縱波與橫波反演能力對(duì)比

代福材，張峰*，錢(qián)忠平，孫鵬遠(yuǎn)，鄒振，李向陽(yáng)，3

（1. 中國(guó)石油大學(xué)（北京）油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2. 中國(guó)石油大學(xué)（北京）CNPC 物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；3. 東方地球物理公司，河北涿州 072750；4. 油氣勘探計(jì)算機(jī)軟件國(guó)家工程研究中心，北京 100088）

1 問(wèn)題的提出

目前，油氣地震勘探主要利用了縱波（PP 波）的信息?？v波對(duì)地層的聲波速度、阻抗的變化最為敏感，在構(gòu)造成像、斷層解釋等方面得到了廣泛應(yīng)用；結(jié)合巖石物理分析可以在一定程度上描述儲(chǔ)層特征［1］、識(shí)別孔隙流體的變化［2-3］。油氣藏的定量解釋依賴(lài)于利用地震數(shù)據(jù)反演所獲得的地層參數(shù)，而僅利用有限角度（炮檢距）的縱波數(shù)據(jù)同步反演多個(gè)彈性參數(shù)比較困難［4-5］。其中，密度（ρ）反演尤為困難，這是因?yàn)榭v波對(duì)密度的變化不敏感［6］。實(shí)例表明，為了準(zhǔn)確反演地層密度，需要使用經(jīng)過(guò)各向異性偏移成像、子波拉伸校正、吸收衰減補(bǔ)償?shù)忍幚淼拇蠼嵌龋?0°）縱波數(shù)據(jù)，同時(shí)還要保證初始模型可靠、正則化方法適用［7］，而在許多實(shí)際勘探工作中難以滿足以上條件。雖然兩參數(shù)（縱波阻抗和橫波阻抗、AVO 截距和梯度等）反演方法比三參數(shù)（如縱波阻抗、橫波阻抗、密度）反演更加可行，但是反演結(jié)果存在一定的誤差和不確定性，這同時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)和反演方法有著較高的要求［8-9］。此外，縱波在“氣煙囪”成像、復(fù)雜和非常規(guī)油氣藏的巖性識(shí)別、流體預(yù)測(cè)等方面也存在困難［10-11］。

相比于縱波，橫波（SV-SV 波和SH-SH 波）的動(dòng)力學(xué)特征有著顯著的差異。在同一頻帶、相同的吸收衰減條件下，橫波數(shù)據(jù)的分辨率更高，對(duì)地層的橫波速度（VS）、密度、剪切模量、各向異性參數(shù)等更為敏感，因此可以用來(lái)更好地反演以上參數(shù)。如圖1所示，相比縱波資料，橫波資料在反演橫波速度、密度等參數(shù)時(shí)不確定性更低，在描述油氣藏的骨架性質(zhì)、物性特征、裂縫、地應(yīng)力等方面具有明顯優(yōu)勢(shì)［12-16］。因此，將橫波引入油氣勘探能夠彌補(bǔ)縱波勘探能力的不足，有助于提升復(fù)雜油氣藏的儲(chǔ)層預(yù)測(cè)精度和油氣識(shí)別能力［17-19］。

圖1 PP 波（a）與SH-SH 波（b）反演縱波速度、橫波速度、密度的后驗(yàn)概率密度分布

為了明確橫波的傳播機(jī)理，諸多學(xué)者開(kāi)展了理論研究［20-25］。橫波曾在早期被應(yīng)用于地震勘探［26-28］，通過(guò)多分量地震采集得到的橫波各向異性屬性用于裂縫油氣儲(chǔ)層描述［29-30］，但在較長(zhǎng)的一段時(shí)期內(nèi)，橫波并沒(méi)有在油氣勘探中得到廣泛應(yīng)用，主要是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的橫波震源技術(shù)無(wú)法獲得高品質(zhì)數(shù)據(jù)。

轉(zhuǎn)換橫波不依賴(lài)于震源，可以通過(guò)爆炸源和垂直力源激發(fā)、三分量檢波器接收，因此從20世紀(jì)90年代開(kāi)始，它作為橫波的替代應(yīng)用于油氣勘探。目前，業(yè)界已針對(duì)轉(zhuǎn)換波數(shù)據(jù)的處理和成像開(kāi)展了大量的研究工作［31-35］。實(shí)際應(yīng)用結(jié)果表明，由于橫波傳播基本不受流體影響，轉(zhuǎn)換橫波在氣云區(qū)成像方面具有一定的優(yōu)勢(shì)［36］；聯(lián)合反演縱波和轉(zhuǎn)換橫波數(shù)據(jù)有助于改善地層橫波速度和密度的反演結(jié)果，提高了反演穩(wěn)定性和精度［37-39］。然而，相比縱波，轉(zhuǎn)換橫波的數(shù)據(jù)品質(zhì)往往較低，難以獨(dú)立應(yīng)用于儲(chǔ)層的精細(xì)描述?？v波和轉(zhuǎn)換波聯(lián)合反演的效果在很大程度上依賴(lài)于縱、橫波數(shù)據(jù)的匹配精度，這導(dǎo)致聯(lián)合反演方法在實(shí)際應(yīng)用中受到一定程度的制約。

近年來(lái)，大噸位、寬頻橫波可控震源技術(shù)在油氣勘探行業(yè)中迅速發(fā)展，可以激發(fā)與縱波數(shù)據(jù)品質(zhì)相當(dāng)?shù)腟V-SV 波和SH-SH 波［40-44］，為橫波油氣勘探技術(shù)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用提供了良好的基礎(chǔ)。但是，目前地震橫波的反演理論尚不完善，有必要進(jìn)一步開(kāi)展縱波與橫波的反演能力對(duì)比、分析，為橫波反演方法研究提供理論依據(jù)。為此，本文首先介紹了不同類(lèi)型地震波反射系數(shù)的近似式，并通過(guò)與精確反射系數(shù)對(duì)比分析近似式的精度；然后構(gòu)建針對(duì)不同彈性參數(shù)的線性反演框架，計(jì)算不同待求參數(shù)組合的反演協(xié)方差矩陣，對(duì)比PP 波、PSV 波、PP 波和PSV波聯(lián)合、SH-SH 波、SV-SV 波在反演不同彈性參數(shù)時(shí)的不確定性；進(jìn)而通過(guò)計(jì)算不同類(lèi)型地震波反演的特征值和條件數(shù)，對(duì)比、分析反演問(wèn)題的不適定性；最后以反演協(xié)方差矩陣和反演條件數(shù)為依據(jù)明確了不同類(lèi)型地震波的反演能力及橫波反演方法的應(yīng)用潛力。

2 不同類(lèi)型地震波反射系數(shù)近似公式

不同彈性參數(shù)表示的反射系數(shù)近似式廣泛應(yīng)用于地震反演，因此在介紹PP 波、PSV 波、SH-SH 波、SV-SV 波反射系數(shù)近似式基礎(chǔ)上，通過(guò)與精確反射系數(shù)對(duì)比分析其精度。

2.1 PP 波

PP波的反射系數(shù)近似式為［45-46］

根據(jù)彈性參數(shù)之間的關(guān)系，可得到利用縱波阻抗IP、橫波阻抗IS等參數(shù)表示的近似式為［47］

利用IP、剪切模量μ等參數(shù)表示的近似式可表示為

對(duì)比PP 波反射系數(shù)近似式與精確公式，分析近似式在不同入射角的精度。采用的彈性界面參數(shù)如表1 所示，其中模型1 和模型2 均為弱阻抗差，模型3和模型4均為強(qiáng)阻抗差。

表1 不同模型彈性參數(shù)

由圖2 可見(jiàn)，式（1）～式（3）的精度基本相同。在弱阻抗差情況下（圖2a、圖2b），反射系數(shù)近似式在入射角50°以?xún)?nèi)保持較高的精度；在強(qiáng)阻抗差情況下（圖2c、圖2d），雖然在臨界角附近的精度有所下降，但在入射角30°以?xún)?nèi)依然保持較高的精度。由此可以得出結(jié)論，PP 波反射系數(shù)近似式可用于后續(xù)反演能力分析。

圖2 PP 波反射系數(shù)近似式精度分析

2.2 PSV 波

PSV 波的反射系數(shù)近似式為［48］

式中θ和?分別表示PP 波的入射角和PSV 波的反射角。

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)彈性參數(shù)之間的關(guān)系可進(jìn)一步整理得到IS和ρ表示的近似式

利用μ和VS表示的近似公式為

從式（4）～式（6）可以看出，PSV 波的反射系數(shù)近似式雖然只含有2 個(gè)待反演的模型參數(shù)，但是由于公式中還包含了θ、?、γ，因此實(shí)際上各個(gè)待求參數(shù)的系數(shù)并不是“參數(shù)獨(dú)立”的。在實(shí)際反演時(shí)，反射系數(shù)公式中的系數(shù)項(xiàng)對(duì)待求參數(shù)的先驗(yàn)信息的依賴(lài)性較高。

對(duì)比PSV 波反射系數(shù)近似式與精確式，分析近似式在不同入射角的精度。同樣采用表1所示的彈性參數(shù)。

由圖3 可見(jiàn)，式（4）～式（6）的精度基本相同。在弱阻抗差情況下，反射系數(shù)近似式在入射角50°以?xún)?nèi)保持較高的精度；在強(qiáng)阻抗差情況下，雖然在臨界角附近的精度有所下降，但在入射角30°以?xún)?nèi)仍然保持較高的精度。

圖3 PSV 波反射系數(shù)近似式精度分析

2.3 SH-SH 波

SH-SH 波反射系數(shù)的精確式可表示為［49］

式中?1和?2分別表示SH波的入射角和透射角。根據(jù)上式，SH波的反射特征僅與地下介質(zhì)的2個(gè)參數(shù)（橫波速度和密度）有關(guān)，這與PP波的反射特征有顯著差異。

將式（8）代入式（7），忽略二階以上高階項(xiàng)，可推導(dǎo)出用VS和ρ表示的SH-SH波反射系數(shù)的近似式［50］

在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步推導(dǎo)得到利用IS和VS表示的近似式

利用μ和VS表示的近似式為

從式（9）～式（11）可以看出，SH-SH 波的反射系數(shù)方程都具有非常簡(jiǎn)單的表達(dá)形式，即每個(gè)方程只含有2個(gè)待反演的模型參數(shù)（如式（9）中的VS和ρ），并且各個(gè)待求參數(shù)的系數(shù)是“參數(shù)無(wú)關(guān)的”，在實(shí)際反演時(shí)無(wú)需依賴(lài)待反演參數(shù)的先驗(yàn)信息。

對(duì)比SH-SH 波反射系數(shù)近似式與精確公式，分析近似式在不同入射角的精度，同樣采用表1 所示的彈性參數(shù)。

由圖4可見(jiàn)，式（9）～式（11）的精度基本相同。在弱阻抗差情況下，反射系數(shù)近似式在入射角50°以?xún)?nèi)保持較高的精度；在強(qiáng)阻抗差情況下，雖然由于臨界角導(dǎo)致精度有所下降，但在入射角30°以?xún)?nèi)仍然保持較高的精度。

圖4 SH-SH 波反射系數(shù)近似式精度分析

2.4 SV-SV 波

Zhang［51］推導(dǎo)了用VS和ρ表示的SV-SV 波反射系數(shù)的改進(jìn)公式，即

式中為SV 波入射角和透射角的平均值。根據(jù)彈性參數(shù)之間的關(guān)系，可推導(dǎo)得到IS和VS表示的近似式

利用μ和VS表示的近似式可表示為

從式（12）～式（14）可以看出，SV-SV 波近似式中的與地層的橫波速度有關(guān)，因此SV-SV 波反射系數(shù)近似式中各個(gè)待求參數(shù)的系數(shù)不僅與角度有關(guān)，同時(shí)也受介質(zhì)VS的影響，并非完全“參數(shù)無(wú)關(guān)的”，并且SV-SV 波反射系數(shù)由于受縱波速度的隱性影響導(dǎo)致存在多個(gè)臨界角。在VS2>VS1時(shí)，三個(gè)臨界角分別為多臨界角會(huì)導(dǎo)致近似式在臨界角處出現(xiàn)較大誤差。

對(duì)比SV-SV 波反射系數(shù)近似式與精確公式，分析近似式在不同入射角的精度，同樣采用表1 所示的彈性參數(shù)。

由圖5 可見(jiàn)，反射系數(shù)近似式式（12）～式（14）的近似精度基本相同。在弱阻抗差情況下，反射系數(shù)近似公式在入射角50°以?xún)?nèi)保持較高的精度；在強(qiáng)阻抗差情況下，多臨界角現(xiàn)象導(dǎo)致近似式精度大幅下降（在模型3時(shí)，第一個(gè)臨界角約為21°），僅在入射角20°以?xún)?nèi)保持較高精度。

圖5 SV-SV 波反射系數(shù)近似式精度分析

綜上所述，不同類(lèi)型地震波反射系數(shù)近似式在弱阻抗差（模型1 和模型2）的情況下，入射角50°以?xún)?nèi)均保持較高的近似；在強(qiáng)阻抗差（模型3和模型4）的情況下，近似式的精度出現(xiàn)了不同程度的下降，這是由于近似式的推導(dǎo)是基于弱阻抗假設(shè)條件的。因此，在后續(xù)的反演分析中，本文采用的最大入射角為50°，反射系數(shù)近似式的精度可滿足理論分析的需求。

3 基于協(xié)方差矩陣的反演不確定性分析

3.1 方法原理

根據(jù)不同類(lèi)型地震波的反射系數(shù)近似式可以構(gòu)建一個(gè)線性正演方程

式中R、F、m分別表示反射系數(shù)（觀測(cè)數(shù)據(jù)）、正演算子（映射關(guān)系）、模型參數(shù)（待求參數(shù)）。

根據(jù)貝葉斯原理，待求參數(shù)的后驗(yàn)概率密度分布的最大值是其期望值，參數(shù)的方差可描述后驗(yàn)概率密度分布與期望之間的離散程度，因此方差可用于描述參數(shù)估計(jì)的不確定性。參數(shù)協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素表示每個(gè)參數(shù)估計(jì)的方差，而非對(duì)角元素表示不同變量之間的相關(guān)性，因此參數(shù)協(xié)方差矩陣可用于研究反演中的不確定性。本文采用Downton［8］和Zhang等［52］的方法，通過(guò)計(jì)算待求參數(shù)的協(xié)方差矩陣Cm，定量分析反演的不確定性。當(dāng)數(shù)據(jù)噪聲滿足高斯分布，并且符合均勻、不相關(guān)的假設(shè)，則協(xié)方差矩陣Cm可通過(guò)下式計(jì)算

式中：σn為估算的數(shù)據(jù)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差；不同類(lèi)型地震波的F矩陣具體形式見(jiàn)附錄A。

利用不同彈性參數(shù)表示的反射系數(shù)近似式可得到對(duì)應(yīng)的待求參數(shù)組合。本文分別計(jì)算了最大入射角度分別為30°、40°、50°時(shí)的反演協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣中某元素的數(shù)值越大，表明反演該元素對(duì)應(yīng)的參數(shù)的不確定性越大。結(jié)合前人的研究成果，本文將反演協(xié)方差矩陣中元素值小于0.05 作為反演不確定性較小的定量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

3.2 結(jié)果分析

3.2.1 PP 波

PP波在不同最大角度下的反演協(xié)方差矩陣如圖6所示。由圖可見(jiàn)，對(duì)于所有的待求參數(shù)組合，反演協(xié)方差矩陣中各元素的數(shù)值都隨著PP 波數(shù)據(jù)的最大入射角度的增加而減小，這表明入射角度越大，反演各個(gè)參數(shù)的不確定性越小。當(dāng)PP 波數(shù)據(jù)的最大角度為30°時(shí)，只有IP的不確定性較小，而其他參數(shù)的不確定性都很高（圖6a），這表明當(dāng)使用小角度（<30°）的PP波數(shù)據(jù)反演其他參數(shù)時(shí)，反演結(jié)果的準(zhǔn)確性在很大程度上依賴(lài)于數(shù)據(jù)的品質(zhì)、初始模型的可靠性、正則化方法等。當(dāng)PP 波數(shù)據(jù)的最大角度達(dá)到40°時(shí)，IS的不確定性明顯降低，但是其他參數(shù)的不確定性仍然很高（圖6b）。當(dāng)PP 波數(shù)據(jù)的最大角度達(dá)到50°時(shí)，所有參數(shù)的不確定性都能夠降低到相對(duì)理想的數(shù)值（各參數(shù)的協(xié)方差<0.05），但是ρ和μ的不確定性相比于縱、橫波阻抗仍然較高（圖6c中和圖6c右）。因此，相比于其他參數(shù)，需要輸入較大角度的數(shù)據(jù)（>50°），PP 波才可準(zhǔn)確反演ρ和μ。

圖6 不同角度數(shù)據(jù)PP 波反演不同彈性參數(shù)時(shí)的協(xié)方差矩陣

3.2.2 PSV 波

PSV 波在不同入射角下的協(xié)方差矩陣如圖7 所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)PSV 波的最大角度為30°時(shí)，只有IS的不確定性較小，其他參數(shù)的不確定性都很高（圖7a）；當(dāng)最大角度達(dá)到40°時(shí)，各參數(shù)的不確定性明顯降低（各參數(shù)的協(xié)方差<0.1， 圖7b）；當(dāng)最大角度達(dá)到50°時(shí)，所有參數(shù)的不確定性都非常低（各參數(shù)的協(xié)方差都接近0， 圖7c）。以上角度均為縱波入射角，在縱、橫波速度比為1.25 時(shí)，對(duì)應(yīng)的橫波反射角分別為23.6°、30.9°、37.8°。值得注意的是，相比于縱波數(shù)據(jù)，PSV 波數(shù)據(jù)品質(zhì)相對(duì)較低，并且由于PSV波傳播路徑的不對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致其數(shù)據(jù)處理流程較為復(fù)雜，難以獨(dú)立應(yīng)用于精細(xì)的儲(chǔ)層描述，一般應(yīng)聯(lián)合應(yīng)用PSV 波和PP 波數(shù)據(jù)以提升反演穩(wěn)定性和解釋的精度。

3.2.3 PP 波和PSV 波聯(lián)合反演

由于單獨(dú)利用PP 波反演ρ、μ等參數(shù)會(huì)存在較大的不確定性，在實(shí)際應(yīng)用中，通常加入PSV 波信息，利用PP-PSV 波聯(lián)合反演以減少反演的不確定性。

根據(jù)PP 波和PSV 波近似式（式（1）～式（6）），PPPSV 波聯(lián)合反演不同參數(shù)的不確定性如圖8 所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)最大角度（縱波入射角）為30°時(shí)，IP和IS的不確定性較小，其他參數(shù)的不確定性相比PP 波反演有所下降，但仍然較高（圖8a）；當(dāng)最大角度達(dá)到40°時(shí)，各參數(shù)的不確定性明顯降低（各參數(shù)的協(xié)方差<0.05，圖8b）；當(dāng)最大角度達(dá)到50°時(shí)，所有參數(shù)的不確定性都非常低（各個(gè)參數(shù)的協(xié)方差都接近0，圖8c）。在縱、橫波速度比為1.25 時(shí)，對(duì)應(yīng)的橫波反射角分別為23.6°、30.9°、37.8°。結(jié)果表明：相較于單獨(dú)使用PP 波，聯(lián)合使用PP 波和PSV 波在反演ρ和μ等參數(shù)時(shí)具有明顯優(yōu)勢(shì)。PSV 波數(shù)據(jù)的處理過(guò)程比純波（PP 波、SV-SV 波、SH-SH 波）更為復(fù)雜，因此在實(shí)際應(yīng)用中，聯(lián)合反演的效果很大程度上依賴(lài)于縱、橫波數(shù)據(jù)的匹配精度，而實(shí)際上地震縱、橫波數(shù)據(jù)的高精度匹配仍然存在一定的困難。

圖8 不同角度PP 波和PSV 波聯(lián)合反演不同彈性參數(shù)時(shí)的協(xié)方差矩陣

3.2.4 SH-SH 波

SH-SH波反演不同彈性參數(shù)的不確定性如圖9所示。由圖可見(jiàn)，即使使用小角度的數(shù)據(jù)（<30°），SH-SH波反演IS、VS、ρ、μ的不確定性也較?。▓D9a），參數(shù)協(xié)方差的數(shù)值基本與PP 波最大入射角為50°時(shí)的反演結(jié)果相當(dāng)。當(dāng)SH-SH 波數(shù)據(jù)的最大角度達(dá)到40°時(shí)，各參數(shù)的不確定性進(jìn)一步降低（各參數(shù)協(xié)方差<0.05，圖9b）；當(dāng)最大角度達(dá)到50°時(shí)，反演的不確定性已經(jīng)非常?。ǜ鲄?shù)的協(xié)方差接近0，圖9c）。相比于PP波，SH-SH 波在反演ρ和μ等參數(shù)時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)。此外，SH-SH 波的反射系數(shù)近似式中各個(gè)待求參數(shù)的系數(shù)是“參數(shù)無(wú)關(guān)的”。在實(shí)際反演時(shí)，SH-SH 波相比于PP 波和PSV 波（待求參數(shù)的系數(shù)與γ有關(guān)）對(duì)待求參數(shù)的先驗(yàn)信息的依賴(lài)更小，并且SH-SH 波僅包含兩項(xiàng)待反演參數(shù)，因此可有效減少反演的病態(tài)性，提高反演的穩(wěn)定性。

圖9 不同角度SH-SH 波反演不同彈性參數(shù)時(shí)的協(xié)方差矩陣

3.2.5 SV-SV 波

SV-SV 波的反演協(xié)方差矩陣如圖10所示。由圖可見(jiàn)，與PP 波相比，SV-SV 波在反演IS、VS、ρ、μ等參數(shù)時(shí)的不確定顯著降低。僅使用小角度（<30°）的SVSV 波數(shù)據(jù)即可穩(wěn)定反演各個(gè)參數(shù)（各參數(shù)協(xié)方差<0.05， 圖10a），更大角度的數(shù)據(jù)對(duì)待求參數(shù)的不確定性的影響較?。▓D10b、圖10c）。因此，相比于SH-SH波，SV-SV 波在反演不同彈性參數(shù)時(shí)對(duì)輸入數(shù)據(jù)的最大角度的需求更低。值得注意的是，SV-SV 波與SHSH 波雖同屬橫波，在各向同性介質(zhì)中兩者具有相同的傳播速度，但是SV-SV 波與PP 波的偏振方向在同一平面，SH-SH 波的偏振方向垂直于前兩者所在的平面。因此，在實(shí)際數(shù)據(jù)的波場(chǎng)分離中，SV 波更容易受到P 波的影響［53］，而SH 波則與PP 波完全解耦，并且SV-SV 波存在多臨界角現(xiàn)象。因此，關(guān)于SV-SV 波反演和SH-SH 波反演的適用性需要結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)具體分析。

圖10 不同角度SV-SV 波反演不同彈性參數(shù)時(shí)的協(xié)方差矩陣

綜上所述，對(duì)于同一類(lèi)型地震波的不同待求參數(shù)組合，反演的不確定性也存在一定差異。PP 波及PP波與PSV 波聯(lián)合反演的最佳待求參數(shù)組合為IP、IS和ρ；PSV 波的最佳待求參數(shù)為IS和ρ；SV-SV 波和SHSH 波的最佳待求參數(shù)為IS和VS。地震橫波（SH-SH波和SV-SV 波）在反演μ、ρ等參數(shù)時(shí)，相較于PP 波和PSV 波在反演能力和反演精度等方面有了顯著的提升。除此之外，地震橫波的數(shù)據(jù)處理流程與縱波類(lèi)似，相較于轉(zhuǎn)換橫波的處理流程而言已大幅簡(jiǎn)化，并且反演結(jié)果不依賴(lài)于高精度的縱、橫波數(shù)據(jù)匹配，因此在油氣儲(chǔ)層精細(xì)描述中具有很大的應(yīng)用潛力。

4 基于特征值和條件數(shù)的反演不適定性分析

4.1 方法原理

在數(shù)據(jù)空間和模型空間可以將F奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）為三個(gè)正交分量［54］

式中：Λ為特征值的對(duì)角矩陣；M表示模型空間的特征向量；D表示數(shù)據(jù)空間的特征向量（圖11）。特征值表示對(duì)應(yīng)分量的能量，特征值越大表示模型參數(shù)對(duì)應(yīng)的能量分量越大。如果不同參數(shù)的特征值相差較大，表示反演結(jié)果具有較強(qiáng)的病態(tài)性，需要大角度信息才可準(zhǔn)確反演模型參數(shù)。因此，可根據(jù)不同角度的特征值分析反演的不適定性。

圖11 線性正演算子奇異值分解示意圖［54］

通?？梢杂脳l件數(shù)描述反演的不適定性，它為F的范數(shù)與F的逆的范數(shù)的乘積，即

對(duì)于反演而言，條件數(shù)較大的反演稱(chēng)為病態(tài)，條件數(shù)較小的反演稱(chēng)為良態(tài)。因此，可進(jìn)一步利用條件數(shù)隨最大入射角的變化分析線性反演的不適定性。為便于直觀顯示，本文將特征值和條件數(shù)的單位均用dB（即20 lgλi，λi表示特征值）表示。由于條件數(shù)可表示為最大特征值與最小特征值的比值，在對(duì)數(shù)形式下，條件數(shù)即為最大特征值與最小特征值之差。

4.2 結(jié)果分析

根據(jù)不同反射系數(shù)近似式構(gòu)建F，并對(duì)F進(jìn)行奇異值分解可分析線性反演的不適定性。為了與前文近似精度分析保持一致，選擇最大入射角為50°，并將反演條件數(shù)小于20 dB 作為反演不適定性較小的定量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即彈性參數(shù)對(duì)應(yīng)能量分量最大值與最小值相差10倍。

4.2.1 PP 波

根據(jù)PP 波反射系數(shù)近似式（式（1））構(gòu)建F，計(jì)算得到的特征值及條件數(shù)隨最大入射角的變化情況如圖12 所示。由圖可見(jiàn)，VP特征值隨最大入射角變化較小，并且在三個(gè)特征值中一直最大，表示VP對(duì)應(yīng)的能量分量最大；而ρ特征值最小，表示ρ對(duì)應(yīng)的能量分量最小。雖然ρ特征值隨最大入射角增大而增大，但在最大角度為50° 時(shí)，ρ特征值與VP特征值仍相差30 dB 左右（圖中紅點(diǎn)處），這表明即使在大角度情況下密度參數(shù)仍然難以準(zhǔn)確反演。不同參數(shù)之間的特征值差異隨著最大入射角的增大而減小，對(duì)應(yīng)的反演條件數(shù)隨最大入射角的增大而減小，但在最大角度為50° 時(shí)，反演條件數(shù)仍然較高（大于20 dB），這表明PP 波三參數(shù)反演具有較高的病態(tài)性，尤其是難以準(zhǔn)確反演密度參數(shù)。

圖12 PP 波反演的特征值（a）和條件數(shù)（b）隨最大入射角的變化關(guān)系

4.2.2 PSV 波

PSV 波反演的特征值及條件數(shù)隨最大入射角的變化情況如圖13 所示，PSV 波反演僅有2 個(gè)待反演參數(shù)，其中VS特征值較大，表示VS對(duì)應(yīng)的能量分量最大；而ρ特征值較小，隨著最大入射角的增大，ρ特征值逐漸增大，并且在最大入射角為48° 左右時(shí)，ρ特征值與VS特征值之差下降到20 dB 左右（圖中紅點(diǎn)處），表明此時(shí)可以得到密度參數(shù)可靠反演結(jié)果。相比于PP 波三參數(shù)反演，PSV 波反演的條件數(shù)有所下降，在最大入射角為48° 時(shí)下降到20 dB 左右，表示PSV 波反演可在一定程度上降低反演的不適定性，但仍需45° 以上的中角度數(shù)據(jù)才可得到可靠的密度反演結(jié)果。

圖13 PSV 波反演的特征值（a）和條件數(shù)（b）隨最大入射角的變化關(guān)系

4.2.3 PP 波和PSV 波聯(lián)合反演

PP波和PSV 波聯(lián)合反演的特征值及條件數(shù)隨最大入射角的變化情況如圖14 所示。由圖可見(jiàn)，在三個(gè)特征值中VP特征值最大，表示VP對(duì)應(yīng)的能量分量最大；而ρ特征值相比于PP 波反演明顯增大，表示ρ對(duì)應(yīng)的能量分量得到提高，因此ρ反演的穩(wěn)定性得到顯著提升。VP與ρ之間的特征值差異隨著最大入射角的增大而減小，對(duì)應(yīng)的反演條件數(shù)隨最大入射角的增大而減小，這表明反演的病態(tài)性逐漸減弱。在最大入射角為20° 左右時(shí)，反演條件數(shù)下降到20 dB 左右（圖中紅點(diǎn)處），表明相比于PP 波三參數(shù)反演，PP 波和PSV 波聯(lián)合反演可顯著降低反演的不適定性，僅需20°左右的小角度數(shù)據(jù)即可準(zhǔn)確反演密度參數(shù)。聯(lián)合反演可有效提高反演的穩(wěn)定性，但在實(shí)際應(yīng)用中需要考慮縱、橫波匹配精度的影響。

圖14 PP 波和PSV 波聯(lián)合反演的特征值（a）和條件數(shù)（b）隨最大入射角的變化關(guān)系

4.2.4 SH-SH 波

SH-SH 反演的特征值及條件數(shù)隨最大入射角的變化情況如圖15 所示。與PSV 波類(lèi)似，SH-SH 波反演僅有2 個(gè)待反演參數(shù)，其中VS特征值較大，并且一直大于0，表示VS對(duì)應(yīng)的能量分量最大；而ρ特征值較小，隨著最大入射角的增大，ρ特征值逐漸增大。在最大入射角為35°時(shí)，兩者特征值之差下降至20 dB 左右（圖中紅點(diǎn)處），表明ρ的可靠反演僅需35°左右的中角度數(shù)據(jù)即可。相比于PP 波三參數(shù)反演，SH-SH 波反演的條件數(shù)大幅下降，表示SH-SH 波反演可有效降低反演的不適定性，在密度反演方面具有較好的應(yīng)用潛力。

圖15 SH-SH 波反演的特征值（a）和條件數(shù)（b）隨最大入射角的變化關(guān)系

4.2.5 SV-SV 波

SV-SV 波反演的特征值及條件數(shù)隨最大入射角的變化情況如圖16 所示。SV-SV 波反演僅有2 個(gè)待反演參數(shù)，其中VS特征值隨最大入射角變化較小，但數(shù)值一直大于0，說(shuō)明VS對(duì)應(yīng)的大部分反射波能量分量；而ρ特征值隨著最大入射角的增大也明顯增大。兩者特征值之差在最大入射角為20°左右達(dá)到20 dB左右（圖中紅點(diǎn)處），表明ρ的可靠反演僅需20°左右的小角度數(shù)據(jù)即可。相比于PP 波三參數(shù)反演，SV-SV波反演的條件數(shù)大幅下降，表明SV-SV 波兩參數(shù)反演具有較低的不適定性，在密度反演方面具有顯著優(yōu)勢(shì)。

圖16 SV-SV 波反演的特征值（a）和條件數(shù)（b）隨最大入射角的變化關(guān)系

5 結(jié)果

綜上所述，根據(jù)反演協(xié)方差矩陣和反演條件數(shù)可得到不同類(lèi)型地震波反演彈性參數(shù)的反演能力如表2所示。從表中可以看出，橫波（SV-SV 波和SH-SH波）在反演等橫波阻抗IS、橫波速度VS、剪切模量μ、密度ρ等參數(shù)時(shí)較縱波和轉(zhuǎn)換橫波有明顯的優(yōu)勢(shì)，有效降低了反演對(duì)輸入數(shù)據(jù)的需求，并且顯著降低了反演的不適定性。

表2 不同類(lèi)型地震波反演彈性參數(shù)時(shí)的可行性分析

6 結(jié)論與討論

本文基于不同類(lèi)型地震波反射系數(shù)近似式，構(gòu)建線性反演框架，利用反演協(xié)方差矩陣和反演條件數(shù)對(duì)比、分析了地震縱、橫波對(duì)不同彈性參數(shù)的反演能力。理論分析驗(yàn)證了橫波在反演密度、剪切模量、橫波速度等參數(shù)方面具有良好的應(yīng)用潛力，可為橫波反演方法研究提供有力的理論支撐。與轉(zhuǎn)換橫波相比，橫波的處理過(guò)程更為簡(jiǎn)單，在彈性參數(shù)反演及儲(chǔ)層預(yù)測(cè)方面具有良好的應(yīng)用前景。

需要說(shuō)明的是，以上理論分析并沒(méi)有引入正則化，這是因?yàn)椴煌恼齽t化方法會(huì)不同程度地降低反演結(jié)果的不確定性和不適定性，不利于客觀地分析不同類(lèi)型地震波的反演能力。而在實(shí)際地震數(shù)據(jù)反演中，則需要合理使用正則化以降低反演結(jié)果的不確定性。另外，在分析中假設(shè)不同類(lèi)型的地震波數(shù)據(jù)具有相同的信噪比，這一假設(shè)可能與應(yīng)用中的實(shí)際情況并不一致。

附錄A 不同類(lèi)型地震波的線性正演算子F 表達(dá)式

根據(jù)P P波反射系數(shù)近似式（1），待求解參數(shù)為縱波速度VP、橫波速度VS和密度ρ時(shí)，入射角度分別為θ1，θ2，…，θN（N為角度個(gè)數(shù)），P P波線性正演算子F可表示為

式中γ為縱橫波速度比。

根據(jù)PSV 波反射系數(shù)近似式（式（4）），待求解參數(shù)為Vs 和ρ時(shí)，入射角度分別為θ1，θ2，…，θN，對(duì)應(yīng)的SV 波反射角度為?1，?2，…，?N，F(xiàn)可表示為

根據(jù)SH-SH 波反射系數(shù)近似式（9），待求解參數(shù)為Vs 和ρ時(shí)，SH 波入射角度分別為?1，?2，…，?N，F(xiàn)可表示為

根據(jù)SV-SV 波反射系數(shù)近似式（式（12）），待求解參數(shù)為Vs 和ρ時(shí)，SV 波入射角和透射角的平均值分別為可表示為

當(dāng)待求解參數(shù)為其他彈性參數(shù)時(shí)，根據(jù)不同類(lèi)型地震波的反射系數(shù)近似式即可得到對(duì)應(yīng)的F的表達(dá)式。