多量子比特WV 糾纏態(tài)在Lipkin-Meshkov-Glick模型下的量子Fisher 信息*

李巖 任志紅

1) (太原師范學(xué)院物理系,晉中 030619)

2) (太原師范學(xué)院,計(jì)算物理與應(yīng)用物理研究所,晉中 030619)

3) (山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院,太原 030031)

量子Fisher 信息在參數(shù)估計(jì)理論和量子精密測量領(lǐng)域扮演著非常重要的角色,不僅可以用來標(biāo)定量子系統(tǒng)的測量精度極限,還可用于有益量子計(jì)量的糾纏態(tài)判定.本文從量子測量的角度出發(fā),對多比特WV 態(tài)(α|WN〉+進(jìn)行研究,通過計(jì)算其在局域操作下和Lipkin-Meshkov-Glick (LMG)非局域操作模型下的量子Fisher 信息,分析其在精密測量方面的表現(xiàn).研究發(fā)現(xiàn): 在局域操作下,隨著參數(shù)α 由0 到1 的變化,多比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息逐漸變大,表明其量子糾纏程度在不斷增加,也體現(xiàn)出更強(qiáng)的量子測量能力.在LMG 非局域操作下,隨著相互作用強(qiáng)度γ 的增大,N=3 量子比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息值趨于穩(wěn)定,幾乎不受參數(shù)α 的影響,而當(dāng)體系量子比特?cái)?shù) N ＞3 時(shí),量子Fisher 信息值會隨參數(shù)α 的變大而變大;當(dāng)參數(shù)α 固定時(shí),多比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息會隨著相互作用強(qiáng)度γ 的增強(qiáng)而變大,呈現(xiàn)出相互作用強(qiáng)度越大,WV 態(tài)的量子測量能力越強(qiáng).

1 引言

作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中重要的信息量,Fisher 信息客觀反映了人們對待估計(jì)參數(shù)(例如相位θ)或物理量(例如重力常數(shù)g)的相關(guān)信息的掌握程度[1–5],其值越大,表明對待估計(jì)參數(shù)認(rèn)識越準(zhǔn)確,這也是精密測量所追求的目的[6–10].在經(jīng)典測量理論中,Fisher 信息用來估計(jì)條件概率相乘所得最大似然函數(shù)(maximum likelihood function)的方差,明確地體現(xiàn)出采集數(shù)據(jù)越多,或樣本越大,待估計(jì)參數(shù)的波動或方差越小,獲取的待估參數(shù)信息量越準(zhǔn)確[11].在量子測量領(lǐng)域,條件概率的獲取方式有所不同,是通過量子算符測量實(shí)現(xiàn)的,對測量算符的優(yōu)化可以幫助我們獲得最大的Fisher 信息量,即量子Fisher 信息[12].

Fisher 信息在量子力學(xué)中的早期拓展是美國物理學(xué)家Wooters 教授[13]在1981 年研究量子態(tài)的統(tǒng)計(jì)距離和希爾伯特空間關(guān)系時(shí)提出的.之后,1994 年美國物理學(xué)家Braunstein 教授和Caves 教授[12]在研究統(tǒng)計(jì)距離和量子態(tài)的幾何量時(shí)給出了更為嚴(yán)格的不確定關(guān)系和量子Fisher信息之間的關(guān)系.2009 年意大利光學(xué)研究所Smerzi 研究員和Pezze 博士[14]首次提出了可以通過量子Fisher 信息來判定有益于量子計(jì)量的量子糾纏,并給出了相關(guān)判據(jù).量子Fisher 信息可以看作是量子態(tài)本身特有的一種屬性,依據(jù)量子態(tài)的幾何學(xué)觀點(diǎn),其反映了量子態(tài)在外界擾動下統(tǒng)計(jì)速度的快慢,而量子糾纏在局域操作擾動下的反應(yīng)速度(或統(tǒng)計(jì)速度)要高于分離態(tài),故可以用來判定量子糾纏[15].近年來,量子Fisher 信息被廣泛地應(yīng)用在量子信息科學(xué)的各個(gè)方面,包括量子計(jì)量學(xué)[6,16,17]、量子相變刻畫[18–21]、量子糾纏及結(jié)構(gòu)判定[14,15,22–26]、量子混沌[27–29]以及量子計(jì)算[30,31]等.借助量子Fisher信息,可以迅速地捕捉或獲取量子態(tài)的相關(guān)信息,為將來開展相關(guān)的技術(shù)應(yīng)用提供理論基礎(chǔ).

多量子比特WV 態(tài),即W 態(tài)和真空態(tài)(vacuum state)的疊加態(tài),

其中,參數(shù)α 和β 滿足關(guān)系α2+β2=1 ,|00...0〉為真空態(tài),|WN〉是常見的多比特W態(tài),可表示為[24]

容易發(fā)現(xiàn),當(dāng)α=0 時(shí),即常見的直積分離態(tài),而當(dāng)α=1時(shí),即N量子比特W 態(tài).這兩種特殊情況的量子Fisher 信息都被大家所熟知,但二者的疊加態(tài)很少被研究.近期,類WV 量子態(tài)被廣泛地用來研究量子糾纏的單配性和多配性,并給出了相應(yīng)的判定依據(jù)[32–35].

本文從量子測量的角度出發(fā),對多量子比特WV態(tài)開展研究,通過計(jì)算其在局域操作和LMG 非局域操作模型下的量子Fisher 信息,探究其在精密測量方面的表現(xiàn).在局域操作下,隨著參數(shù)α 從0 到1 的變化,體系的量子Fisher 信息逐漸增大,表明其量子糾纏程度逐漸變強(qiáng),擁有更好的量子測量能力.在LMG 非局域操作模型下,固定相互作用強(qiáng)度γ,研究了不同比特WV 態(tài)的量子Fisher信息隨參數(shù)α 的變化,發(fā)現(xiàn)隨著相互作用強(qiáng)度γ的變強(qiáng),N=3 量子比特WV 態(tài)的量子Fisher信息近乎不受參數(shù)α 的影響,而N＞3 比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息會隨α 的變大逐漸變大.當(dāng)固定參數(shù)α 時(shí),多比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息隨相互作用強(qiáng)度γ的變強(qiáng)而變大,體現(xiàn)了非局域操作會大大增強(qiáng)WV 態(tài)的量子測量能力.與此同時(shí),也再次驗(yàn)證了當(dāng)相互作用強(qiáng)度γ較大時(shí),N=3 量子比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息受參數(shù)α 的影響很小,這為將來實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)N=3 量子比特WV態(tài)的高精密測量提供了一種理論依據(jù).

2 模型及相關(guān)計(jì)算

2.1 量子Fisher 信息

量子Fisher 信息是經(jīng)典Fisher 信息的量子版本,即考慮量子力學(xué)基本原理后計(jì)算所得的信息量.在無偏差參數(shù)估計(jì)中,Fisher 信息扮演著非常重要的角色,可以給出系統(tǒng)測量精度的理論極限.一般地,針對實(shí)驗(yàn)上獲取的條件概率分布p(μ|θ),其Fisher 信息F(θ) 可以表示為

依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的克拉美羅下界(Cramér-Rao lower bound)[2,3],

其中,m代表試驗(yàn)樣本的次數(shù),當(dāng)m趨于無窮大時(shí),可以得到測量精度的極限.從中容易看出,Fisher 信息值越大,誤差 Δθ越小,參數(shù)估計(jì)就越準(zhǔn)確.

該測量極限也常作為評定待測量子態(tài)是否成為量子增強(qiáng)計(jì)量資源的標(biāo)準(zhǔn)之一[36].

2.2 LMG 模型下的量子Fisher 信息計(jì)算

通常情況下,我們所講的量子Fisher 信息是在局域操作下獲得的,即

在非局域操作下,或包含相互作用的環(huán)境中,操控量子體系的哈密頓量可簡單描述為[23]

這里Vij=Vji代表兩體之間均勻的相互作用強(qiáng)度.依據(jù)純態(tài)量子Fisher 信息計(jì)算公式,LMG 模型下量子態(tài)的量子Fisher 信息可表示為[26]

3 理論計(jì)算與數(shù)值模擬

下面分別在局域操作下和LMG 非局域操作下計(jì)算不同量子比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息,通過對其進(jìn)行分析研究,探究其在精密測量方面的表現(xiàn).

3.1 多比特WV 態(tài)在局域操作下的量子Fisher 信息

對于3 量子比特WV 態(tài)來說,首先考慮局域操作下的量子Fisher 信息計(jì)算,不失一般性,令這里選 取N=3量子比特WV 態(tài)和N＞3 量子比特WV 態(tài)兩種情況進(jìn)行量子Fisher 信息計(jì)算:

單獨(dú)每個(gè)量子比特的一階矩或在量子態(tài)下的平均值是相同的,即

相互作用量子比特的平均值也相同,表示為

將(15)式和(16)式代入(11)式,便得到了量子Fisher 信息的解析表達(dá)式:

當(dāng)量子比特?cái)?shù)N＞3 時(shí),單量子比特和相互作用量子比特在WV 量子態(tài)下的平均值表示為

將二者代入(11)式,可以得到N比特WV 態(tài)在局域操作下的量子Fisher 信息為

明顯地,當(dāng)α=0 時(shí),量子Fisher 信息約化為N(1-c2),即分離態(tài)的量子Fisher 信息;當(dāng)α=1,量子Fisher 信息為即為W 態(tài)的量子Fisher 信息.圖1 給出了多比特WV態(tài)在局域操作下的量子Fisher 信息(最優(yōu)極大值)隨參數(shù)α 的變化,從下到上(黑色實(shí)線到淺粉色實(shí)線)分別代表3 量子比特WV 態(tài),4 量子比特WV態(tài),...,8 量子比特WV 態(tài)的結(jié)果.隨著參數(shù)α 的變大,體系的量子Fisher 信息值逐步增大,表明了體系量子糾纏程度不斷增加.此外,根據(jù)克拉美羅下界公式,可以得出隨著參數(shù)α 的變化,量子體系的高精度測量能力也逐步提高.

圖1 N 量子比 特WV 態(tài)在局 域操作 下的量 子Fisher 信息隨參數(shù)α 的變化.從下(黑色實(shí)線)到上(淺粉色實(shí)線)分別表示3 量子比特WV 態(tài)到8 量子比特WV 態(tài)的結(jié)果Fig.1.Quantum Fisher information of an N-qubit WV state with respect to α under local operation.From bottom(black line) to top (light pink line) it respectively denotes the result from 3-qubit WV state to 8-qubit WV state.

3.2 多比特WV 態(tài)在LMG 模型下的量子Fisher 信息

隨著量子科技的不斷發(fā)展,多體糾纏的實(shí)驗(yàn)和理論研究成為了當(dāng)前乃至未來量子信息技術(shù)發(fā)展研究的關(guān)鍵,然而想要獨(dú)立地對多體糾纏中的單個(gè)量子比特進(jìn)行完美的局域操作很難,尤其是對相鄰的量子比特來說,它們的局域操作之間存在著串?dāng)_效應(yīng),會影響最終的計(jì)算結(jié)果.因此,這里探究非局域操作對多比特WV 態(tài)量子Fisher 信息的影響.

選擇全域兩體相互作用的非局域操作,即LMG 模型,開展相關(guān)研究,計(jì)算在此模型下多比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息,進(jìn)而探究其在精密測量方面的表現(xiàn).類似地,對每個(gè)量子比特有μi=1,Vij=γ且通過(10)式,可以解析得到N比特WV 態(tài)的量子Fisher信息.下面分 別針對N=3比特、N＞3比特WV 態(tài)進(jìn)行量子Fisher 信息的計(jì)算研究.

對于3 量子比特WV 態(tài)來說,單個(gè)量子比特的平均值和相互作用量子比特的平均值分別為(15)式和(16)式.3 量子比特相互作用的平均值表示為

對于N＞3 量子比特WV 態(tài)來說,單比特和雙量子比特相互作用的平均值可以由(18)式和(19)式給出.3 量子比特相互作用的平均值可以由通式表示為

圖2 和圖3 分別對固定參數(shù)γ和固定參數(shù)α 情況下,不同量子比特?cái)?shù)WV 態(tài)的量子Fisher信息進(jìn)行了分析研究,即對(21)式和(25)式進(jìn)行參數(shù)(α 或γ)固定下的數(shù)值最大化分析.從圖2(a)可以看出,隨著參數(shù)γ的增大,N=3 比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息值趨于穩(wěn)定,近乎不受參數(shù)α的影響,這在精密測量中非常重要,3 比特WV 態(tài)可以在任意比例的疊加下實(shí)現(xiàn)恒定測量精度的量子計(jì)量.圖2(b)—(d)分別給出了4,5,6 量子比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息隨參數(shù)α 變化的結(jié)果,容易看出,在相互作用強(qiáng)度γ(固定值)不同的情況下,體系的量子Fisher 信息總是隨著參數(shù)α的變大而變大.圖3(a)—(d)分別給出了3,4,5,6量子比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息在固定參數(shù)α下隨相互作用強(qiáng)度γ的變化情況,可以得出,隨著相互作用強(qiáng)度的變強(qiáng),WV 態(tài)的量子Fisher 信息變得越來越大,表明可控的非局域操作有助于高精密的量子測量.此外,從圖3(a)也容易看出,隨著相互作用強(qiáng)度γ的增強(qiáng),參數(shù)α 對3 比特WV 態(tài)的量子Fisher 值影響越來越小,再次驗(yàn)證了圖2(a)得出的結(jié)論.

圖2 量子比特WV 態(tài)在LMG 模型下的量子Fisher 信息隨參數(shù)α 的變化 (a) 3 比特;(b) 4 比特;(c) 5 比特;(d) 6 比特Fig.2.Quantum Fisher information of qubit WV state with respect to α in the LMG model: (a) 3-qubit;(b) 4-qubit;(c) 5-qubit;(d) 6-qubit.

圖3 量子比特WV 態(tài)在LMG 模型下的量子Fisher 信息隨相互作用強(qiáng)度γ 的變化 (a) 3 比特;(b) 4 比特;(c) 5 比特;(d) 6 比特Fig.3.Quantum Fisher information of qubit WV state with respect to interactional strength γ in the LMG model: (a) 3-qubit;(b) 4-qubit;(c) 5-qubit;(d) 6-qubit.

4 結(jié)論

綜上所述,本文從量子測量的角度出發(fā),探究了多量子比特WV 態(tài)在高精密測量方面的表現(xiàn).通過計(jì)算不同比特?cái)?shù)WV 態(tài)在局域操作和LMG模型下的量子Fisher 信息,發(fā)現(xiàn)在局域操作下,體系的量子Fisher 信息會隨著參數(shù)α 的變大而變大,顯示出增強(qiáng)的量子測量能力.在LMG 非局域操作模型下,分兩種情況進(jìn)行了研究.在固定相互作用強(qiáng)度γ的情況下,探究體系量子Fisher 信息隨參數(shù)α 的變化,發(fā)現(xiàn)隨著γ的增加,N=3 量子比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息近乎不受參數(shù)α 的影響,這一點(diǎn)在精密測量領(lǐng)域很重要,它降低了對初態(tài)制備的要求.但其他多比特WV 態(tài)的量子Fisher 信息會隨參數(shù)α 的變大而增大.在固定參數(shù)α 下,也探究了WV 態(tài)的量子Fisher 信息隨相互作用強(qiáng)度γ的變化,發(fā)現(xiàn)隨著相互作用強(qiáng)度γ的增強(qiáng),體系的量子Fisher 信息逐步變大,表明了非局域操作有助于實(shí)現(xiàn)多比特WV 態(tài)的高精密測量.另外,發(fā)現(xiàn)N=3 量子比特的量子Fisher 信息在相互作用強(qiáng)度γ較大的情況下,幾乎不受參數(shù)α 變化的影響,再次驗(yàn)證了前面的結(jié)論.本文的研究結(jié)果有助于加深人們對多量子比特WV態(tài)的認(rèn)識,尤其是N=3量子比特WV 態(tài)在LMG模型下具有相對穩(wěn)定的量子Fisher 信息,另外,對未來實(shí)現(xiàn)非局域操作下的高精密量子測量也有一定的啟發(fā)和參考意義.