一類(lèi)J.Simons型積分不等式

洪濤清,張劍鋒

(麗水學(xué)院 數(shù)學(xué)系,浙江 麗水 323000)

隨著分析方法的發(fā)展,學(xué)者們對(duì)黎曼幾何的研究越來(lái)越深刻,關(guān)于它的相關(guān)結(jié)論與證明方法也得到不斷更新.近來(lái)學(xué)者們對(duì)常曲率空間中各類(lèi)子流形幾何的研究取得了非常重要的研究成果,特別是球面Sn+p(a)中的極小子流形.J.Simons建立了關(guān)于Sn+p(a)中極小子流形的第二基本形式模長(zhǎng)平方的積分不等式[1]

(1)

其中:dv表示Mn的體積元素;S是第二基本形式的模長(zhǎng)平方,即S=‖B‖2.

J.Simons積分不等式對(duì)子流形幾何的研究和發(fā)展有很大影響.應(yīng)用J.Simons方法,可以建立各種非空間形式各類(lèi)子流形的J.Simons型積分不等式[2-4].將J.Simons積分不等式推廣到非空間形式中各類(lèi)子流形,成為子流形幾何中重要的研究課題.

Chen[5]提出了擬常曲率空間的概念,它是常曲率空間的推廣.對(duì)于擬常曲率空間中的極小子流形,Bai[6]建立了J.Simons型積分不等式.宋衛(wèi)東[7]研究了擬常曲率空間中的2-調(diào)和子流形,給出了類(lèi)似的積分不等式.

Gazi等[8]將擬常曲率空間的概念推廣到近擬常曲率空間,并給出了近擬常曲率空間但不是擬常曲率空間的例子,論文給出了這個(gè)例子的證明.

Su等[9]利用代數(shù)引理和基本方程,建立了近擬常曲率空間中雙重卷積子流形關(guān)于Ricci曲率和平均曲率的幾何不等式.耿杰等[10]建立了近擬常曲率空間具有常平均曲率超曲面的Pinching定理.

論文主要研究近擬常曲率空間中的極小子流形,建立了近擬常曲率空間中的極小子流形關(guān)于其第二基本形式模長(zhǎng)平方S的J.Simons型積分不等式,主要結(jié)果為定理A.

定理A設(shè)Mn是近擬常曲率空間中Nn+p緊致極小子流形,則成立下列積分不等式

(2)

其中:a,b為Nn+p上的連續(xù)函數(shù);dv為Mn的體積元素;S為Mn第二基本形式的模長(zhǎng)平方‖B‖2.

1 定理A的證明

4={(x1,x2,x3,x4)|xi∈},

g=gijdxidxj=(x4)4/3[(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2]+(dx4)2,

在其余情況下,KABCD=0,其黎曼曲率可表示為

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACfBD+gBDfAC-gADfBC-gBCfAD),

其中

定理A的證明.設(shè)(Nn+p,g)表示其黎曼曲率張量,取如下形式

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACλBλD-gBDλAλC-gADλBλC-gBCλAλD),

(3)

的n+p維單連通完備黎曼流形,稱(chēng)為擬常曲率空間[8].其中:g是Nn+p的黎曼度量;a,b是Nn+p上c∞-函數(shù);{λA}是Nn+p上一個(gè)單位向量函數(shù).顯然,擬常曲率空間是常曲率空間的推廣.

若(Nn+p,g)表示其黎曼曲率張量,取如下形式

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACfBD+gBDfAC-gADfBC-gBCfAD),

(4)

的n+p維單連通完備的黎曼流形,稱(chēng)為近擬常曲率空間[8].其中:g是Nn+p的黎曼度量;a,b為Nn+p上c∞-函數(shù);{fAB}是Nn+p上一個(gè)單位向量函數(shù).

顯然,當(dāng)fAB可解為λAλB,即fAB=λAλB時(shí),近擬常曲率空間就是擬常曲率空間.

設(shè)Nn+p是n+p維單連通完備的近擬常曲率空間,Mn是Nn+p上n維的緊致極小子流形,在Nn+p上選取局部正交標(biāo)架{eA}限制在Mn上,{ei}與Mn相切.

約定各類(lèi)指標(biāo)的取值范圍

1≤A,B,C…≤n+p,1≤i,j,k,…≤n,n+1≤α,β,γ,…≤n+p,

在此標(biāo)架下,由式(4)可得Nn+p的曲率張量為

KABCD=a(δACδBD-δADδBC)+b(δACfBD+δBDfAC-δADfBC-δBCfAD),

(5)

顯然,有

Kαβjk=0.

(6)

設(shè){ωA}及{ωAB}是{eA}的對(duì)偶標(biāo)架及聯(lián)絡(luò)1-形式,限制在Mn上,有

(7)

(8)

Mn的第二基本形式模長(zhǎng)‖B‖及Mn的平均曲率H分別記為

(9)

仿文獻(xiàn)[1],有

(10)

其中

下面,估計(jì)式(10)中A1,A2,A3,A4,A5.

由式(6),有

A5=0.

(11)

有

有

(12)

現(xiàn)在估計(jì)A2,由式(5)及Mn為極小子流形H=0,有

由Cauchy不等式,得

有

于是

(13)

(14)

又因?yàn)榫仃?trHαHβ)p×p是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,所以可使矩陣對(duì)角化,即

從而由文獻(xiàn)[11],有

(15)

由(14),(15),有

(16)

結(jié)合式(10)～(16)以及Green散度定理,得

(17)

由于Mn的緊致性,對(duì)式(20)兩邊積分,應(yīng)用Stokes定理,得

即完成了定理A的證明.