航天用大展收比豆莢結(jié)構(gòu)變形規(guī)律模型及其仿真驗(yàn)證

楊碩 張杰 孔寧 王浩威 王曉宇 莊原

摘要：豆莢結(jié)構(gòu)又稱可盤卷管狀伸展臂，是一種具有大展收比的彈性伸展結(jié)構(gòu)，可以被壓縮成板狀裝載在航天器上，需要時(shí)自行展開(kāi)為空心筒，用于展開(kāi)太陽(yáng)翼、衛(wèi)星天線等組件，能夠縮小航天器發(fā)射時(shí)的體積。設(shè)計(jì)豆莢結(jié)構(gòu)尺寸時(shí)需要考慮其力學(xué)性能。針對(duì)豆莢結(jié)構(gòu)收納過(guò)程中力學(xué)特性影響因素變化多、計(jì)算量大等問(wèn)題，利用力學(xué)分析設(shè)計(jì)了一種數(shù)值模型，可以計(jì)算不同尺寸參數(shù)的豆莢結(jié)構(gòu)整個(gè)壓縮過(guò)程中的壓縮力變化。利用有限元分析軟件ABAQUS對(duì)壓縮變形進(jìn)行仿真分析，對(duì)比數(shù)值模型的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果誤差小于10%。通過(guò)數(shù)值模型分析得到了豆莢結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)對(duì)壓縮力的影響。

關(guān)鍵詞：豆莢結(jié)構(gòu)；空間伸展機(jī)構(gòu)；力學(xué)性能；仿真分析

中圖分類號(hào)：V423.6

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2023.07.003

Deformation Law Model and Simulation Verification of Pod Structures with

Large Exhibition-to-receive Ratio for Aerospace Applications

YANG Shuo1 ZHANG Jie1 KONG Ning1 WANG Haowei2 WANG Xiaoyu2 ZHUANG Yuan2

1.School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing，100083

2.Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing，100094

Abstract： The pod rod， also named as CTM（collapsible tubular mast）， was an elastic stretching structure with large exhibition-to-receive ratio. It might be compressed into a plate and loaded on the spacecraft and self-deployed into a hollow cylinder when needed， which might be used to expand solar wings， satellite antennas and other components， and might reduce the volume of spacecraft during launch. The mechanics properties of pod structure should be considered when designing the structure size. A numerical model was established by means of mechanics analysis in order to solve the problems of large amount of calculation， and frequent variation of the factors that affecting mechanics properties. The numerical model might be applied to calculate the compressive force variation during the entire compression processes for the pod structure with different size parameters. The finite element analysis software ABAQUS was used to simulate and analyze the compression deformation. The deviations between the calculation results and the simulation ones are less than 10%. The influences of size parameters of the pod structure on the compressive force were obtained through numerical model analyses.

Key words： pod structure; space deployment mechanism; mechanics property; simulation analysis

0 引言

隨著空間探索任務(wù)的發(fā)展，航天器需要實(shí)現(xiàn)的功能越來(lái)越多，其空間構(gòu)型日趨復(fù)雜化、大型化［1］。豆莢桿等空間伸展機(jī)構(gòu)可以設(shè)計(jì)為在航天器發(fā)射及動(dòng)力飛行階段能緊密可靠地收納于有限的包容空間內(nèi)，而在動(dòng)力飛行階段結(jié)束后在航天器的工作軌道上伸展為預(yù)定的空間構(gòu)型來(lái)工作，提高航天器在發(fā)射階段的強(qiáng)度，節(jié)約發(fā)射成本［2］。

空間伸展機(jī)構(gòu)的概念始于20世紀(jì)60年代，由美國(guó)航空航天局（NASA）率先提出，1975年，空間伸展機(jī)構(gòu)作為磁強(qiáng)計(jì)支架首次用于美國(guó)空軍S23衛(wèi)星后，各類航天器開(kāi)始裝配不同展開(kāi)原理的伸展機(jī)構(gòu)。迄今為止，各國(guó)已經(jīng)在各個(gè)航天器上使用過(guò)數(shù)十種不同種類的空間伸展機(jī)構(gòu)，而空間伸展機(jī)構(gòu)也成為空間科學(xué)技術(shù)的重要研究方向［3］。

豆莢結(jié)構(gòu)是空間伸展機(jī)構(gòu)中薄壁管伸展臂的一種經(jīng)典結(jié)構(gòu)，又被稱為可盤卷管狀伸展臂（collapsible tubular mast，CTM），因其外形又被稱為豆莢桿，本文稱該結(jié)構(gòu)為豆莢結(jié)構(gòu)。NASA、ESA已成功研制并驗(yàn)證多種基于豆莢結(jié)構(gòu)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的太陽(yáng)帆［4-5］，驗(yàn)證了其展收作用的可靠性。由于豆莢結(jié)構(gòu)具有使用方便、性能可靠、蓄能能力強(qiáng)、展收比大等優(yōu)點(diǎn)，在航天領(lǐng)域乃至其他機(jī)械機(jī)構(gòu)領(lǐng)域都有著較為廣泛的使用需求［6-7］。豆莢結(jié)構(gòu)主要依靠曲板結(jié)構(gòu)的壓平與自身彈性伸展來(lái)實(shí)現(xiàn)伸展與壓縮［8］，具有很大的展收比，可以為航天器壓縮大量空間。設(shè)計(jì)薄壁管伸展臂的結(jié)構(gòu)尺寸需要了解其機(jī)械性能，研究薄壁管伸展臂結(jié)構(gòu)壓縮時(shí)的力學(xué)特性。姬鳴［9］設(shè)計(jì)了一種薄壁管伸展臂結(jié)構(gòu)展開(kāi)薄膜天線，并利用有限元軟件校核關(guān)鍵元件的強(qiáng)度與剛度。房光強(qiáng)等［10］采用樣機(jī)實(shí)驗(yàn)判斷了薄壁管伸展臂的收納與展開(kāi)具有較高的可重復(fù)性與穩(wěn)定性。李冰巖等［11］采用數(shù)學(xué)解析的方法判斷薄壁管伸展臂的性能參數(shù)，從而結(jié)合設(shè)計(jì)要求，設(shè)計(jì)伸展臂的幾何參數(shù)。以上研究主要針對(duì)非金屬材料豆莢結(jié)構(gòu)變形過(guò)程進(jìn)行試驗(yàn)研究，可在此基礎(chǔ)上開(kāi)展不同材料豆莢結(jié)構(gòu)變形規(guī)律的研究。

設(shè)計(jì)一種簡(jiǎn)單可靠的計(jì)算方法，根據(jù)豆莢結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)計(jì)算力學(xué)性能，可以節(jié)約大量設(shè)計(jì)時(shí)間與成本。本文在已有研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合幾何分析的方法［12-14］對(duì)豆莢結(jié)構(gòu)的壓縮過(guò)程進(jìn)行力學(xué)解析，得到壓縮力隨壓縮行程變化規(guī)律的計(jì)算方法。利用ABAQUS軟件分析豆莢結(jié)構(gòu)應(yīng)變變化規(guī)律，采用控制變量法仿真不同曲率與厚度的豆莢結(jié)構(gòu)力學(xué)特性，并對(duì)本計(jì)算方法的結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 薄壁管伸展結(jié)構(gòu)壓縮變形分析

本研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)制造的鈦合金豆莢結(jié)構(gòu)外形如圖1所示。該結(jié)構(gòu)主要由八段相同曲率與弧度的弧形板組成，在壓縮過(guò)程中，各個(gè)弧形板的曲率減小，直至被壓為平板，實(shí)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)由立體空心筒構(gòu)型到平面板形構(gòu)型的轉(zhuǎn)變，繼而將被壓扁平的結(jié)構(gòu)卷起來(lái)節(jié)約空間。展開(kāi)時(shí)，在自身彈性力作用下，豆莢結(jié)構(gòu)重新張開(kāi)為壓縮前空心筒的形狀。

由于豆莢結(jié)構(gòu)的變形在軸向上完全相同，因此研究該結(jié)構(gòu)的壓縮力變化特性可以研究其軸向視圖，將變形簡(jiǎn)化為平面變化。豆莢結(jié)構(gòu)壓縮過(guò)程中軸向視圖的具體表現(xiàn)形式見(jiàn)圖2（順序從左到右，再?gòu)纳系较拢??？梢园l(fā)現(xiàn)豆莢桿結(jié)構(gòu)的變形具有對(duì)稱性，表現(xiàn)為橫向與縱向均保持軸對(duì)稱。

2 豆莢結(jié)構(gòu)收納過(guò)程中力學(xué)特性分析

為了得到豆莢結(jié)構(gòu)壓縮過(guò)程的力學(xué)特性，需要對(duì)該結(jié)構(gòu)變形過(guò)程的力學(xué)過(guò)程進(jìn)行解析，得到可以反映豆莢結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的函數(shù)數(shù)值模型。

由于豆莢桿結(jié)構(gòu)在壓縮過(guò)程中保持對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此在研究其力學(xué)特性時(shí)只需要壓縮1/4部分即圖3中ABC弧段。ABC弧段由兩段弧形結(jié)構(gòu)AB與BC組成，兩段結(jié)構(gòu)保持為關(guān)于B點(diǎn)的中心對(duì)稱。縱向壓縮過(guò)程中，豆莢結(jié)構(gòu)受到平板壓縮，在壓縮過(guò)程早期僅在最外側(cè)的A、D兩點(diǎn)受到壓縮力F。而弧段ABC由于在A點(diǎn)與C點(diǎn)均與其他部分連接，無(wú)法彎曲，所以可以視作在A點(diǎn)與C點(diǎn)固定，B點(diǎn)自由的弧形懸臂梁形式，并且在B點(diǎn)受縱向壓縮力F/2（豆莢結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱，一側(cè)只受到壓縮力F的一半）作用，使得弧段的曲率減小，兩端縱向距離減小。

利用上述解析方法可以將豆莢結(jié)構(gòu)壓縮變形過(guò)程簡(jiǎn)化為單段弧形懸臂梁受縱向力變形的過(guò)程，極大地降低了計(jì)算難度。然而這個(gè)方法有其局限性，即該結(jié)構(gòu)的前提是平板壓縮豆莢結(jié)構(gòu)時(shí)，受力點(diǎn)僅作用在A、D兩點(diǎn)。壓縮早期豆莢結(jié)構(gòu)縱向最外側(cè)僅A、D兩點(diǎn)受力，但是隨著壓縮作用的進(jìn)行，A、D兩點(diǎn)處的曲率不斷減小，直至降為0。若按照弧形懸臂梁模型計(jì)算，A、D兩點(diǎn)處的曲率變?yōu)樨?fù)值，形狀上呈現(xiàn)A、D兩點(diǎn)縱向內(nèi)凹，那么此時(shí)壓縮力將無(wú)法作用在A、D兩點(diǎn)，弧形懸臂梁模型不成立。因此，在A、D兩點(diǎn)曲率降為0時(shí)（此時(shí)該處的應(yīng)變值稱為“壓平應(yīng)變值”，數(shù)值為板厚與兩倍曲率半徑的商值），壓縮量稱為“邊界臨界值”，從此處開(kāi)始需要更改力學(xué)模型。

假設(shè)當(dāng)A、D兩點(diǎn)的應(yīng)變達(dá)到壓平應(yīng)變值時(shí)不再升高?；⌒螒冶哿耗Ｐ椭校瑧冶哿汗潭ǘ藨?yīng)變最大，向自由端逐漸降低，隨著壓縮的進(jìn)行，應(yīng)變較低處的應(yīng)變值會(huì)升高至壓平應(yīng)變值后停止。該過(guò)程持續(xù)進(jìn)行，直至整段弧段ABC曲率都減小為0，即被壓為平板，整個(gè)壓縮過(guò)程完成，具體過(guò)程見(jiàn)圖4。在此基礎(chǔ)上，建立了豆莢結(jié)構(gòu)壓縮后期的簡(jiǎn)化力學(xué)變形模型［15］。

需要說(shuō)明的是，圖4中的模型對(duì)變形作了適當(dāng)簡(jiǎn)化，如壓平段在壓平完成前會(huì)具有一定波動(dòng)形狀，也會(huì)產(chǎn)生內(nèi)凹現(xiàn)象。然而由于內(nèi)凹現(xiàn)象輕微，因此忽略該現(xiàn)象的影響。

明確了豆莢結(jié)構(gòu)壓縮變形過(guò)程，可將該變形過(guò)程分為變形前期弧形懸臂梁模型及后期壓平變形模型，下面具體研究豆莢結(jié)構(gòu)變形過(guò)程的力學(xué)特性。

按照上述解析，將一個(gè)豆莢結(jié)構(gòu)視作8塊弧形板AB拼接而成，且8塊弧形板受力情況相同。設(shè)該豆莢結(jié)構(gòu)尺寸如圖5所示，單片弧形板弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，曲率半徑為r1，厚度為h，豆莢結(jié)構(gòu)的軸向長(zhǎng)度為b。

取一片弧形板可以視作一端固定一端自由的懸臂梁，自由端受到縱向力F作用，整個(gè)懸臂梁發(fā)生大撓度變形，省略梁彎曲中性層與幾何中軸之間的差異，如圖6a所示。取弧形板一段弧度為θ1，軸線半徑為r1的梁?jiǎn)卧冃魏蠡《茸優(yōu)棣?，軸線半徑為r2，示意圖見(jiàn)圖6b。

梁?jiǎn)卧脑L(zhǎng)為幾何中軸的弧長(zhǎng)L，變形前后弧長(zhǎng)不變，即

L=r1θ1=r2θ2（1）

則曲率徑向上與幾何中軸距離為y的應(yīng)力σ為

式中，E為懸臂梁材料的彈性模量；ε為y處的應(yīng)變。

計(jì)算截面積為S的梁上的正應(yīng)力FN與彎矩M如下：

將上式變形可得該梁?jiǎn)卧冃魏蟮那拾霃絩2與懸臂梁轉(zhuǎn)角θ與變形后懸臂梁弧長(zhǎng)s之間的關(guān)系：

故本模型中存在如下關(guān)系：

式中，x、y為變形后梁?jiǎn)卧嚯x固定端的橫縱坐標(biāo)位置；xL為變形后梁自由端的橫坐標(biāo)。

坐標(biāo)圖見(jiàn)圖6a。

將式（6）中的第一式對(duì)弧長(zhǎng)s求導(dǎo)，并利用式（6）中的后二式可得

易知懸臂梁壓平前，自由端的轉(zhuǎn)角最大，設(shè)此處轉(zhuǎn)角θ=θL，且曲率半徑不變，即dθ/ds=1/r1，可得積分常數(shù)項(xiàng)：

將式（10）代入式（9）可得

即

式（12）求積分，根據(jù)邊界條件，當(dāng)F=0、θL=60°時(shí)，s=L，可得

其中，c為常數(shù)多項(xiàng)式，完整展開(kāi)式為c=br1ln（（2r1+h）/（2r1－h(huán)））－S，θL可由下式計(jì)算：

式中，Δ為粱中軸的長(zhǎng)度變化量。

采用工程應(yīng)變的定義，則Δ可由下式計(jì)算：

通過(guò)式（14）與式（15）可以計(jì)算得到梁變形后構(gòu)形的最大轉(zhuǎn)角θL以及縱向壓縮力F。由于計(jì)算時(shí)對(duì)中性層位置進(jìn)行簡(jiǎn)化，故壓縮力F在計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上設(shè)置1.1的修正系數(shù)。

計(jì)算得到梁變形后構(gòu)形的最大轉(zhuǎn)角θL，繼而得到變形后梁的橫向、縱向位置xc與yc：

已知弧形板變形后位置，可以利用弧形板變形前的橫向縱向位置計(jì)算豆莢結(jié)構(gòu)橫向縱向的變形量x與y：

上述數(shù)值模型計(jì)算豆莢結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的方法命名為“弧形懸臂梁模型法”，該方法可計(jì)算得到弧形板ABC的應(yīng)力分布情況，發(fā)現(xiàn)自由端應(yīng)力值較小，固定端應(yīng)力值較大。當(dāng)豆莢結(jié)構(gòu)應(yīng)力最大處的曲率為0時(shí)，變形力學(xué)模型如圖7所示。

豆莢結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力處被壓縮至曲率為0時(shí)，隨著變形量的增大，壓平接觸面積逐漸增大。結(jié)合有限元分析結(jié)果作出如下假設(shè)：

（1）未壓平的部分弧形板等效弧度值φ大小可由下式計(jì)算：

（2）壓力集中在變形區(qū)域的邊緣，由于該模型完全繞點(diǎn)O對(duì)稱，所以設(shè)置力臂為l，計(jì)算公式如下：

l=r1sin φ（20）

（3）由于該模型計(jì)算結(jié)果與弧形板懸臂梁計(jì)算結(jié)果在邊界臨界值處y1產(chǎn)生階躍，為使模型更接近真實(shí)變形情況，可以使用弧形板懸臂梁解析公式在邊界臨界值y1的壓縮力F1，對(duì)該模型計(jì)算結(jié)果邊界值進(jìn)行修正，引用式（18）為該模型引入修正系數(shù)μ，μ為式（18）計(jì)算的壓縮力F1與縱向變形量為y1時(shí)式（20）計(jì)算的M/L的比值：

式中，I為梁截面的慣性矩，I=bh3/12。

上述數(shù)值模型計(jì)算豆莢結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的方法稱為“壓平模型法”，將“弧形懸臂梁模型法”與“壓平模型法”兩種模型結(jié)合，可以得到不同縱向壓力F下豆莢結(jié)構(gòu)的縱向變形量y，進(jìn)而確定豆莢結(jié)構(gòu)壓縮過(guò)程的力學(xué)特性。

3 豆莢結(jié)構(gòu)有限元仿真驗(yàn)證

3.1 應(yīng)變與力變化規(guī)律研究

利用ABAQUS建立仿真模型，驗(yàn)證上述豆莢結(jié)構(gòu)力學(xué)特性解析計(jì)算方法的正確性。首先研究豆莢結(jié)構(gòu)在壓縮與回彈過(guò)程中應(yīng)變與力的變化規(guī)律。

模型主要由豆莢結(jié)構(gòu)以及兩塊平板組成，為了方便說(shuō)明，同樣將豆莢結(jié)構(gòu)按圖3進(jìn)行分段。豆莢結(jié)構(gòu)的曲率半徑為5 mm，厚度為0.2 mm，軸向長(zhǎng)度20 mm，具體形狀見(jiàn)圖8。結(jié)構(gòu)材料選用鈦合金，彈性模型為110 GPa，泊松比為0.3，密度為4.5×103 kg/m3。

為模型豆莢結(jié)構(gòu)與上下平板之間、豆莢結(jié)構(gòu)軸內(nèi)表面之間添加表面接觸約束，上平板表面耦合其幾何中心參考點(diǎn)RP-1。分析步類型選擇靜力通用分析，總分析時(shí)間為2 s，每個(gè)分析步長(zhǎng)為0.05 s，每步下壓量相同，在1 s時(shí)達(dá)到最大下壓量，之后結(jié)構(gòu)逐漸回彈，直至2 s時(shí)恢復(fù)到壓縮前的初始狀態(tài)。邊界條件設(shè)置縱向下平板表面完全固定，控制上平板表面耦合點(diǎn)RP-1向下壓縮后回彈，最大下壓量為9.8 mm，壓縮過(guò)程如圖9所示，為方便觀察壓縮過(guò)程的應(yīng)力分布情況，隱藏上平板。

觀察圖9豆莢結(jié)構(gòu)壓縮過(guò)程的應(yīng)變?cè)茍D變化情況，圖9f即豆莢結(jié)構(gòu)被完全壓平時(shí)的應(yīng)變?cè)茍D，最大應(yīng)變值約為2.1%，當(dāng)模型板厚0.2 mm、曲率半徑5 mm時(shí)，計(jì)算壓平應(yīng)變值為2%，兩者結(jié)果相近。分析豆莢結(jié)構(gòu)的壓縮過(guò)程圖9a～圖9f，有限元仿真得到的應(yīng)變分布變化情況與解析模型類似，可分為兩個(gè)階段：

（1）圖9a～圖9d所示階段，壓縮過(guò)程前0.7 s，弧段AB呈現(xiàn)A端應(yīng)變較高，越接近B端應(yīng)變?cè)叫〉姆植记闆r，類似于圖3中A端固定，B端自由并且在B端施加載荷的懸臂梁模型，弧段BC同理。豆莢結(jié)構(gòu)上分布的最大應(yīng)變值隨壓縮行程逐漸升高，在第0.7 s時(shí)應(yīng)變值達(dá)到2.0%，近似等于壓平應(yīng)變值。

（2）圖9d～圖9f所示階段，在后續(xù)0.3s的壓縮過(guò)程中，最大應(yīng)變值沒(méi)有明顯變化，最高達(dá)到2.26%，稍高于壓平應(yīng)變值，說(shuō)明豆莢結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生大幅度內(nèi)凹現(xiàn)象。最大應(yīng)變值的分布范圍從A、C點(diǎn)向B點(diǎn)擴(kuò)散，最終形成圖9f中整個(gè)AB弧段分布相同大小的應(yīng)變情況，與圖4簡(jiǎn)化的變形模型相同。整個(gè)壓縮過(guò)程中，豆莢兩段圓弧AB與BC的應(yīng)變都呈大小相等、正負(fù)相反的對(duì)稱特性。

上述豆莢結(jié)構(gòu)的應(yīng)變?cè)茍D變化情況與第2節(jié)豆莢結(jié)構(gòu)壓縮變化的力學(xué)模型解析基本類似，可以分為曲板應(yīng)變達(dá)到壓平應(yīng)變值前，弧段AB應(yīng)變值一端高一端低的“弧形懸臂梁模型法”，與曲板最大應(yīng)變達(dá)到壓平應(yīng)變值后，逐步使整弧段AB呈現(xiàn)壓平應(yīng)變值的“壓平模型法”。

分析豆莢結(jié)構(gòu)的回彈過(guò)程，如圖9f～圖9h所示。圖9g中，t=1.3 s時(shí)刻的應(yīng)變?cè)茍D與圖9d中t=0.7 s時(shí)刻的圖相似，提取完整壓縮與回彈仿真結(jié)果中上平板表面耦合點(diǎn)RP-1受到的反作用力，其變化規(guī)律如圖10所示。結(jié)果顯示變化曲線關(guān)于t=1 s時(shí)刻的軸對(duì)稱，在壓縮階段，力隨變形行程不斷增大，而在回彈階段是壓縮階段的反過(guò)程，力則以類似的變化速度隨變形行程不斷減小，直至為0。

圖10表明，針對(duì)豆莢結(jié)構(gòu)壓縮過(guò)程中力的變化規(guī)律的數(shù)值模型同樣適用于該結(jié)構(gòu)在回彈過(guò)程中的力學(xué)規(guī)律。反作用力隨壓縮行程而增大、隨回彈行程而減小的特性也驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)不會(huì)在變形過(guò)程中發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。

3.2 力學(xué)特性數(shù)值模型驗(yàn)證

根據(jù)上述關(guān)于豆莢結(jié)構(gòu)的仿真分析，豆莢結(jié)構(gòu)在壓縮變形過(guò)程中，應(yīng)變變化規(guī)律與幾何分析中建立的力學(xué)模型表現(xiàn)形式相同，接下來(lái)提取有限元模型壓縮力變化曲線，與本文推導(dǎo)的函數(shù)關(guān)系式（18）與式（21）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

計(jì)算表1中2種不同規(guī)格尺寸的豆莢結(jié)構(gòu)，材料性能與邊界條件都和3.1節(jié)的設(shè)置相同，進(jìn)行仿真運(yùn)算，提取耦合點(diǎn)RP-1的縱向支反力與縱向位移，將豆莢結(jié)構(gòu)的規(guī)格尺寸參數(shù)與材料性能參數(shù)代入解析所得豆莢結(jié)構(gòu)壓縮過(guò)程中的力學(xué)特性函數(shù)關(guān)系式（18）、式（21）中，可計(jì)算得到縱向壓縮量y與壓縮力F之間的關(guān)系，并進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文提供的解析方法計(jì)算豆莢結(jié)構(gòu)壓縮過(guò)程中的壓縮力與壓縮行程之間關(guān)系的準(zhǔn)確性。

將2種規(guī)格的豆莢結(jié)構(gòu)壓縮力仿真結(jié)果與本文的解析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得到壓縮力變化曲線，如圖11所示。由上述2種規(guī)格的豆莢子結(jié)構(gòu)也可以提取得到其壓縮剛度的變化曲線，如圖12所示。

從圖11與圖12中可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是壓縮力變化曲線還是壓縮剛度變化曲線，本文提供的計(jì)算方法在各個(gè)規(guī)格尺寸的豆莢結(jié)構(gòu)的應(yīng)用上都與仿真曲線相似，厚度為0.1～0.3 mm、曲率半徑為5～15 mm的常規(guī)尺寸豆莢結(jié)構(gòu)計(jì)算與仿真結(jié)果的壓縮力誤差小于10%，驗(yàn)證了本文解析結(jié)果的可靠性。

同時(shí)，豆莢結(jié)構(gòu)在壓縮過(guò)程中，不僅力學(xué)模型具有階段性，壓縮力與壓縮剛度曲線也明顯具有相應(yīng)的階段性：約整個(gè)壓縮過(guò)程前2/3階段內(nèi)，即“懸臂梁模型法”解析段，壓縮力曲線呈穩(wěn)定上升趨勢(shì)，上升斜率即壓縮呈下降趨勢(shì)，但下降值小于初始剛度值1/3；壓縮過(guò)程后1/3階段內(nèi)，即“壓平模型法”解析段，壓縮力與壓縮剛度曲線都急劇升高。

4 豆莢結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)壓縮力的影響

首先分析“懸臂梁模型法”解析段的壓縮力影響關(guān)系，從式（18）中提取關(guān)于縱向壓縮量y的關(guān)系式。由于曲率半徑不同，結(jié)構(gòu)的總壓縮行程不同，所以采用行程量綱一形式，將縱向壓縮量y與曲率半徑r1的比值作為量綱一縱向壓縮量y′：

對(duì)式（22）等式兩邊的轉(zhuǎn)角θ進(jìn)行微分，經(jīng)過(guò)變形得到下式：

式（23）中，相同量綱一縱向壓縮量y′下，弧形板的位置轉(zhuǎn)角θ與最大轉(zhuǎn)角θL均相同，因此決定壓縮力F的大小主要取決于多項(xiàng)式c：

b［r1（ln（2r1+h）－ln（2r1－h(huán)））－h(huán)］（24）

壓縮力F與豆莢桿軸向長(zhǎng)度b成正比毋庸置疑，求解下式中與豆莢結(jié)構(gòu)曲率半徑r1與板厚h之間的關(guān)系：

f（r1，h）=r1（ln（2r1+h）－ln（2r1－h(huán)））－h(huán)（25）

式中，r1為豆莢結(jié)構(gòu)壓縮變形前的曲率半徑，h為板厚，兩者都是正數(shù)且r1遠(yuǎn)大于h。

對(duì)式（25）中的厚度h進(jìn)行多階求導(dǎo)：

將式（25）根據(jù)麥克勞林公式展開(kāi)可得

再分析“壓平模型法”解析段的壓縮力影響關(guān)系，將式（21）變形得

根據(jù)式（27）與式（28）可得，在豆莢結(jié)構(gòu)整個(gè)壓縮過(guò)程中，相同量綱一縱向壓縮量y′下，壓縮力F均與厚度h的立方成正比，與曲率半徑r1的平方成反比。具體驗(yàn)證工況參數(shù)如表2所示。

當(dāng)豆莢結(jié)構(gòu)壓縮行程或量綱一壓縮行程相同時(shí)，使用表2中的尺寸參數(shù)計(jì)算其壓縮力，比較厚度與曲率半徑對(duì)壓縮力的影響，如圖13所示。圖13a橫坐標(biāo)為實(shí)際縱向壓縮行程量，圖13b橫坐標(biāo)采用量綱一形式。

觀察圖13a可得厚度0.3 mm與0.2 mm之間豆莢結(jié)構(gòu)的壓縮力比值η1為3.375，厚度0.3 mm與0.1 mm之間的壓縮力比值η2為27，豆莢結(jié)構(gòu)壓縮力與板厚的立方成正比成立。圖13b中，曲率半徑5 mm與10 mm之間的豆莢結(jié)構(gòu)壓縮力比值m1為4，曲率半徑5 mm與15 mm之間的壓縮力比值m2為9，豆莢結(jié)構(gòu)壓縮力與曲率半徑的平方成反比成立。

5 結(jié)論

本文采用力學(xué)分析建立了一種可用于研究航天用大展收比豆莢結(jié)構(gòu)變形規(guī)律的數(shù)值計(jì)算模型，并采用有限元仿真驗(yàn)證了其模型準(zhǔn)確性，得出結(jié)論如下：

（1）通過(guò)解析法建立豆莢結(jié)構(gòu)壓縮過(guò)程中壓縮力與壓縮行程之間的數(shù)值模型，計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的壓縮力誤差小于10%。在設(shè)計(jì)豆莢結(jié)構(gòu)尺寸時(shí)，使用本數(shù)值模型可節(jié)約大量設(shè)計(jì)時(shí)間與成本。

（2）豆莢結(jié)構(gòu)壓縮過(guò)程前2/3階段內(nèi)，壓縮力呈穩(wěn)定增大趨勢(shì)，壓縮剛度則呈減小趨勢(shì)，減小值小于初始剛度值的1/3；壓縮過(guò)程后1/3階段內(nèi)，壓縮力與壓縮剛度均急劇增大。整個(gè)變形過(guò)程的力學(xué)特性呈現(xiàn)“懸臂梁模型”與“壓平模型”相結(jié)合的變化規(guī)律。

（3）豆莢結(jié)構(gòu)在相同量綱一壓縮行程時(shí)壓縮力的大小與厚度的立方成正比，與曲率半徑的平方成反比。在設(shè)計(jì)豆莢結(jié)構(gòu)尺寸時(shí)，可量化控制厚度與曲率半徑，實(shí)現(xiàn)力學(xué)性能的預(yù)設(shè)計(jì)，可為豆莢結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)工作提供設(shè)計(jì)參照和理論指導(dǎo)。

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