)歷了不同階段的研究與發(fā)展,前期階段主要關(guān)注混沌現(xiàn)象的揭示、混沌系統(tǒng)模型的搭建以及混沌理論的確定,而后期階段的研究工作重點(diǎn)傾向于混沌模型的搭建與仿真、混沌理論的延伸以及混沌理論的應(yīng)用等。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,仿真技術(shù)已經(jīng)成為科學(xué)研究中不可缺少的技術(shù)手段,利用仿真技術(shù)輔助科學(xué)研究,有助力縮短科學(xué)研究的周期,解決科學(xué)問題,降低科學(xué)研究的成本及風(fēng)險[8]。Matlab/Simulink軟件擁有強(qiáng)大的線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的分析功能,非常適合于混沌系統(tǒng)的研究,能夠完成混沌系統(tǒng)的建模、仿真和分析等。并且混沌系統(tǒng)的動態(tài)仿真與電路實(shí)現(xiàn),是認(rèn)識混沌、應(yīng)用混沌的基礎(chǔ)。1983 年,美國華裔科學(xué)家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏電路,證實(shí)了利用電子電路實(shí)現(xiàn)混沌現(xiàn)象的電路模型,開創(chuàng)了混沌電路產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的先河[4]。隨后研究者們利用電路元器件參數(shù)變化可調(diào)的便利,再通過運(yùn)算放大器加減法、比例運(yùn)算以及微分電路等實(shí)現(xiàn)了混沌電路,誕生了Chua’s 混沌電路[5],Lorenz 混沌電路[6]、Chen 混沌電路[7]等混沌電路模型,這些研究成果為后來研究者研究混沌、分析混沌特性以及混沌應(yīng)用提供了更多的參考價值。

      根據(jù)Chen 混沌系統(tǒng)的微分方程,給出了系統(tǒng)方程的仿真建模流程,采用Matlab/Simulink 軟件對Chen 混沌系統(tǒng)進(jìn)行建模和仿真,通過觀測器觀測到了系統(tǒng)的混沌相空間吸引子和混沌時序圖。最后利用電路原理,在Multisim 中搭建Chen 混沌系統(tǒng)模型進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn)仿真,結(jié)果表明系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象,實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了混沌電路同樣是混沌的,與前面動態(tài)仿真結(jié)果完全吻合。文中利用動態(tài)仿真和電路實(shí)現(xiàn)揭示了混沌現(xiàn)象,把抽象的混沌理論,復(fù)雜的混沌動態(tài)狀態(tài)該仿真通過仿真軟件簡明、直觀的展示,有利于為從事混沌理論及應(yīng)用研究提供很好的參考價值,為混沌系統(tǒng)及實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了新途徑。

      1 Chen 混沌系統(tǒng)的Matlab 仿真

      Chen 混沌系統(tǒng),與Loren 系統(tǒng)、Chua’s 系統(tǒng)和Rssler 系統(tǒng)都是最具有代表性的混沌系統(tǒng)[9],其中Chen系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

      其中x,y,z為系統(tǒng)變量,常數(shù)a,b,c系統(tǒng)(1)的參數(shù),在電路實(shí)現(xiàn)中可以通過改變電阻的取值改變常數(shù)的值。

      Matlab 數(shù)值仿真就是根據(jù)系統(tǒng)(1)的數(shù)學(xué)表達(dá)式通過軟件程序的編寫,將數(shù)學(xué)公式抽象化的理論知識通過計(jì)算機(jī)的處理圖形化或者數(shù)值化,解決復(fù)雜問題的分析,但其缺點(diǎn)是受制于仿真速度較慢,以及無法演化系統(tǒng)的動態(tài)仿真過程,只能得到最終的輸出結(jié)果。其具體的仿真思路如圖1 所示,首先在Matlab 中編寫M 文件,將系統(tǒng)狀態(tài)方程的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換,通過編程語言設(shè)置參數(shù)和初始值等參數(shù),輸出系統(tǒng)圖形,最后根據(jù)輸出相圖分析系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng)。

      圖1 Matlab 數(shù)值仿真流程

      以整數(shù)階Chen 混沌系統(tǒng)為例,在數(shù)值仿真參數(shù)設(shè)定中取系統(tǒng)(1)的初始值x(0)=10,y(0)=10,z(0)=10,a=35,b=3,c=28,在Matlab 中運(yùn)行程序,輸出Chen系統(tǒng)的三維相空間吸引子如圖2 所示。

      圖2 Chen 系統(tǒng)三維相空間吸引子

      2 Chen 混沌系統(tǒng)的Simulink 動態(tài)仿真

      Simulink 是Matlab 軟件中重要的組成部分之一,具有功能強(qiáng)大,使用簡單方便的優(yōu)點(diǎn),是一種有效的可視化仿真工具,非常適合于動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模、仿真與分析,不需要編寫大量復(fù)雜的程序,只需要根據(jù)系統(tǒng)表達(dá)式建立模塊化模型,并且仿真效果直觀,非常適合于復(fù)雜非線性系統(tǒng)的仿真分析。

      Simulink 有數(shù)十種以上的功能集合,文中對系統(tǒng)(1)進(jìn)行動態(tài)數(shù)值仿真主要用到Simulink 功能集中“Simulink Library Browser”,里面涵蓋了系統(tǒng)建模、函數(shù)調(diào)用、運(yùn)放、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及狀態(tài)監(jiān)控等功能。具體流程如圖3 所示。

      圖3 Simulink 數(shù)值仿真流程

      在Simulink中建立Chen 系統(tǒng)的仿真模型如圖4所示。

      圖4 Chen 系統(tǒng)Simulink 數(shù)值仿真模型

      圖3 中Gain 表示數(shù)乘放大,對應(yīng)系統(tǒng)(1)中的a,b,c,可以通過修改Gain 的值進(jìn)行改變系統(tǒng)參數(shù)的值。Product 表示變量的乘法“X”運(yùn)算,“1/S”表示積分。仿真設(shè)置參數(shù)a=35,b=3,c=28,運(yùn)行仿真時間50,通過觀測器觀察系統(tǒng)的二維空間相圖如圖5所示,x,y 相的時序圖如圖6 所示,從圖5 和圖6 發(fā)現(xiàn)Chen 系統(tǒng)是混沌的。

      圖5 Chen 系統(tǒng)x-y 相圖

      圖6 x,y 的時序圖

      3 Chen 混沌系統(tǒng)的電路仿真

      混沌系統(tǒng)的動態(tài)仿真研究是基于計(jì)算機(jī)仿真手段分析混沌特征的重要手段,而混沌系統(tǒng)電路實(shí)驗(yàn)是混沌系統(tǒng)在實(shí)際工程中應(yīng)用需要解決的問題?;煦缦到y(tǒng)因?yàn)槌跏贾得舾械奶匦?,一點(diǎn)點(diǎn)細(xì)微的差別,導(dǎo)致結(jié)果天壤之別,對實(shí)際電路實(shí)驗(yàn)提出了極其苛刻的要求,需要高精度、高可靠的實(shí)驗(yàn)元器件。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的法陣,構(gòu)造出很多輔助演示研究的仿真平臺,其中Multisim 電路仿真平臺就能很好地解決混沌電路的仿真問題,能夠獲得效果顯著的系統(tǒng)仿真結(jié)果。

      基于電路原理知識,根據(jù)Chen 混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式,利用運(yùn)算放大器虛短和虛斷的原理設(shè)計(jì)系統(tǒng)的電路模型,其中運(yùn)算放大器(LF347BD)主要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的加減計(jì)算、變量的反相器設(shè)計(jì)以及微分方程等運(yùn)算,模擬乘法器AD633 實(shí)現(xiàn)Chen 混沌系統(tǒng)的非線性變量的運(yùn)算如圖7 所示。

      圖7 系統(tǒng)電路原圖

      運(yùn)算放大器電壓等級如圖7 所示,取±18V。為了有效的對系統(tǒng)電路進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),這里將輸出變量的信號縮小到原理的1/10,設(shè)變量 u=10x1,v=10x2,w=10x3,其輸出結(jié)果不會影響系統(tǒng)的性能,令u=x,v=y,w=z,則系統(tǒng)(1)變換為:

      根據(jù)電路理論以及電器元器件的運(yùn)算,設(shè)計(jì)出仿真電路為:

      由式(2)和式(3)可得:

      由式(4)和式(5),取系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示。

      表1 Chen混沌系統(tǒng)電路參數(shù)

      由Chen 混沌系統(tǒng)參數(shù)計(jì)算可得到a=35,b=3,c=28,在Multisim電路仿真中對電路進(jìn)行仿真,通過示波器觀察到系統(tǒng)(2)的二維及時序相圖如圖8~圖11 所示,從圖8~圖11中可以看出,系統(tǒng)(2)是混沌的,與系統(tǒng)(1)仿真結(jié)果完全項(xiàng)吻合,驗(yàn)證了電路實(shí)驗(yàn)的可行性與準(zhǔn)確性。

      圖8 x-y 二維空間相

      圖9 x 時序圖

      圖10 y 時序圖

      4 結(jié)束語

      根據(jù)Chen 系統(tǒng)動態(tài)方程,采用Matlab/Simulink 仿真軟件實(shí)現(xiàn)了Chen 混沌系統(tǒng)的建模和動態(tài)仿真,給出了仿真建模的流程,并對模型進(jìn)行仿真分析,系統(tǒng)確實(shí)存在混沌相圖吸引子和時序圖。最后在Mulitisim 中搭建Chen 混沌系統(tǒng)電路模型,設(shè)置合適的電路元器件參數(shù),通過示波器觀察系統(tǒng)是混沌的,并且電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值動態(tài)仿真結(jié)果完全相吻合。文中采用多種仿真軟件對Chen 混沌系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)仿真與電路實(shí)現(xiàn),把混沌系統(tǒng)抽象化的問題具體直觀化,在一定程度上彌補(bǔ)了科學(xué)研究者物理實(shí)現(xiàn)的短板,同時也為后續(xù)從事混沌理論及應(yīng)用研究提供參考價值,為混沌系統(tǒng)和混沌實(shí)驗(yàn)研究提供新途徑。

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