論海底大地控制點(diǎn)GNSS/A 定位聯(lián)合平差方法的原理和應(yīng)用(特邀文章)

王振杰，孫振，趙爽，聶志喜，張世美

( 中國(guó)石油大學(xué)(華東)海洋與空間信息學(xué)院, 山東 青島 266580 )

0 引言

海底大地控制網(wǎng)是海洋導(dǎo)航定位技術(shù)的基礎(chǔ)設(shè)施[1].目前，主要以GNSS 聲學(xué)(GNSS/Acoustic，GNSS/A)定位技術(shù)為主，根據(jù)非差/差分定位模型實(shí)現(xiàn)海底大地控制點(diǎn)的精確標(biāo)定.由于復(fù)雜海洋環(huán)境的影響和水下測(cè)距技術(shù)的限制，海底大地控制點(diǎn)的精確標(biāo)定需要發(fā)展更加完備且高精度的GNSS/A 定位數(shù)據(jù)處理方法[1].國(guó)際大地測(cè)量協(xié)會(huì)(International Association of Geodesy，IAG)于2019 年設(shè)立了海洋大地測(cè)量工作組，目的是推動(dòng)海洋空間基準(zhǔn)與水下定位技術(shù)的發(fā)展[2-3].

為了提高海底大地控制點(diǎn)應(yīng)答器的定位精度，研究學(xué)者先后提出了航跡規(guī)劃、差分定位和附加深度約束等技術(shù)手段.航跡規(guī)劃通過增加觀測(cè)值的冗余性和幾何對(duì)稱性，提高海底應(yīng)答器平面坐標(biāo)的定位精度，但高程方向的定位精度還有待提高[4-5].歷元間差分能夠削弱觀測(cè)值的共模誤差，比如硬件延遲誤差和由海洋長(zhǎng)周期誤差引起的聲速代表性誤差等，提高了海底應(yīng)答器的定位精度，但無法消除由海洋短周期誤差引起的聲速代表性誤差[6-7].基于壓力傳感器提供的深度值，提出了深度差約束的水下定位方法，提高了海底應(yīng)答器垂直方向的定位精度[8-11].但是，這些方法均是將海面換能器的位置作為沒有誤差的已知值，結(jié)合聲學(xué)測(cè)距來計(jì)算海底應(yīng)答器的位置[12].海面換能器位置不可避免的存在定位誤差，由GNSS 定位提供的海面換能器位置在各個(gè)歷元具有不同的定位精度[13].因此，應(yīng)精確評(píng)定由GNSS 定位提供的海面換能器位置精度信息，采用更為合理的數(shù)據(jù)處理模型來減弱聲學(xué)換能器位置誤差對(duì)海底大地控制點(diǎn)定位的影響.

1 傳統(tǒng)GNSS/A 定位平差方法

如圖1 所示，GNSS/A 定位技術(shù)通常借助海面平臺(tái)(如測(cè)量船)實(shí)施水下聲吶測(cè)距來反演海底大地控制點(diǎn)的位置.測(cè)量船上裝載了GNSS 接收機(jī)、姿態(tài)測(cè)量?jī)x和聲學(xué)換能器等設(shè)備.通常采用GNSS 定位技術(shù)，如實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)(real time kinematic，RTK)技術(shù)或者精密單點(diǎn)定位(precise point positioning，PPP)技術(shù)來獲取GNSS 天線位置，然后根據(jù)精密工程測(cè)量方法和船載姿態(tài)儀數(shù)據(jù)，將GNSS 天線位置歸算到換能器信標(biāo)中心位置[14].聲學(xué)換能器向海底應(yīng)答器發(fā)送聲學(xué)信號(hào)并記錄海底應(yīng)答器的回波信息，可得到聲學(xué)換能器至海底應(yīng)答器的傳播時(shí)間，根據(jù)聲速和傳播時(shí)間計(jì)算可得到聲學(xué)換能器至海底應(yīng)答器的聲學(xué)距離.

圖1 GNSS/A 聲學(xué)定位系統(tǒng)示意圖

式中：i=1,2,···,n為觀測(cè)歷元；ρi=cti為海底應(yīng)答器到換能器的觀測(cè)距離，c為聲速，ti為聲信號(hào)單向傳播時(shí)間；f(,Xr)為聲學(xué)換能器至海底應(yīng)答器的幾何距離；為聲學(xué)換能器的坐標(biāo)；Xr=[xr,yr,zr]T是海底應(yīng)答器的坐標(biāo)；εi為觀測(cè)誤差.

忽略海面換能器的位置誤差，將式(1)進(jìn)行線性化，線性化觀測(cè)方程的向量表達(dá)式為

式中：A為設(shè)計(jì)矩陣；dXr=[dxr,dyr,dzr]T

根據(jù)最小二乘原理，由式(2)可得海底應(yīng)答器的坐標(biāo)為

式中，P1聲學(xué)觀測(cè)值的權(quán)陣.

傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法是將海面換能器的位置當(dāng)作沒有誤差的已知值，結(jié)合聲學(xué)測(cè)距來計(jì)算海底應(yīng)答器的位置.然而，海面換能器GNSS 定位在各個(gè)歷元具有不同的精度，在平差過程中，海面換能器的位置誤差會(huì)傳遞給海底待估參數(shù)，降低海底大地控制點(diǎn)的定位精度.為了分析海面位置誤差對(duì)海底應(yīng)答器定位精度的影響，將海面換能器和海底應(yīng)答器的位置參數(shù)均作為待估參數(shù)，我們提出了GNSS/A 定位聯(lián)合平差(joint adjustment,JA)方法[13]，并采用模擬數(shù)據(jù)和淺水區(qū)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，但是該方法存在優(yōu)越性證明方面的不足和無深海數(shù)據(jù)驗(yàn)證的問題.本文進(jìn)一步闡述聯(lián)合平差方法的原理，給出了聯(lián)合平差方法嚴(yán)密的優(yōu)越性證明和精度評(píng)定公式，并采用松花湖淺水?dāng)?shù)據(jù)和南海深水?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證.

2 顧及海面換能器位置誤差的GNSS/A聯(lián)合平差方法

2.1 GNSS/A 聯(lián)合平差的函數(shù)模型

將海面換能器位置和海底應(yīng)答器位置均作為未知參數(shù)，將式(1)線性化可得

假設(shè)測(cè)量船圍繞海底應(yīng)答器做走航運(yùn)動(dòng)，共采集了n個(gè)歷元的觀測(cè)數(shù)據(jù)，則線性化觀測(cè)方程的向量表達(dá)式為

L AdXrεdXs=[dxs,dys,dzs]T

式中： 、、、含義同上；為海面換能器的坐標(biāo)改正數(shù).

將海面換能器位置作為虛擬觀測(cè)，則虛擬觀測(cè)方程為

式中：Lxs為虛擬觀測(cè)值；E3n為3n×3n的塊對(duì)角矩陣，E3n=blkdiag(E,E,···,E)；E為3×3的單位陣；εxs為3n×1的虛擬觀測(cè)誤差.根據(jù)式(6)和式(8)，可建立GNSS/A 聯(lián)合平差的函數(shù)模型

2.2 GNSS/A 聯(lián)合平差的參數(shù)估計(jì)方法

根據(jù)最小二乘原理，由式(9)可得GNSS/A 聯(lián)合平差的法方程為

式中：P1含義同上；Pxs為虛擬觀測(cè)值的權(quán)陣，由換能器GNSS 定位的方差-協(xié)方差信息確定.

若根據(jù)式(10)直接進(jìn)行求解，會(huì)面臨法矩陣計(jì)算量大的問題.假設(shè)海面調(diào)查船共采集了800 個(gè)歷元的觀測(cè)值，法矩陣維數(shù)為2403×2403，且法矩陣的維數(shù)隨著觀測(cè)歷元數(shù)而增加，將會(huì)占用很大的儲(chǔ)存空間和計(jì)算資源.相對(duì)于海面換能器的位置，我們更關(guān)注海底應(yīng)答器的位置.為此，可將法方程進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，消除海面換能器的位置參數(shù)[15].將式(10)第一式左乘以M=-ATP1B(BTP1B+Pxs)-1再與式(10)第二式相加，化簡(jiǎn)可得

根據(jù)式(11)，可得到海底應(yīng)答器的坐標(biāo)改正數(shù)為

由式(12)可以發(fā)現(xiàn)，通過對(duì)法方程進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，消除了海面換能器的位置參數(shù)，直接得到海底應(yīng)答器的位置參數(shù)，解決了由于待估參數(shù)過多引起的計(jì)算量大的問題.

2.3 聯(lián)合平差優(yōu)越性的證明

根據(jù)協(xié)方差傳播律[16]，結(jié)合式(4)，傳統(tǒng)GNSS/A定位方法計(jì)算得到的海底應(yīng)答器的協(xié)方差陣DLS為

式中：S為觀測(cè)值向量；εl為誤差向量；的塊對(duì)角矩陣；P=blkdiagP1,Pxs.根據(jù)最小二乘原理，由式(14)可得GNSS/A 聯(lián)合平差的法方程為

式中：M11=GTPG；M12=GTPH；M21=HTPG；M22=HTPH；W1=GTPS；W2=HTPS.對(duì)式(15)做等價(jià)變換[15]，得：

式中： 0是零矩陣；E4n是4n×4n的單位陣；E3是3×3的單位陣.式(17)的第二式可表達(dá)為

令

則：

E4n-J是冪等矩陣， (E4n-J)TP是對(duì)稱矩陣.

根據(jù)式(23)~(25)，式(22)可改寫為

令

根據(jù)式(26)可得海底應(yīng)答器的坐標(biāo)改正數(shù)為

則海底應(yīng)答器的坐標(biāo)為

根據(jù)式(28)，聯(lián)合式(4)可得

由式(30)可以看出，由聯(lián)合平差計(jì)算得到的海底大地控制點(diǎn)坐標(biāo)的方差-協(xié)方差矩陣的跡小于傳統(tǒng)的GNSS/A 方法.這表明在GNSS/A 定位中，聯(lián)合平差方法能夠提高傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法的精度.這種證明方法將聯(lián)合平差問題轉(zhuǎn)化成了常規(guī)的間接平差問題，證明簡(jiǎn)單，易于理解，不同于文獻(xiàn)[13]采用的拉格朗日極值證明方法.

另外，由式(28)可以看出，海底應(yīng)答器的坐標(biāo)改正數(shù)的計(jì)算公式和間接平差的計(jì)算公式形式上完全類似，這樣就把復(fù)雜的聯(lián)合平差問題轉(zhuǎn)化成了常規(guī)的間接平差問題，根據(jù)式(28)很容易得到嚴(yán)密的精度評(píng)定公式為[16]

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 松花湖數(shù)據(jù)測(cè)試

采用松花湖實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證新方法的有效性.測(cè)量船配備了康斯伯格Simrad EM3000 多波束系統(tǒng)、徠卡GNSS-1200 接收機(jī)、Seatex MRU-05 姿態(tài)測(cè)量裝置、AML 聲速計(jì)和壓力計(jì)等.圖2(a)給出了多波束測(cè)深數(shù)據(jù)，湖底平均深度約為60m.聲速剖面儀獲得的聲速結(jié)構(gòu)如圖2(b)所示，表面聲速為1465.34m/s.采用分層等梯度射線追蹤法進(jìn)行聲線改正.三個(gè)海底應(yīng)答器放置在湖床中，走航船分別對(duì)三個(gè)海底應(yīng)答器進(jìn)行圓走航觀測(cè)，三個(gè)海底應(yīng)答器編號(hào)為C02、C04 和C08.

圖2 湖底地形圖和聲速剖面圖

分別采用傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法(簡(jiǎn)寫為L(zhǎng)S 方法)和聯(lián)合平差法(簡(jiǎn)寫為JA方法)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表1 所示.對(duì)于編號(hào)為C02、C04 和C08 的湖底應(yīng)答器，傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法東(east，E)、北(north，N)、天頂(up，U)三個(gè)方向的均方根(root mean square，RMS)分別為0.0241m、0.0223m 和0.0222m，聯(lián)合平差E、N、U 三個(gè)方向的RMS 分別為0.0232m、0.0146m 和0.0141m，可見傳統(tǒng)GNSS/A 方法的內(nèi)符合精度低于聯(lián)合平差方法.這主要是因?yàn)樵摲椒▽⒑Ｃ鎿Q能器的位置作為沒有誤差的已知值，在平差過程中，海面換能器的位置誤差會(huì)傳遞給湖底待估參數(shù)，降低了湖底大地控制點(diǎn)的定位精度.將壓力傳感器提供的深度值作為真值來驗(yàn)證兩種方法的外符合精度.傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法U 方向的定位偏差分別為0.0291m，0.2642m 和0.1051m，聯(lián)合平差U 方向的定位偏差分別為0.0284m、0.2105m 和0.0823m，相比于傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法，湖底大地控制點(diǎn)的高程定位精度分別提高了2%、20%和22%.由此可知，新方法的外符合精度優(yōu)于傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法.

表1 海底應(yīng)答器定位結(jié)果與精度統(tǒng)計(jì)m

圖3 給出了三個(gè)湖底應(yīng)答器平差后的聲學(xué)測(cè)距殘差值.從圖3 可以看出，聯(lián)合平差方法的聲學(xué)測(cè)距殘差比傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法的殘差更集中.計(jì)算殘差的均方根誤差以評(píng)估湖底大地控制點(diǎn)的精度.對(duì)于編號(hào)為C02、C04 和C08 的湖底大地控制點(diǎn)，聯(lián)合平差方法殘差的RMS 分別為0.0846m、0.0711m 和0.0506m，傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法的殘差RMS 分別為0.0982m、0.0834m 和0.0597m，新方法可以獲得更加穩(wěn)定的解算結(jié)果.

圖3 兩種定位方法的殘差比較圖

3.2 南海數(shù)據(jù)測(cè)試

實(shí)驗(yàn)區(qū)域海底地形平坦，水深約為2000m.在海底布設(shè)了1 個(gè)海底大地控制點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)區(qū)域內(nèi)以圓形航跡對(duì)海底大地控制點(diǎn)進(jìn)行持續(xù)性觀測(cè)，如圖4(a)所示.測(cè)量期間進(jìn)行了聲速剖面測(cè)量，如圖4(b)所示.嚴(yán)格測(cè)定船載聲學(xué)換能器、GNSS 天線在船體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，利用姿態(tài)測(cè)量設(shè)備獲得測(cè)量船姿態(tài)，進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換獲取聲學(xué)換能器的位置.采用分層等梯度射線追蹤法進(jìn)行聲線改正.

分別采用傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法(簡(jiǎn)寫為L(zhǎng)S 方法)和聯(lián)合平差法(簡(jiǎn)寫為JA方法)進(jìn)行解算.表2給出了傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法和聯(lián)合平差定位的計(jì)算結(jié)果及其精度統(tǒng)計(jì)表.由表2 可知，兩種方法在E 方向的定位差值為0.0392m，在N 方向的定位差值為0.0283m，在U 方向的定位差值為0.0830m.傳統(tǒng)方法三個(gè)方向RMS 的平方根為0.1816m，聯(lián)合平差方法三個(gè)方向RMS 的平方根為0.1341m，相對(duì)于傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法，新方法的RMS 降低了26%.

表2 海底應(yīng)答器定位結(jié)果及其精度統(tǒng)計(jì)表m

圖5 給出了兩種定位方法的殘差比較圖和殘差直方圖.殘差直方圖表明，兩種定位方法的聲測(cè)距殘差概率密度都服從正態(tài)分布.根據(jù)殘差直方圖和殘差比較圖可知，聯(lián)合平差方法中的聲學(xué)測(cè)距殘差值比傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法的聲學(xué)測(cè)距殘差值更集中.計(jì)算殘差的RMS 來進(jìn)一步評(píng)估海底大地控制點(diǎn)的定位精度.聯(lián)合平差方法聲學(xué)測(cè)距殘差的RMS 值為0.4959m，傳統(tǒng)的GNSS/A 方法聲學(xué)測(cè)距殘差的RMS 值為0.9016m，與傳統(tǒng)的GNSS/A 定位方法相比，聯(lián)合平差方法的聲學(xué)測(cè)距殘差RMS 值降低了45%.

圖5 兩種定位方法的殘差比較圖和殘差直方圖

4 結(jié)論

綜合本文的研究結(jié)果，可得到如下結(jié)論：

1)針對(duì)聯(lián)合平差方法優(yōu)越性證明方面的不足和無深海數(shù)據(jù)驗(yàn)證的問題，本文對(duì)顧及海面換能器位置誤差的GNSS/A 聯(lián)合平差方法的原理進(jìn)行了深化和分析，給出了間接平差框架下的計(jì)算和精度評(píng)定公式，在間接平差框架下證明了新方法相比于傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法能夠獲取更加穩(wěn)定可靠的參數(shù)估計(jì)解.

2)通過松花湖實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和南海實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，聯(lián)合平差方法考慮了海面換能器位置誤差對(duì)海底大地控制點(diǎn)定位精度的影響，相比于傳統(tǒng)GNSS/A 定位方法，定位精度提高了2%~26%，聲學(xué)測(cè)距殘差更聚集，驗(yàn)證了聯(lián)合平差方法在湖區(qū)和深海區(qū)的應(yīng)用效果.

致謝：特別感謝嶗山實(shí)驗(yàn)室“問海計(jì)劃”項(xiàng)目組及深海試驗(yàn)全體科研人員的合作與支持.