基于高斯過程回歸的線性激光束指向穩(wěn)定優(yōu)化

劉哲生，張冬冬，李洪陽,3，宋立偉，田野

（1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院，安徽 合肥 230026；2.中國科學(xué)院 上海光學(xué)精密機(jī)械研究所 強(qiáng)場激光物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201800；3.同濟(jì)大學(xué) 物理科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200092）

引言

激光在現(xiàn)代科技、軍事國防、工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。光束指向穩(wěn)定性作為激光應(yīng)用的關(guān)鍵參數(shù)之一，在精密制造、醫(yī)療、光學(xué)、光物質(zhì)相互作用等領(lǐng)域?qū)Ξa(chǎn)品質(zhì)量和實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確性至關(guān)重要[1]。尤其是在激光微納加工[2-3]和激光打靶[4-7]過程中，如果激光光束指向不穩(wěn)定，就會導(dǎo)致加工誤差或激光對準(zhǔn)偏差，從而影響到產(chǎn)品的精度和激光物理實(shí)驗(yàn)的可靠性。然而，受激光裝置本身和環(huán)境因素影響，在自由運(yùn)行狀態(tài)下，激光光束的指向會發(fā)生漂移[8-9]。因此，引入激光光束指向穩(wěn)定控制系統(tǒng)成為一個(gè)必要且緊迫的目標(biāo)。

在實(shí)際應(yīng)用中，導(dǎo)致激光指向不穩(wěn)的因素來源于兩個(gè)方面：1）光學(xué)平臺和光學(xué)器件存在熱漂移、機(jī)械振動(dòng)，及其他機(jī)械效應(yīng)導(dǎo)致的各種系統(tǒng)誤差；2）測量誤差、空氣湍流等環(huán)境干擾或人為操作不確定性等隨機(jī)因素會引起隨機(jī)誤差。這兩類誤差均可能對系統(tǒng)的指向穩(wěn)定性造成干擾，尤其激光光程較大時(shí)，一般需要考慮光束的指向穩(wěn)定問題；通過引入主動(dòng)激光光束穩(wěn)定控制系統(tǒng)，可以實(shí)現(xiàn)對激光光束的精確控制和調(diào)整。這種系統(tǒng)一般包括光學(xué)元件、傳感器、反饋控制器等組成部分。光學(xué)元件可以修正激光光束的形狀和方向，傳感器可以實(shí)時(shí)監(jiān)測光束的參數(shù)，而反饋控制器則根據(jù)傳感器的反饋信號對光束指向進(jìn)行精確調(diào)整。激光光束指向穩(wěn)定控制系統(tǒng)的引入不僅可以提高產(chǎn)品光學(xué)實(shí)驗(yàn)精度、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)參數(shù)，還可以降低要求條件、延長設(shè)備使用壽命，并且有助于避免潛在的安全隱患。同時(shí)，該系統(tǒng)的引入也為激光技術(shù)的應(yīng)用提供了更廣闊的空間，促進(jìn)了相關(guān)行業(yè)的發(fā)展。

傳統(tǒng)的指向穩(wěn)定性控制系統(tǒng)主要是采用位置測量-反饋控制的方案。例如：1999年，日本的NEC 公司設(shè)計(jì)的電磁驅(qū)動(dòng)光束校正裝置[10]（widerange fine pointing mechanism,WFPM），其控制精度可達(dá)30 μrad，偏轉(zhuǎn)范圍為140 mrad，相應(yīng)帶寬達(dá)380 Hz。2010年，WU Y 等首次提出了全被動(dòng)光束穩(wěn)定指向技術(shù)，他們針對單次低重頻激光系統(tǒng)提出一種基于圖像旋轉(zhuǎn)與和頻生成的無源光束指向穩(wěn)定方法，該方法在原理驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中將指向穩(wěn)定性提高了2 個(gè)數(shù)量級，達(dá)到10 m rad水平[11]。德國MRC 公司的激光束指向穩(wěn)定控制模塊[12]最大矯正量達(dá)到2 m rad水平，其穩(wěn)定精度與光斑大小相關(guān)。2022年，ZHAO H N 等人使用自動(dòng)準(zhǔn)直的光學(xué)方法，同時(shí)測量徑向、軸向和傾斜誤差運(yùn)動(dòng)，指向穩(wěn)定性達(dá)到 ±25.1 μrad水平[13]；MENG Q X 等人設(shè)計(jì)的3D 打印激光自準(zhǔn)直儀，能夠在長時(shí)間的實(shí)驗(yàn)中以精確的計(jì)時(shí)連續(xù)監(jiān)測并準(zhǔn)直角度，其指向穩(wěn)定性優(yōu)于1 4.5 μrad[14]。以上幾種激光束指向穩(wěn)定控制方法主要采用基于位置檢測-誤差分析-系統(tǒng)調(diào)整-反饋控制的流程，這些步驟通常在實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)中以很高的速度進(jìn)行，以確保對激光束指向的快速響應(yīng)和穩(wěn)定控制。但對于高精度要求的激光系統(tǒng)，還需要更先進(jìn)的控制算法和更高精度的傳感器來實(shí)現(xiàn)精確的指向穩(wěn)定。此外，還需要考慮環(huán)境因素、機(jī)械振動(dòng)、溫度變化[15-16]等外部因素對激光束指向的影響，并采取相應(yīng)的措施進(jìn)行補(bǔ)償和抑制。

影響激光穩(wěn)定性的因素對于復(fù)雜使用環(huán)境和不同的激光系統(tǒng)之間差異巨大，且難以建立準(zhǔn)確的物理模型來精準(zhǔn)描述指向抖動(dòng)的問題。而近年來隨著機(jī)器學(xué)習(xí)[17-19]的發(fā)展，特別是在物理領(lǐng)域的應(yīng)用，比如解決一些多變量耦合的復(fù)雜問題，機(jī)器學(xué)習(xí)有著天生的優(yōu)勢。機(jī)器學(xué)習(xí)首先根據(jù)目標(biāo)問題設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)算法，然后使用統(tǒng)計(jì)方法從輸入的大量數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)提取規(guī)律，總結(jié)數(shù)據(jù)的變化特征，并利用這些模式和規(guī)律來做出預(yù)測或做出決策。

目前，機(jī)器學(xué)習(xí)主要有以下幾種主流算法：

1）網(wǎng)格搜索算法

網(wǎng)格搜索算法[20-21]是一種用于尋找最佳模型超參數(shù)組合的優(yōu)化算法，其優(yōu)點(diǎn)是能夠保證找到全局最優(yōu)解，而不僅僅是局部最優(yōu)解。然而，由于需要遍歷所有可能的超參數(shù)組合，算法的時(shí)間復(fù)雜度較高。

2）隨機(jī)森林

隨機(jī)森林[22]是一種集成學(xué)習(xí)方法，通過組合多個(gè)決策樹來提高預(yù)測準(zhǔn)確性。該方法隨機(jī)選擇樣本和特征進(jìn)行建模，并通過統(tǒng)計(jì)或投票來得出最終預(yù)測結(jié)果。隨機(jī)森林具有較好的泛化能力和解釋性，但需要較多的計(jì)算資源和較為復(fù)雜的超參數(shù)調(diào)優(yōu)。

3）高斯過程回歸

高斯過程回歸[23-24]是統(tǒng)計(jì)學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的一種數(shù)學(xué)工具，用于建模隨機(jī)過程，無需對模型做出任何假設(shè)，其分析過程只需估計(jì)輸入數(shù)據(jù)與輸出之間的關(guān)系。給定一組觀測數(shù)據(jù)，可以使用高斯過程預(yù)測新的未知輸入對應(yīng)的輸出值，并提供相應(yīng)的不確定性估計(jì)。高斯過程回歸具有較高的計(jì)算效率，特別是在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時(shí)效率更加明顯。由于高斯過程的求解可以通過矩陣計(jì)算來進(jìn)行，因此可以利用矩陣運(yùn)算的高效性，從而很好地處理大量數(shù)據(jù)。同時(shí)，高斯過程建?？梢苑奖愕剡M(jìn)行增量學(xué)習(xí)，即在已有數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上隨時(shí)添加新的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，這使得高斯過程回歸在實(shí)時(shí)應(yīng)用和動(dòng)態(tài)環(huán)境中具有適應(yīng)性和實(shí)時(shí)性。

本文為提高激光光束指向穩(wěn)定性，使用機(jī)器學(xué)習(xí)方法，通過采集大量激光束的光束指向位置坐標(biāo)，采用高斯過程回歸算法對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和學(xué)習(xí)，提取激光束抖動(dòng)模式和規(guī)律，最后通過控制策略給出對應(yīng)調(diào)控參數(shù)對激光穩(wěn)定性進(jìn)行控制。相比傳統(tǒng)方法，機(jī)器學(xué)習(xí)方法響應(yīng)時(shí)間更短、控制效果更加精確和穩(wěn)定，預(yù)期未來可應(yīng)用到激光手術(shù)、醫(yī)療影像學(xué)、激光切割焊接、氣象監(jiān)測等領(lǐng)域。

1 實(shí)驗(yàn)原理

本研究中，我們利用高斯過程回歸對復(fù)雜的光束準(zhǔn)直過程進(jìn)行建模。建模過程中，算法優(yōu)化主要包含以下幾個(gè)步驟：

1）定義參數(shù)空間

確定需要優(yōu)化的參數(shù)范圍和步長，對于激光束指向穩(wěn)定性的問題，可能涉及到調(diào)整激光束的位置、角度等參數(shù)。本文中的參數(shù)主要為位置傳感器采集到的光束指向的數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)，包括水平方向和豎直方向上激光束的指向性抖動(dòng)的時(shí)間序列。根據(jù)具體情況，可以確定每個(gè)參數(shù)的范圍和步長。

2）采集并預(yù)處理數(shù)據(jù)

使用位置傳感器采集光束指向的位置數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。劃分訓(xùn)練集和測試集，訓(xùn)練集用于構(gòu)建高斯過程回歸模型，測試集用于驗(yàn)證模型的性能。

3）定義評估函數(shù)

根據(jù)激光束指向穩(wěn)定性的評估指標(biāo)，可以定義1 個(gè)評估函數(shù)。評估函數(shù)的輸入是參數(shù)組合，輸出是評估指標(biāo)的值。評估指標(biāo)可以是激光束的偏移量、方向穩(wěn)定性等。本文中使用的評估指標(biāo)為均方誤差（mean squared error，MSE）。

4）構(gòu)建參數(shù)組合

根據(jù)參數(shù)空間中的范圍和步長，構(gòu)建參數(shù)組合。對于每個(gè)參數(shù)，根據(jù)步長在范圍內(nèi)生成一系列的取值。

5）模型評估

使用測試集的數(shù)據(jù)對構(gòu)建好的高斯過程回歸模型進(jìn)行評估，包括計(jì)算預(yù)測偏差、確定模型的置信區(qū)間等。

6）持續(xù)優(yōu)化

根據(jù)評估指標(biāo)的值，找到最優(yōu)的參數(shù)組合，可以是最小化評估指標(biāo)值或最大化評估指標(biāo)值。根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的結(jié)果和反饋，不斷調(diào)整和優(yōu)化高斯過程回歸模型，從而進(jìn)一步提高激光束指向穩(wěn)定的性能。

實(shí)驗(yàn)步驟流程框圖如圖1 所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)步驟流程框圖Fig.1 Flow block diagram of experimental procedures

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2 所示，該裝置包含鈦寶石飛秒激光器（輸出單脈沖能量為2 mJ，脈沖寬度為30 fs，激光中心波長為800 nm，重復(fù)頻率為1 kHz）、2 個(gè)位置敏感探測器（position sensitive detector,PSD），型號為Thorlab PDQ80A、1 個(gè)集成在計(jì)算機(jī)中的基于現(xiàn)場可編程門陣列（field programmable gate array,FPGA）的高速圖像處理系統(tǒng)，以及2 個(gè)快速轉(zhuǎn)向鏡（fast steering mirror,FSM）。計(jì)算機(jī)中的圖像處理系統(tǒng)從探測器上的參考位置確定中心點(diǎn)偏差，并在捕獲新幀后的3 ms 內(nèi)發(fā)送控制信號，驅(qū)動(dòng)快速轉(zhuǎn)向鏡在1 ms 內(nèi)精確調(diào)整角度。

圖2 基于高斯過程回歸的激光光束指向穩(wěn)定系統(tǒng)裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of laser beam pointing stabilization system device based on Gaussian process regression

首先，我們評估激光系統(tǒng)自由運(yùn)行（無指向性反饋控制）時(shí)經(jīng)f=2 m透鏡聚焦的焦點(diǎn)位置的橫向抖動(dòng)情況和指向抖動(dòng)情況。測量中使用了Ophir SP932U high resolution CCD 相機(jī)（30 萬像素，2048×1536），以24 幀/s（frames per second，F(xiàn)PS）的采樣頻率記錄了5 min 內(nèi)在激光焦平面上的遠(yuǎn)場光斑質(zhì)心的分布變化，如圖3 所示，其中右上角插圖為焦斑圖樣。自由狀態(tài)下，焦斑在100 μm 范圍內(nèi)抖動(dòng)，對應(yīng)的指向性抖動(dòng)的均方差（root mean square,RMS）為水平方向65 μrad，豎直方向85 μrad。這一抖動(dòng)主要來自于系統(tǒng)噪聲和隨機(jī)噪聲，對于指向性敏感的激光物理應(yīng)用，需要通過指向穩(wěn)定性系統(tǒng)加以反饋控制。

圖3 光斑分布散點(diǎn)圖和光斑圖（插圖）Fig.3 Scatter diagram of light spot distribution and light spot image (illustration)

已有的指向穩(wěn)定系統(tǒng)大多采用線性反饋的方法，即基于位置檢測-噪聲計(jì)算-系統(tǒng)調(diào)整-反饋控制的流程，并未系統(tǒng)考慮引起抖動(dòng)的因素及其作用規(guī)律。本研究中采用高斯過程回歸算法，對噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析，能夠?qū)崿F(xiàn)更高精度的指向穩(wěn)定性快速反饋。

在高斯過程回歸模型中，被擬合函數(shù)f(x)可以表示為

式中：x是輸入向量，在這里的值為位置傳感器采集到的光束指向數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)；m(x)則為給定的均值函數(shù)；K(x,x′)為 定義域內(nèi)任取x,x′兩點(diǎn)的協(xié)方差函數(shù)。

在高斯過程回歸中，我們通常用核函數(shù)K(r)表示任意兩點(diǎn)的協(xié)方差的值。常用的核函數(shù)有指數(shù)二次協(xié)方差核函數(shù)：

RBF 核函數(shù)：

Periodic 核函數(shù)：

式中：r表示歐氏空間中x,x′兩點(diǎn)的距離測度；σ，l，α和p都是核函數(shù)中的超參數(shù)。徑向基函數(shù)是最為常用的協(xié)方差函數(shù)之一：

高斯過程的推導(dǎo)與使用何種均值函數(shù)無關(guān)，故我們先假設(shè)m(x)=0，則N個(gè)目標(biāo)點(diǎn)上的高斯先驗(yàn)分布可寫為

假設(shè)x點(diǎn)觀測值y受到方差 σ2影響且相互獨(dú)立，則似然函數(shù)為

接下來，我們可以使用貝葉斯定理計(jì)算其后驗(yàn)分布：

對數(shù)似然估計(jì)為

式中：IN表示大小為N×N的矩陣，其物理意義為時(shí)間序列數(shù)據(jù)中的觀測值，其中N表示時(shí)間點(diǎn)的數(shù)量。

則點(diǎn)x?處對高斯過程回歸f?=f(x?)的預(yù)測可表示為

式 中：E為函數(shù)f(x)的近似 期望值；V為函數(shù)f(x)的近似方差。

通過高斯過程回歸模型，可以得到較高的擬合精度與預(yù)測值對應(yīng)的方差和可信度。通過計(jì)算相關(guān)樣本點(diǎn)，可以擬合得到高維模型。

2 結(jié)果與分析

圖4 分別記錄了準(zhǔn)直前使用傳統(tǒng)線性優(yōu)化方法和高斯過程回歸方法的激光束指向抖動(dòng)的細(xì)節(jié)，其中深色實(shí)線表示水平方向偏差，其零點(diǎn)為在5 000 ms 內(nèi)記錄期間的平均點(diǎn)中心；淺色實(shí)線則表示參考同一參考位置的豎直方向的偏差。其中光斑的中心位置由PSD 采集得出，而角度和像素偏差之間的關(guān)系在測試前進(jìn)行校準(zhǔn)。

圖4 光束指向抖動(dòng)時(shí)域分析圖Fig.4 Time-domain analysis diagram of beam pointing jitter

由圖4 可知，準(zhǔn)直前的光束指向抖動(dòng)RMS 為水平方向上65 μrad，豎直方向上85 μrad；使用線性優(yōu)化方法后的光束指向波動(dòng)RMS 為水平方向上30.8 μrad，豎直方向上45.4 μrad；而使用高斯過程回歸優(yōu)化后的光束指向波動(dòng)RMS 為水平方向上2.3 μrad，豎直方向上3.3 μrad?？梢钥闯?，高斯過程回歸優(yōu)化相較線性優(yōu)化，指向穩(wěn)定性提高了1 個(gè)數(shù)量級以上，其原因主要是高斯過程回歸是一種非參數(shù)方法，它對數(shù)據(jù)沒有嚴(yán)格的假設(shè)或限制，能夠自適應(yīng)地適應(yīng)光束指向波動(dòng)優(yōu)化問題中的各種數(shù)據(jù)分布和非線性關(guān)系。相比之下，線性優(yōu)化方法在處理復(fù)雜光束指向波動(dòng)模型時(shí)可能受到線性假設(shè)的限制而失去準(zhǔn)確性和魯棒性。

為了進(jìn)一步分析影響光束穩(wěn)定性的主要來源，本文根據(jù)測得的時(shí)域指向波動(dòng)，通過快速傅里葉變換（fast Fourier transform，F(xiàn)FT）分析光束指向波動(dòng)的頻譜分布，如圖5 所示。

圖5 光束指向波動(dòng)頻域分析圖Fig.5 Frequency-domain analysis diagram of beam pointing fluctuations

由圖5（a）可以看出，在系統(tǒng)無準(zhǔn)直時(shí)，水平方向上存在著明顯的高低頻振蕩；由圖5（b）可以看出，在系統(tǒng)無準(zhǔn)直時(shí)，豎直方向36 Hz 的振蕩占主導(dǎo)，因此推斷該成分主要來源為實(shí)驗(yàn)光學(xué)平臺的固有振蕩頻率，與前期測試的機(jī)械振動(dòng)頻率范圍相吻合。而高頻相位可能來自于激光放大器中的系統(tǒng)噪聲，由圖5（c），圖5（d），圖5（e）和圖5（f）分析發(fā)現(xiàn)，使用高斯過程回歸優(yōu)化要顯著優(yōu)于傳統(tǒng)線性優(yōu)化方案，其不僅在低頻部分（100 Hz 以內(nèi)）能夠有效消除噪聲影響，在高頻系統(tǒng)中的噪聲優(yōu)化效果也極佳。整體來說，高斯過程回歸優(yōu)化將高頻噪聲幅度降低了1 個(gè)數(shù)量級，將低頻噪聲幅度降低到了約 45%，體現(xiàn)了基于高斯過程回歸的機(jī)器學(xué)習(xí)方案在處理多因素耦合問題上的優(yōu)越性。

3 結(jié)論

本研究提出了一種基于高斯過程回歸的激光束指向穩(wěn)定優(yōu)化系統(tǒng)，用于評估激光系統(tǒng)中的指向抖動(dòng)特性并降低指向抖動(dòng)。該系統(tǒng)使用機(jī)器學(xué)習(xí)方法對采集到的先驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，大大降低了線性光學(xué)系統(tǒng)中激光束指向的系統(tǒng)噪聲；主動(dòng)光束穩(wěn)定系統(tǒng)測試后振幅約為水平方向上2.3 μrad，豎直方向上3.3 μrad。通過提高激光系統(tǒng)的光束指向穩(wěn)定性，可以提高其在作用區(qū)域的平均功率，降低由于指向性抖動(dòng)帶來的噪聲和其它不利影響。未來可以進(jìn)一步優(yōu)化高斯過程回歸模型，提高激光束指向穩(wěn)定性的預(yù)測和優(yōu)化能力。同時(shí)，可以考慮引入其他機(jī)器學(xué)習(xí)算法或優(yōu)化方法，以進(jìn)一步提高系統(tǒng)的性能和穩(wěn)定性。

目前，該系統(tǒng)已在線性飛秒激光系統(tǒng)中取得了良好的效果，未來可以將該系統(tǒng)應(yīng)用于非線性的激光系統(tǒng)中。通過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和改進(jìn)，可以實(shí)現(xiàn)對不同類型激光系統(tǒng)中的指向波動(dòng)進(jìn)行評估和控制；通過提高激光束的指向穩(wěn)定性，可以降低指向波動(dòng)，從而提高激光系統(tǒng)在作用區(qū)域內(nèi)的平均功率。進(jìn)一步的研究可以探索如何最大程度地利用穩(wěn)定的激光束，提高激光系統(tǒng)的輸出功率和性能。未來將該系統(tǒng)應(yīng)用于實(shí)際的激光加工、激光通信和激光雷達(dá)等領(lǐng)域，通過在實(shí)際應(yīng)用場景中驗(yàn)證該系統(tǒng)的效果，驗(yàn)證其實(shí)用性和可行性，并為實(shí)際應(yīng)用提供技術(shù)支持。