基于拓?fù)鋬?yōu)化的變密度蜂窩結(jié)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計(jì)及沖擊性能研究

鄒 震, 徐峰祥, 徐智釗, 蔣舟順

(1. 武漢理工大學(xué) 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430070;2. 武漢理工大學(xué) 汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心,武漢 430070)

蜂窩結(jié)構(gòu)是一種高空隙率、輕質(zhì)的新型結(jié)構(gòu),具有高比強(qiáng)度/剛度、減震降噪、沖擊吸能及可設(shè)計(jì)性等優(yōu)勢(shì),在建筑、汽車、鐵路車輛、船舶、航空航天、衛(wèi)星、包裝和醫(yī)療植入物等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[1-3]。近年來,隨著汽車安全性與輕量化的沖突不斷加劇[4-6],對(duì)具有優(yōu)異吸能特性的蜂窩結(jié)構(gòu)的沖擊性能研究已成為熱點(diǎn)。

在蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊性能和輕量化的協(xié)同設(shè)計(jì)方面,理論上可行的方法為材料替換和設(shè)計(jì)優(yōu)化。其中,材料替換是指用性能更加優(yōu)越的材料替換性能較差的材料以提升蜂窩的力學(xué)性能。除常用的鋁合金蜂窩結(jié)構(gòu),相繼出現(xiàn)了不銹鋼[7]、鈦合金[8]、非金屬材料(玻璃纖維[9]、Nomex[10]、聚乙烯[11]、植物纖維[12]等)蜂窩結(jié)構(gòu)。更換蜂窩結(jié)構(gòu)的材料是實(shí)現(xiàn)其性能提升的有效手段,但不可避免地會(huì)提升蜂窩結(jié)構(gòu)的造價(jià),難以適用于汽車、包裝等民用行業(yè)。蜂窩結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)優(yōu)化又可細(xì)分為單胞優(yōu)化設(shè)計(jì)和梯度分布增強(qiáng)設(shè)計(jì)。其中,在蜂窩結(jié)構(gòu)的新型單胞設(shè)計(jì)方面,已涌現(xiàn)出填充型[13-14]、嵌套型[15]、負(fù)泊松比型[16-17]等多種新型蜂窩結(jié)構(gòu),這些結(jié)構(gòu)均通過局部或整體加強(qiáng)的方式有效地提升了蜂窩的力學(xué)性能,但同時(shí)也增大了其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度,提升了其加工難度。

蜂窩結(jié)構(gòu)的分布增強(qiáng)設(shè)計(jì)是指在不改變單個(gè)蜂窩胞元結(jié)構(gòu)的前提下,對(duì)其按照某一規(guī)律進(jìn)行梯度設(shè)計(jì),從而實(shí)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)的整體有序、充分變形。梯度分布增強(qiáng)設(shè)計(jì)作為提升蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊性能的有效方式之一,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此開展了大量研究,Hu等[18]采用將規(guī)則蜂窩邊用二級(jí)蜂窩替代一級(jí)蜂窩邊的方法構(gòu)建了新型自相似梯度蜂窩,實(shí)現(xiàn)了其綜合耐撞性能的提升;Zhang等[19]研究不同密度梯度的蜂窩結(jié)構(gòu)的吸能性能,確定了蜂窩結(jié)構(gòu)最優(yōu)密度梯度排布方式;馬芳武等[20]提出了一種仿生自相似分層蜂窩結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)了蜂窩在多種碰撞工況下的穩(wěn)定變形;袁敏等[21]研究了厚度梯度的負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的耐撞性能,確定具有正向厚度梯度的內(nèi)凹六邊形蜂窩具有更好能量吸收和沖擊性能;喬及森等[22]采用改變六邊形蜂窩壁角的方法構(gòu)建了一種串聯(lián)梯度蜂窩結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)了通過改變梯度率的方法控制串聯(lián)梯度蜂窩變形模式。但上述蜂窩梯度分布增強(qiáng)設(shè)計(jì)一般都是基于設(shè)計(jì)人員的工程經(jīng)驗(yàn),進(jìn)行蜂窩的“階梯”式梯度設(shè)計(jì),無法實(shí)現(xiàn)連續(xù)梯度設(shè)計(jì),難以最大限度地發(fā)揮梯度排布對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的提升效果。

拓?fù)鋬?yōu)化是指通過優(yōu)化給定設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)的材料分布形式,以同時(shí)提升目標(biāo)結(jié)構(gòu)的力學(xué)和輕量化性能的方法。已有學(xué)者將拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用在蜂窩結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特征拓?fù)鋬?yōu)化,Zhang等[23]將優(yōu)化的連續(xù)參數(shù)(密度)映射到點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)參數(shù)(支柱直徑)上,獲得非均質(zhì)蜂窩結(jié)構(gòu);Jia等[24]利用拓?fù)鋬?yōu)化密度信息設(shè)計(jì)了正方形蜂窩結(jié)構(gòu);邢昊等[25]利用拓?fù)鋬?yōu)化密度映射法設(shè)計(jì)了一種非均質(zhì)六邊形蜂窩,并通過試驗(yàn)證實(shí)了其設(shè)計(jì)方法能提升結(jié)構(gòu)的靜態(tài)剛度;趙芳?jí)镜萚26]基于體素化的方法,驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的非均質(zhì)蜂窩與拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)蜂窩之間的差異。上述研究為蜂窩結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究奠定了基礎(chǔ),但目前拓?fù)鋬?yōu)化蜂窩的面內(nèi)沖擊性能仍存在不足,且缺乏拓?fù)鋬?yōu)化參數(shù)對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)面內(nèi)沖擊性能影響的系統(tǒng)性研究。

本文基于變密度拓?fù)鋬?yōu)化方法,提出一種拓?fù)鋬?yōu)化密度映射蜂窩(以下簡(jiǎn)稱拓?fù)浞涓C)。通過參數(shù)化建模創(chuàng)建拓?fù)浞涓C的結(jié)構(gòu)模型,并采用有限元分析的方法分別探究在不同的沖擊速度下,映射系數(shù)、相對(duì)密度對(duì)拓?fù)浞涓C的面內(nèi)沖擊變形模式、動(dòng)態(tài)響應(yīng)和能量吸收性能的影響,并與等質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)蜂窩進(jìn)行沖擊性能的對(duì)比,探究將拓?fù)鋬?yōu)化方法引入蜂窩結(jié)構(gòu)的梯度設(shè)計(jì)對(duì)其沖擊性能的提升效果。

1 拓?fù)浞涓C的結(jié)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計(jì)

1.1 蜂窩結(jié)構(gòu)參數(shù)

如圖1所示,對(duì)于正六邊形蜂窩胞元,其結(jié)構(gòu)參數(shù)可由蜂窩胞元外邊長(zhǎng)度a(簡(jiǎn)稱胞元邊長(zhǎng))和胞元內(nèi)邊長(zhǎng)度bi表示,定義第i個(gè)蜂窩胞元的相對(duì)密度為ρi,胞元的相對(duì)密度為胞元面積s1和內(nèi)部六邊形面積s2的差值與胞元面積s1的比值,因此,胞元相對(duì)密度可表示為

圖1 蜂窩胞元結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.1 Cellular parameters of honeycomb structures

(1)

由式(1)可知,蜂窩胞元的相對(duì)密度僅與胞元內(nèi)外邊長(zhǎng)度相關(guān)。參考傳統(tǒng)均質(zhì)蜂窩結(jié)構(gòu)的胞元的結(jié)構(gòu)尺寸,為實(shí)現(xiàn)將拓?fù)浞涓C的實(shí)際材料分布按照拓?fù)鋬?yōu)化材料分布結(jié)果進(jìn)行設(shè)置的研究目標(biāo)。將所有的胞元外邊長(zhǎng)度均設(shè)置為常數(shù)a,通過調(diào)整內(nèi)邊長(zhǎng)bi完成蜂窩相對(duì)密度的調(diào)整,從而實(shí)現(xiàn)拓?fù)浞涓C內(nèi)部材料的分布調(diào)整。

1.2 參數(shù)化設(shè)計(jì)流程

蜂窩結(jié)構(gòu)復(fù)雜、設(shè)計(jì)變量較多等,傳統(tǒng)建模方法難以滿足其建模需求。因此,本文采用參數(shù)化設(shè)計(jì)方法,通過SolidWorks的二次開發(fā)模塊高效建立拓?fù)浞涓C的實(shí)體模型。拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)的參數(shù)化設(shè)計(jì)流程圖,如圖2所示。在設(shè)計(jì)過程中,首先設(shè)定設(shè)計(jì)域的尺寸、相對(duì)密度、蜂窩胞元尺寸及拓?fù)鋯卧叽?并基于這兩種單元分別對(duì)設(shè)計(jì)域進(jìn)行離散,記錄每個(gè)胞元和拓?fù)鋯卧闹行淖鴺?biāo),獲取胞元與拓?fù)鋯卧木嚯x關(guān)系,確定胞元的相對(duì)密度和內(nèi)邊長(zhǎng)度,生成胞元模型并循環(huán)上述過程,直到整個(gè)設(shè)計(jì)域的所有胞元計(jì)算完成。

圖2 拓?fù)浞涓C的參數(shù)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.2 Flowchart of density mapping cellular parametric design

1.3 參數(shù)化設(shè)計(jì)實(shí)施過程

拓?fù)鋬?yōu)化問題可以描述為:在給定體積約束的條件下,使目標(biāo)結(jié)構(gòu)柔度最小,尋求此時(shí)最優(yōu)的單元密度分布。基于固體各向同性材料懲罰模型(solid isotropic material with penalization,SIMP)變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化模型可以描述為[27]

(2)

式中:P為載荷向量;U為位移向量;K為總體剛度矩陣;ke為單元?jiǎng)偠染仃?x為密度矩陣,由拓?fù)鋬?yōu)化的微單元密度xi組成,單元總數(shù)為N;V0為結(jié)構(gòu)體積的約束上限。求解優(yōu)化模型得到體積約束下的密度矩陣,由密度矩陣可得拓?fù)湮卧芏确植?。本文采用拓?fù)鋬?yōu)化密度映射方法,設(shè)置較小的懲罰系數(shù)以消除其對(duì)中間密度單元的影響?；谕?fù)鋬?yōu)化的單元密度信息,計(jì)算蜂窩胞元的相對(duì)密度,實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化灰度單元密度信息的充分利用。

首先設(shè)置設(shè)計(jì)域邊界條件,隨后通過拓?fù)鋬?yōu)化算法獲取微單元的相對(duì)密度分布,最終確定了蜂窩單元與拓?fù)鋯卧成潢P(guān)系,如圖3所示。設(shè)第i個(gè)六邊形蜂窩胞元的中心坐標(biāo)為(xi,yi),第j個(gè)拓?fù)湮卧闹行淖鵀?xj,yj),則兩單元之間的距離可表示為

圖3 蜂窩單元與拓?fù)鋯卧成潢P(guān)系Fig.3 The mapping relationship between cellular units and topological units

(3)

基于反距離加權(quán)平均法,綜合計(jì)算每個(gè)拓?fù)湮卧獙?duì)蜂窩胞元的影響,且離蜂窩單元越近的拓?fù)鋯卧绊憴?quán)重ω越大,映射函數(shù)可以定義為

ω(dij)=e-k×(dij)

(4)

式中,k為映射系數(shù),其反映了映射過程中距離對(duì)權(quán)重的影響。k值對(duì)距離的權(quán)重影響如圖4所示。由圖4可以發(fā)現(xiàn),k值越大,距離較小的單元具有的權(quán)重也越大。

圖4 不同映射系數(shù)下距離對(duì)權(quán)重的影響Fig.4 Influence of distance on weight under different mapping coefficients

結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果,將第j個(gè)拓?fù)湮卧南鄬?duì)密度定義為xj,第i個(gè)蜂窩胞元的映射密度定義為ρi,則胞元映射密度為

(5)

式中,N為拓?fù)湮卧臄?shù)量。根據(jù)本文1.1節(jié)對(duì)蜂窩胞元的參數(shù)分析可知,蜂窩胞元的外邊長(zhǎng)度a設(shè)為常數(shù),通過調(diào)整蜂窩胞元的內(nèi)邊長(zhǎng)度bi即可實(shí)現(xiàn)拓?fù)浞涓C內(nèi)部材料的分布調(diào)整。另外,為保證拓?fù)浞涓C整體結(jié)構(gòu)的連續(xù)性,將蜂窩胞元壁厚的取值范圍設(shè)置為0.25～1.10 mm。

2 計(jì)算模型

2.1 幾何模型

拓?fù)浞涓C受面內(nèi)沖擊時(shí)的示意圖如圖5(a)所示,將拓?fù)浞涓C置于上、下兩剛性板之間,加載時(shí),底部剛性板固定,上端剛性板以恒定速度v向下沖擊試件。基于拓?fù)浞涓C面內(nèi)沖擊的受力特點(diǎn),拓?fù)鋬?yōu)化模型可以等效為如圖5(b)所示的受力模型。拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)的底端固定,上表面受均布?jí)毫加載。通過拓?fù)鋬?yōu)化程序設(shè)置結(jié)構(gòu)邊界條件,并將結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)體積設(shè)置為原體積的20%。如圖5(c)所示,經(jīng)過迭代,獲得下表面固定、上表面均布?jí)毫虞d條件下的拓?fù)鋬?yōu)化單元的密度分布矩陣。將密度分布矩陣對(duì)應(yīng)的密度值映射到具體的蜂窩胞元,此時(shí)被映射的密度值就是映射密度。隨后,映射密度通過映射系數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)蜂窩胞元的相對(duì)密度,并最終通過式(1)確定胞元的具體壁厚,從而實(shí)現(xiàn)拓?fù)浞涓C的實(shí)際材料分布與拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相一致的設(shè)計(jì)目標(biāo)。映射密度、相對(duì)密度和蜂窩結(jié)構(gòu)的實(shí)際材料分布之間的關(guān)系可表示為:映射密度將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果轉(zhuǎn)換為蜂窩結(jié)構(gòu)胞元的相對(duì)密度,實(shí)現(xiàn)蜂窩結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的可行性。蜂窩胞元基于其對(duì)應(yīng)的相對(duì)密度確定具體的壁厚,實(shí)現(xiàn)蜂窩結(jié)構(gòu)的內(nèi)部材料拓?fù)鋬?yōu)化合理分布。

圖5 拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)Fig.5 Design of topology optimization honeycomb structures

為研究相對(duì)密度ρ和映射系數(shù)k對(duì)拓?fù)浞涓C面內(nèi)沖擊性能的影響,相對(duì)密度ρ分別為0.12,0.16,0.20和0.24,映射系數(shù)k分別為0.01,0.05,0.10和0.50。此外,為便于對(duì)比分析將拓?fù)鋬?yōu)化方法引入蜂窩設(shè)計(jì)對(duì)其沖擊性能的提升效果,參照Ruan等[28]對(duì)標(biāo)準(zhǔn)蜂窩沖擊性能的研究,將拓?fù)浞涓C的胞元尺寸a設(shè)置為5 mm?；谕?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模方法,構(gòu)建的4種拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)的幾何模型如圖6所示。由圖6可以發(fā)現(xiàn),拓?fù)浞涓C的整體質(zhì)量隨相對(duì)密度ρ增大而增大,這是由于相對(duì)密度ρ增大、蜂窩內(nèi)邊長(zhǎng)度bi減小造成胞元壁厚增大。此外,也可以發(fā)現(xiàn)拓?fù)浞涓C的壁厚差異隨映射系數(shù)的減小而減小,這是由于隨著映射系數(shù)的減小,距離對(duì)相對(duì)密度的影響也在逐漸減弱,最終呈現(xiàn)了拓?fù)浞涓C胞元之間的壁厚差異逐漸減小。當(dāng)映射系數(shù)k越大,拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)的兩側(cè)胞元壁厚與中部胞元的差值也越大。拓?fù)浞涓C整體呈現(xiàn)出中部胞元壁厚小于外部壁厚,位于沖擊端的胞元壁厚小于固定端胞元壁厚。

圖6 拓?fù)浞涓C幾何模型Fig.6 Geometry of density mapping honeycomb

2.2 有限元模型

考慮到當(dāng)映射系數(shù)較小時(shí),拓?fù)浞涓C的幾何模型包含較多薄壁實(shí)體,難以采用實(shí)體單元進(jìn)行有限元分析。因此,本文采用軟件Hypermesh/ABAQUS聯(lián)合仿真的方法,首先將生成的拓?fù)浞涓C幾何實(shí)體導(dǎo)入Hypermesh軟件中抽取中面,并選用SHELL163薄殼單元進(jìn)行離散,將不同的壁厚單元?dú)w類為不同的屬性,這種建模方法可以較好地保留原始幾何實(shí)體的壁厚特征。為保證計(jì)算精度和收斂性,沿厚度方向定義5個(gè)積分點(diǎn)。此外,經(jīng)過多次試算和靈敏度分析,模型的網(wǎng)格尺寸確定為0.7 mm。研究表明,蜂窩結(jié)構(gòu)在寬度(x)和高度(y)方向的胞元數(shù)目分別超過10時(shí),結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)更加穩(wěn)定[29]。因此,為有效捕捉拓?fù)浞涓C試件的面內(nèi)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征,其寬度(x)和高度(y)方向分別設(shè)置了11個(gè)和10個(gè)胞元,對(duì)應(yīng)拓?fù)浞涓C的寬度和高度分別為85.5 mm和86.5 mm,面外厚度設(shè)置為4 mm。最終通過軟件ABAQUS/Explicit對(duì)拓?fù)浞涓C模型進(jìn)行非線性動(dòng)態(tài)顯式求解。蜂窩單元底部與剛性板綁定。所有的接觸面均設(shè)置為通用接觸,定義摩擦因數(shù)為0.15。壓縮距離限制為初始距離的80%。拓?fù)浞涓C的面內(nèi)沖擊有限元模型如圖7所示。對(duì)殼單元進(jìn)行厚度渲染后,觀察細(xì)節(jié)放大圖可以發(fā)現(xiàn),拓?fù)浞涓C胞元的壁厚特征得以較好的體現(xiàn)。

圖7 拓?fù)浞涓C面內(nèi)沖擊模型示意圖Fig.7 Schematic diagram of the topology optimization honeycomb under in-plane impact

拓?fù)浞涓C基體材料設(shè)置為鋁,采用理想彈塑性本構(gòu)模型,具體材料參數(shù)如表1所示。

2.3 模型可靠性

為驗(yàn)證本文有限元模型的可靠性,構(gòu)建了與Ruan等研究中一致的標(biāo)準(zhǔn)蜂窩模型,并分別選擇在沖擊速度為3.5 m/s和14.0 m/s時(shí)進(jìn)行可靠性驗(yàn)證。以分析模型在不同沖擊速度下的準(zhǔn)確性與可靠性。仿真得到的蜂窩結(jié)構(gòu)變形模式和力-位移曲線,如圖8所示。結(jié)果顯示:當(dāng)沖擊速度為3.5 m/s時(shí),本文仿真模型和Ruan等的研究模型在峰值應(yīng)力(PCF)的誤差為 4.4%,平臺(tái)應(yīng)力的誤差為7.9%;當(dāng)沖擊速度為14.0 m/s時(shí),本文仿真方法與Ruan等的研究模型在峰值應(yīng)力的誤差為7.0%,平臺(tái)應(yīng)力的誤差為5.2%。此外,本文采用的仿真方法也較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了蜂窩結(jié)構(gòu)在3.5 m/s和14.0 m/s沖擊下的變形模式。綜上,結(jié)果表明本文采用的仿真方法在預(yù)測(cè)蜂窩結(jié)構(gòu)的沖擊性能和變形模式上均具有較高的可靠性,可用于后續(xù)的研究。

為進(jìn)一步確定仿真模型的有效性,對(duì)模型的沙漏能進(jìn)行分析。以k=0,ρ=0.24的拓?fù)浞涓C模型為例,其在仿真過程中的能量變化曲線如圖9所示。由圖9可以看出,沖擊過程中的沙漏能和滑移能均較小,滑移能與偽應(yīng)變能之和與內(nèi)能之比小于5%,這進(jìn)一步印證了本文有限元模型的可靠性。

圖9 拓?fù)浞涓C面內(nèi)沖擊時(shí)的能量變化曲線Fig.9 Energy change curve of topology optimization honeycomb in-plane impact

3 結(jié)果與分析

3.1 變形模式

當(dāng)k=0.10,ρ=0.20時(shí)的拓?fù)浞涓C,在兩種不同沖擊速度時(shí)的典型變形模式如圖10所示。定義剛性板的沖擊端位移與蜂窩初始高度的比值為名義應(yīng)變?chǔ)?。從圖10中可以看出,沖擊速度對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)變形模式有顯著影響,當(dāng)沖擊速度較低時(shí)(v=10 m/s),壓縮初始,蜂窩結(jié)構(gòu)在沖擊端出現(xiàn)局部彎曲變形,隨后變形呈“X”型,并隨壓縮過程穩(wěn)定向固定端傳遞,直至整個(gè)模型趨于密實(shí)。當(dāng)沖擊速度提高到90 m/s時(shí),蜂窩的變形模式發(fā)生較大變化,由整體變形轉(zhuǎn)變?yōu)榫植繅嚎s變形。類似于均質(zhì)六邊形蜂窩結(jié)構(gòu),蜂窩變形區(qū)域只集中在沖擊端,呈“I”型變形模式,并逐層向下漸進(jìn)壓潰,直至結(jié)構(gòu)整體趨于密實(shí)。

圖10 拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)的宏觀變形模式Fig.10 Macroscopic deformation modes of topology optimization honeycomb structure

3.1.1 不同沖擊速度下的變形模式

具有不同映射系數(shù)的拓?fù)浞涓C在不同沖擊速度下的變形模式,如圖11所示,此時(shí)拓?fù)浞涓C的名義應(yīng)變?chǔ)?0.3。如圖11(a)所示,在v=3 m/s、映射系數(shù)k=0.50時(shí),蜂窩的變形模型呈現(xiàn)向沖擊端開口的“V”型; 當(dāng)k=0.10時(shí),變形模式轉(zhuǎn)變?yōu)楦采w整個(gè)蜂窩區(qū)域的“X”型變形;而當(dāng)k=0.01時(shí),蜂窩結(jié)構(gòu)呈方向與k=0.50相反、向固定端開口的“V”型變形,這證明了映射系數(shù)對(duì)拓?fù)浞涓C的壓縮變形模式有較大影響。對(duì)其在不同沖擊速度下的變形模式差異的原因進(jìn)行分析。以映射系數(shù)分別為0.50和0.01的拓?fù)浞涓C“V”形變形帶開口完全相反為例,拓?fù)浞涓C的“V”形變形開口相反的變形模式主要是因?yàn)椴煌成湎禂?shù)的拓?fù)浞涓C固定端與沖擊端的胞元存在壁厚差異。當(dāng)映射系數(shù)k=0.50時(shí),拓?fù)浞涓C固定端壁厚大于沖擊端,因此,此時(shí)的開口為沖擊端方向;而當(dāng)k=0.01時(shí),拓?fù)浞涓C固定端與沖擊端的壁厚差異較小,此時(shí)壁厚較弱的固定端先發(fā)生壓潰,變形開口方向?yàn)楣潭ǘ朔较颉?/p>

圖11 拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下的變形模式(ρ=0.20, ε=0.3)Fig.11 Deformation modes of topology optimization honeycomb under different impact velocities (ρ=0.20, ε=0.3)

隨著沖擊速度的提高,當(dāng)v=10 m/s時(shí),慣性效應(yīng)的影響開始凸顯,各拓?fù)浞涓C的變形模式相比于v=3 m/s更加靠近沖擊端,且變形區(qū)域也在縮小。映射系數(shù)k=0.50的拓?fù)浞涓C,在v=10 m/s沖擊下的“V”變形帶要小于其在v=3 m/s時(shí)的變形帶,且映射系數(shù)k=0.10的蜂窩,在v=10 m/s沖擊下的“X”要高于其在v=3 m/s沖擊下的“X”變形帶,這均歸因于沖擊速度的增大帶來的慣性效應(yīng)。值得注意的是,由于拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)為蜂窩結(jié)構(gòu)的固定端胞元設(shè)置了較大壁厚,因此,在v=3 m/s和v=10 m/s的沖擊下,拓?fù)浞涓C位于固定端的胞元均未發(fā)生明顯變形。

當(dāng)v=30 m/s時(shí),拓?fù)浞涓C變形模式相比低速?zèng)_擊時(shí)發(fā)生了明顯變化。各蜂窩的變形區(qū)域相較于低速?zèng)_擊時(shí)的進(jìn)一步縮小,且更靠近沖擊端。對(duì)比圖11(f)和圖11(g)可以發(fā)現(xiàn),映射系數(shù)k=0.10的拓?fù)浞涓C由低速時(shí)的“X”型變形模式轉(zhuǎn)變成了“V”型變形,且變形區(qū)域進(jìn)一步集中,這主要是由沖擊速度增大帶來慣性效應(yīng)的影響。但映射系數(shù)k=0.50的拓?fù)浞涓C,在v=10 m/s和v=30 m/s沖擊速度下的變形,模型卻未發(fā)生明顯變化,這一現(xiàn)象合理的解釋是隨著映射系數(shù)的增大,蜂窩結(jié)構(gòu)的兩側(cè)胞元壁厚和強(qiáng)度增大,增大的沖擊速度未造成其被壓潰,而當(dāng)映射系數(shù)k=0.10時(shí),兩側(cè)壁厚增大不明顯,在v=30 m/s沖擊速度下被壓潰。當(dāng)沖擊速度的進(jìn)一步增大至90 m/s時(shí),慣性效應(yīng)的影響進(jìn)一步增強(qiáng),各拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)均呈現(xiàn)沿沖擊方向的“I”字狀變形模式,變形隨剛性板下壓而逐層向固定端遞進(jìn),這種高速?zèng)_擊下的拓?fù)浞涓C變形模式同標(biāo)準(zhǔn)均質(zhì)六邊形蜂窩相似。

通過以上分析可知:映射系數(shù)、沖擊速度對(duì)拓?fù)浞涓C的面內(nèi)變形模式具有較大影響。當(dāng)映射系數(shù)較大時(shí),拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)的兩側(cè)蜂窩的壁厚大于中部壁厚,固定端壁厚大于沖擊端壁厚;而當(dāng)映射系數(shù)較小時(shí),拓?fù)浞涓C兩側(cè)胞元與中部胞元的壁厚差異、固定端與沖擊端胞元的壁厚差異均減小。因此,在中低速?zèng)_擊時(shí),映射系數(shù)的變化造成了蜂窩結(jié)構(gòu)的變形模式從“V”型轉(zhuǎn)為“X”型,并最終轉(zhuǎn)為反方向的“V”型變形。而隨著沖擊速度增大,慣性效應(yīng)增強(qiáng),拓?fù)浞涓C的變形模式也發(fā)生了改變,具體體現(xiàn)為變形區(qū)域進(jìn)一步縮小,且更加靠近沖擊端。此外,經(jīng)分析可以發(fā)現(xiàn)沖擊速度越大,映射系數(shù)對(duì)拓?fù)浞涓C的影響則越小。當(dāng)沖擊速度v=90 m/s時(shí),慣性效應(yīng)主導(dǎo)了變形模式,所有拓?fù)浞涓C的變形趨于一致呈“I”形,此時(shí)映射系數(shù)對(duì)變形模式的影響較小。

3.1.2 不同相對(duì)密度下的變形模式

當(dāng)面內(nèi)沖擊速度為30 m/s、映射系數(shù)k=0.10,相對(duì)密度ρ分別為0.12,0.16,0.20和0.24時(shí),拓?fù)浞涓C在名義應(yīng)變?chǔ)?0.4時(shí)的變形模式,如圖12所示。由圖12可以發(fā)現(xiàn),相對(duì)密度較小的拓?fù)浞涓C在沖擊端的變形相比相對(duì)密度較大的拓?fù)浞涓C變形范圍更小,并最終在相對(duì)密度為0.24時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)椤癤”變形。這主要是由于當(dāng)相對(duì)密度較小時(shí),蜂窩的整體壁厚較小,此時(shí)在受到?jīng)_擊時(shí)其變形更加集中,變形區(qū)域較小,呈現(xiàn)出局部的變形模式。而隨著相對(duì)密度進(jìn)一步增大,其變形區(qū)域開始緩慢增大,并最終在相對(duì)密度為0.24轉(zhuǎn)變?yōu)槿肿冃巍?/p>

圖12 不同相對(duì)密度的拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)變形模式Fig.12 Deformation modes of topology optimization honeycomb structures with different relative densities

3.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

當(dāng)蜂窩面內(nèi)壓縮時(shí),其名義應(yīng)力σ和名義應(yīng)變?chǔ)欧謩e可定義為

(6)

式中:F為上剛性板的壓縮支反力;b為蜂窩在面外方向的厚度;δ為蜂窩的壓縮位移;L和W分別為蜂窩面內(nèi)長(zhǎng)度和高度。

當(dāng)相對(duì)密度ρ=0.24時(shí),不同映射系數(shù)拓?fù)浞涓C的面內(nèi)沖擊響應(yīng)曲線,如圖13所示。由圖13可知,拓?fù)浞涓C和常規(guī)均質(zhì)蜂窩的動(dòng)態(tài)響應(yīng)相似,即初始時(shí)刻的線彈性變形階段,在峰值沖擊力后,進(jìn)入應(yīng)力起伏相對(duì)較小的平臺(tái)階段和最終逐漸密實(shí)的應(yīng)力陡升階段。

當(dāng)?shù)退贈(zèng)_擊(v=3 m/s)時(shí),不同映射系數(shù)的拓?fù)浞涓C的應(yīng)力曲線尤其平緩,從彈性屈服后應(yīng)力呈穩(wěn)定上升的趨勢(shì),沒有出現(xiàn)較大的初始峰值應(yīng)力。其中,值得注意的是映射系數(shù)較大(k=0.50)的拓?fù)浞涓C,其應(yīng)力曲線明顯高于其他拓?fù)浞涓C。此外,映射系數(shù)k=0.50時(shí)拓?fù)浞涓C應(yīng)變曲線波動(dòng)高于其余映射系數(shù)拓?fù)浞涓C的應(yīng)力曲線,這主要是由于隨著映射系數(shù)增大,蜂窩兩側(cè)胞元的壁厚大于中部胞元的壁厚、固定端胞元的壁厚大于沖擊端胞元的壁厚,造成拓?fù)浞涓C在壓縮時(shí)呈現(xiàn)不連續(xù)的壓潰,從而造成其應(yīng)力曲線波動(dòng)較大,而當(dāng)映射系數(shù)較小時(shí),拓?fù)浞涓C整體壁厚的差異不大,應(yīng)力曲線的波動(dòng)則明顯減小。因此,可以合理得出增大拓?fù)浞涓C的映射系數(shù)是提高其應(yīng)力曲線的有效方法之一。

如圖13(b)和圖13(c)所示,隨著沖擊速度增加(v=10 m/s和v=30 m/s),蜂窩的初始峰值應(yīng)力明顯增大,且整體應(yīng)力水平也有一定提高,應(yīng)力曲線波動(dòng)起伏程度明顯變大,此時(shí)映射系數(shù)較大的拓?fù)浞涓C仍然表現(xiàn)出更高的應(yīng)力水平。當(dāng)高速?zèng)_擊時(shí)(v=90 m/s),蜂窩出現(xiàn)非常高的初始應(yīng)力峰值,且整個(gè)沖擊過程中應(yīng)力變化非常劇烈,直到設(shè)定的壓縮距離都沒出現(xiàn)明顯密實(shí)階段,說明受慣性效應(yīng)影響,蜂窩結(jié)構(gòu)的壓潰材料都緊緊堆積在沖擊端,密實(shí)階段相對(duì)出現(xiàn)得更晚。

當(dāng)相對(duì)密度ρ=0.12時(shí),4種不同映射系數(shù)蜂窩的面內(nèi)響應(yīng)曲線,如圖14所示。由圖14可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)相對(duì)密度ρ均為0.12時(shí),在不同沖擊速度下,映射系數(shù)對(duì)應(yīng)力曲線無明顯影響。但值得注意的是,當(dāng)映射系數(shù)較大的拓?fù)浞涓C的應(yīng)力曲線波動(dòng)隨沖擊速度的增大而增大。合理的解釋是,映射系數(shù)較小時(shí),蜂窩結(jié)構(gòu)的材料分布相對(duì)均勻,因此在不同的沖擊速度下呈現(xiàn)均勻的局部變形,應(yīng)力曲線無明顯波動(dòng);而當(dāng)映射系數(shù)較大時(shí),材料主要分布于蜂窩兩側(cè),形成了強(qiáng)度較大的兩側(cè)區(qū)域,此時(shí)蜂窩在高速?zèng)_擊時(shí)出現(xiàn)了較大的應(yīng)力波動(dòng)。在沖擊速度達(dá)到90 m/s時(shí),應(yīng)力曲線在某些時(shí)刻出現(xiàn)接近0的現(xiàn)象,且主要發(fā)生在應(yīng)變較小的位置,對(duì)此合理的解釋是,當(dāng)蜂窩受到高速?zèng)_擊時(shí),部分胞元被迅速壓潰,隨著蜂窩胞壁連接處屈服,沖擊端受力存在短暫的延遲。

圖14 拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)名義應(yīng)力應(yīng)變曲線(ρ=0.12)Fig.14 Nominal stress-strain curves of topology optimization honeycombs(ρ=0.12)

3.3 平臺(tái)應(yīng)力與能量吸收特性

蜂窩應(yīng)力應(yīng)變曲線的平臺(tái)階段是決定蜂窩能量吸收性能的關(guān)鍵階段,反映了蜂窩結(jié)構(gòu)的平均吸能水平,當(dāng)壓縮位移相同時(shí),較大的平臺(tái)應(yīng)力意味著優(yōu)異的能量吸收能力,蜂窩的平臺(tái)應(yīng)力可定義為

(7)

式中:εcr為屈服應(yīng)變,表示在初始應(yīng)力峰值時(shí)對(duì)應(yīng)的名義應(yīng)變;εd為鎖定應(yīng)變,表示蜂窩名義應(yīng)力再次達(dá)到初始應(yīng)力峰值時(shí)的名義應(yīng)變;σε為隨應(yīng)變變化的名義應(yīng)力。

沖擊速度對(duì)各映射系數(shù)的拓?fù)浞涓C的平臺(tái)應(yīng)力影響曲線,如圖15所示。由圖15可以看出,隨沖擊速度的提高,各映射系數(shù)的拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)平臺(tái)應(yīng)力都有所增大。其中,值得注意的是,在相同的沖擊速度下,映射系數(shù)為0.01,0.05和0.10的拓?fù)浞涓C之間的平臺(tái)應(yīng)力無明顯差異,而當(dāng)映射系數(shù)為0.50時(shí),拓?fù)浞涓C的平臺(tái)應(yīng)力明顯增大,也預(yù)示了蜂窩的能量吸收能力獲得一定的提升。因此可以得出增大拓?fù)浞涓C的映射系數(shù)可使其材料分布更為合理,進(jìn)而提升拓?fù)浞涓C的平臺(tái)應(yīng)力,而當(dāng)映射系數(shù)較小時(shí),拓?fù)浞涓C內(nèi)部胞元的壁厚差異不明顯,平臺(tái)應(yīng)力未產(chǎn)生明顯的增大。

圖15 不同映射系數(shù)下蜂窩平臺(tái)應(yīng)力隨沖擊速度的變化Fig.15 Variation of honeycomb platform stress with impact velocity under different mapping coefficients

拓?fù)浞涓C的平臺(tái)應(yīng)力在各沖擊速度下隨映射系數(shù)的變化曲線,如圖16所示。由圖16可以發(fā)現(xiàn),在相同的沖擊速度下,隨著映射系數(shù)的增大,拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)的材料分布更為合理,其平臺(tái)應(yīng)力獲得了一定的提升。此外,從圖16中也可以發(fā)現(xiàn),映射系數(shù)對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)平臺(tái)的應(yīng)力的提升效果,隨沖擊速度的增大而增大。

圖16 拓?fù)浞涓C平臺(tái)應(yīng)力隨映射系數(shù)的變化Fig.16 Variation of the platform stress of density mapping honeycomb with the mapping coefficient

具有不同相對(duì)密度的拓?fù)浞涓C的平臺(tái)應(yīng)力在不同沖擊速度下的應(yīng)力曲線,如圖17所示。由圖17可以發(fā)現(xiàn),在相同的沖擊速度下,拓?fù)浞涓C的平臺(tái)應(yīng)力隨相對(duì)密度的增大而增大,這一現(xiàn)象的合理解釋是,蜂窩結(jié)構(gòu)整體材料增多,強(qiáng)度增大。且從圖17中可以發(fā)現(xiàn),相對(duì)密度對(duì)拓?fù)浞涓C結(jié)構(gòu)平臺(tái)應(yīng)力的提升效果,隨沖擊速度的增大而增強(qiáng)。

圖17 不同相對(duì)密度下蜂窩平臺(tái)應(yīng)力隨沖擊速度的變化Fig.17 Variation of honeycomb platform stress with impact velocity under different relative densities

比吸能(specific energy absorption,SEA)是結(jié)構(gòu)碰撞能量吸收的主要評(píng)價(jià)指標(biāo)之一,代表了吸能結(jié)構(gòu)單位質(zhì)量吸收的能量,越大的比吸能表示越優(yōu)異的能量吸收能力,可定義為

(8)

式中:m為結(jié)構(gòu)總質(zhì)量;δ為壓縮過程中結(jié)構(gòu)的有效位移;x為某時(shí)刻的位移;F(x)為沖擊時(shí)剛性板支反力。

當(dāng)撲蜂窩的相對(duì)密度為0.12時(shí),具有不同映射系數(shù)的拓?fù)浞涓C的比吸能變化曲線,如圖18所示。由圖18可以發(fā)現(xiàn),在中低速?zèng)_擊(v=3 m/s,v=10 m/s)下,沖擊速度對(duì)拓?fù)浞涓C的比吸能無顯著影響,這證明了在低速?zèng)_擊條件下,沖擊速度對(duì)拓?fù)浞涓C比吸能影響較小。此外,在相同沖擊速度下,具有不同映射系數(shù)的拓?fù)浞涓C比吸能無明顯差異,其中,映射系數(shù)較大的拓?fù)浞涓C在壓縮中前段比吸能略高于映射系數(shù)較小的拓?fù)浞涓C,但在拓?fù)浞涓C接近密實(shí)時(shí),具有不同映射系數(shù)拓?fù)浞涓C的比吸能曲線基本相同。

圖18 不同拓?fù)浞涓C的能量吸收特性Fig.18 Energy absorption characteristics of topology optimization honeycombs with different mapping coefficient

當(dāng)沖擊速度進(jìn)一步增大時(shí),一方面,與傳統(tǒng)的均質(zhì)蜂窩相似,所有非均質(zhì)蜂窩的能量吸收性能均顯著提高,當(dāng)沖擊速度為90 m/s時(shí),蜂窩的最大比吸能甚至達(dá)到3 m/s加載速度時(shí)的4倍。這主要是由于慣性效應(yīng)隨著沖擊速度增加逐漸加強(qiáng),當(dāng)位于沖擊端的蜂窩被動(dòng)態(tài)載荷加速時(shí),除了外界作用力產(chǎn)生的剪力與彎矩外,位于沖擊端的蜂窩自身的慣性也將產(chǎn)生剪力與彎矩,有助于蜂窩結(jié)構(gòu)產(chǎn)生多個(gè)塑性鉸而充分變形吸能,從而使拓?fù)浞涓C的比吸能呈現(xiàn)隨沖擊速度增大而增大的變化趨勢(shì)。由于慣性效應(yīng)隨沖擊速度增大而增大,因此可以合理推斷,隨著沖擊速度進(jìn)一步增大,慣性效應(yīng)將進(jìn)一步增強(qiáng),蜂窩結(jié)構(gòu)變形更加充分,其比吸能將會(huì)被進(jìn)一步提高。另一方面,拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)蜂窩比吸能的提升作用開始凸顯,如圖18(c)和圖18(d)所示,映射系數(shù)為0.50的拓?fù)浞涓C的比吸能明顯高于其余映射系數(shù)較小的拓?fù)浞涓C。這是由于映射系數(shù)直接影響了不同位置的胞元密度權(quán)重,此時(shí)更大的映射系數(shù)可以帶來更好的能量吸收性能。但是,映射系數(shù)過大也會(huì)導(dǎo)致部分蜂窩單元胞壁過薄,從實(shí)際生產(chǎn)角度看,應(yīng)權(quán)衡映射系數(shù)與胞元壁厚的關(guān)系,確保通過拓?fù)鋬?yōu)化方法構(gòu)造映射密度非均質(zhì)蜂窩的可行性。

3.4 性能對(duì)比研究

為分析將拓?fù)鋬?yōu)化方法引入蜂窩結(jié)構(gòu)對(duì)其沖擊性能的提升效果,本節(jié)構(gòu)建了與拓?fù)浞涓C整體結(jié)構(gòu)尺寸相同的標(biāo)準(zhǔn)均質(zhì)蜂窩,其胞元邊長(zhǎng)均設(shè)置為5 mm。選取k=0.10,ρ=0.12的拓?fù)浞涓C與標(biāo)準(zhǔn)蜂窩進(jìn)行對(duì)比,沖擊速度設(shè)置為10 m/s。為保證標(biāo)準(zhǔn)蜂窩與本文提出的拓?fù)浞涓C質(zhì)量一致,標(biāo)準(zhǔn)蜂窩的壁厚設(shè)置為0.43 mm。研究所采用的面內(nèi)沖擊有限元模型的設(shè)置與本文2.2節(jié)處保持一致。

為全面對(duì)比拓?fù)浞涓C與標(biāo)準(zhǔn)蜂窩的沖擊性能的優(yōu)劣,且考慮到對(duì)比選用的標(biāo)準(zhǔn)蜂窩與拓?fù)浞涓C的質(zhì)量相同。因此,選取PCF和SEA作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。圖19所示為標(biāo)準(zhǔn)蜂窩與拓?fù)浞涓C的沖擊性能對(duì)比結(jié)果。標(biāo)準(zhǔn)蜂窩的PCF為389.6 N,拓?fù)浞涓C的PCF為323.7 N,下降了16.9%,這主要是由于拓?fù)浞涓C根據(jù)沖擊工況將其胞元壁厚進(jìn)行了連續(xù)梯度設(shè)置,減小了沖擊端胞元壁厚以降低蜂窩結(jié)構(gòu)的PCF;標(biāo)準(zhǔn)蜂窩的SEA為1.65 J/g,拓?fù)浞涓C的SEA為2.13 J/g,被提高了29.1%。綜上,可以得出將拓?fù)鋬?yōu)化方法引入標(biāo)準(zhǔn)蜂窩實(shí)現(xiàn)其壁厚的連續(xù)梯度設(shè)置,相比于標(biāo)準(zhǔn)蜂窩沖擊性能上的劣勢(shì),拓?fù)浞涓C有效的降低了初始峰值沖擊力,同時(shí)提高了其能量吸收性能。

圖19 標(biāo)準(zhǔn)蜂窩與拓?fù)浞涓C沖擊性能對(duì)比Fig.19 Comparison of the performance of standard and topology optimized honeycomb

4 結(jié) 論

本文將拓?fù)鋬?yōu)化方法引入至蜂窩的變密度設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)了蜂窩胞元壁厚的連續(xù)梯度設(shè)計(jì)。通過參數(shù)化設(shè)計(jì)方法構(gòu)建了具有不同相對(duì)密度、映射系數(shù)的拓?fù)浞涓C,探明了在不同的沖擊速度下,映射系數(shù)、相對(duì)密度對(duì)拓?fù)浞涓C的面內(nèi)動(dòng)態(tài)沖擊變形模式、動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)和能量吸收特性的影響,得到的結(jié)論如下:

(1) 映射系數(shù)、相對(duì)密度對(duì)不同沖擊速度下的拓?fù)浞涓C的面內(nèi)變形模式具有顯著影響。在低速?zèng)_擊時(shí),映射系數(shù)對(duì)蜂窩變形模式具有較大影響,隨著沖擊速度增大,慣性效應(yīng)增強(qiáng),映射系數(shù)對(duì)蜂窩變形模式的影響逐漸減弱;相對(duì)密度增大促使其由局部變形向整體變形轉(zhuǎn)變。

(2) 在低速?zèng)_擊時(shí),拓?fù)浞涓C的平臺(tái)應(yīng)力隨映射系數(shù)的增大而增大,但隨沖擊速度的增大,映射系數(shù)對(duì)拓?fù)浞涓C平臺(tái)應(yīng)力的影響逐漸減弱。

(3) 在低速?zèng)_擊時(shí),映射系數(shù)對(duì)拓?fù)浞涓C的比吸能無明顯提升效果,但隨著沖擊速度的增大,映射系數(shù)對(duì)拓?fù)浞涓C比吸能的提升效果逐漸凸顯。

(4)與相同質(zhì)量、尺寸的標(biāo)準(zhǔn)蜂窩面內(nèi)沖擊性能對(duì)比結(jié)果顯示,拓?fù)浞涓C的峰值應(yīng)力下降了16.9%,比吸能提高了29.1%。