函數(shù)不等式的幾種放縮法

肖 剛 陳彥男 何紅梅 馬 杰

(1.宜賓學(xué)院理學(xué)部,四川 宜賓 644000;2.宜賓三中,四川 宜賓 644000;3.簡陽中學(xué),四川 宜賓 641499)

文章通過將數(shù)列不等式視為函數(shù)不等式,通過構(gòu)造法、聯(lián)想法等方法來證明不等式的成立.

1 巧用Sn構(gòu)造放縮函數(shù)

通過上述方法,我們很容易處理在自主招生和強(qiáng)基計(jì)劃中出現(xiàn)過的類似數(shù)列不等式問題,例如復(fù)旦自主招生試題和上海交大自主招生試題.

2 善用聯(lián)想法構(gòu)造新數(shù)列

對于常見的數(shù)列不等式,通常證明其小于或大于一個常數(shù).此時,可以將常數(shù)聯(lián)想成常見的數(shù)列[2].將數(shù)列不等式的證明轉(zhuǎn)換成兩個通項(xiàng)式的證明.例如卓越聯(lián)盟自主招生考試的壓軸題.

(1)若對?n∈N+,an≥2n成立,求α的取值范圍.

即需要證明:(1)an-2>(n-1)·n或(2)an-2>2n-1,對于(1)式,通過代入特例a1=3,a2=4,a3=6,a4=16,…,很容易否定(1)式不成立.而(2)式代入特殊項(xiàng)均成立.因此,需要證明an-2>2n-1,此式用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.此題只給出第(2)問的詳細(xì)解答過程.

證明(2)當(dāng)n=1時,a1-2≥21-1,即a1≥20+2成立;

假設(shè)當(dāng)n=k時,ak-2≥2k-1,即ak≥2k-1+2成立;