一種基于迭代自適應(yīng)的離網(wǎng)格DOA估計(jì)方法

揭允康 張 雯 李 想 葉曉東 王 昊 陶詩(shī)飛*

①(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院 南京 210094)

②(北方電子設(shè)備研究所 北京 100191)

1 引言

波達(dá)方向估計(jì)(Direction O f A rrival,DOA)在雷達(dá)、通信、電子對(duì)抗、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在現(xiàn)有的DOA估計(jì)方法中，基于稀疏重構(gòu)的估計(jì)算法適用于非均勻陣列，能估計(jì)出比陣元數(shù)更多的信源個(gè)數(shù)，并且在低信噪比、低快拍、相干信源條件下具有優(yōu)良的性能，因此得到了廣大學(xué)者的關(guān)注[1–20]。

基于稀疏重構(gòu)的DOA估計(jì)方法需要選擇一個(gè)稀疏度量，在預(yù)定義的離散字典網(wǎng)格上進(jìn)行信號(hào)的重構(gòu)。一些方法利用正則化系數(shù)綜合重構(gòu)精度與稀疏程度，這往往會(huì)導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果精度無(wú)法保證[3,4]。為了消除正則化系數(shù)的干擾，一系列無(wú)參數(shù)的估計(jì)方法被提出，如基于稀疏迭代的協(xié)方差估計(jì)(SParse Iterative Covariance based Estim ation,SPICE)、迭代自適應(yīng)(Iterative Adaptive Approach,IAA)、基于似然的稀疏參數(shù)估計(jì)(LIkelihood-based Estimation of Sparse parameters,LIKES)等[5–7]，這些方法能在預(yù)定義的網(wǎng)格上重構(gòu)信號(hào)，然而實(shí)際上待估計(jì)信源的位置往往不會(huì)正好定位在網(wǎng)格上，導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果誤差較大。

為了解決網(wǎng)格與信源位置不匹配的問(wèn)題，一類方法是提高網(wǎng)格的密集度，但這會(huì)導(dǎo)致算法復(fù)雜度急劇上升[8]；另一類方法是自適應(yīng)的網(wǎng)格細(xì)化方法，徐文先等人[9]在IAA算法的估計(jì)的基礎(chǔ)上細(xì)化網(wǎng)格，進(jìn)行自適應(yīng)的字典校正，能準(zhǔn)確估計(jì)出偏離網(wǎng)格的信源角度，但是細(xì)化網(wǎng)格會(huì)帶來(lái)較大運(yùn)算負(fù)擔(dān)，并且當(dāng)網(wǎng)格間的相關(guān)度過(guò)高時(shí)，根據(jù)有限等距性質(zhì)(Restricted Isom etry Property,RIP)準(zhǔn)則，此時(shí)算法的估計(jì)能力反而大大降低[10]。針對(duì)該問(wèn)題，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了基于偏移量的離網(wǎng)格稀疏重構(gòu)估計(jì)方法[11–15]。G retsistas等人[11]基于正交匹配的原則提出了同步正交匹配追蹤(Sim u ltaneous Orthogonal M atching Pursuit,SOMP)方法，交替優(yōu)化信號(hào)分量和網(wǎng)格偏移量，實(shí)現(xiàn)了離網(wǎng)格的DOA估計(jì)，但是其計(jì)算量過(guò)高，并且部分情況下精度無(wú)法保證；Yang等人[12]提出了一種離網(wǎng)稀疏貝葉斯推理(O ff-G rid Sparse Bayesian In ference,OGSBI)的方法。在OGSBI方法基礎(chǔ)上，一系列基于貝葉斯框架內(nèi)的估計(jì)算法被提出，如W u等人[13]提出的基于期望最大化的改進(jìn)稀疏貝葉斯推理方法等。然而上述方法大多涉及非凸優(yōu)化，只能保證局部收斂，并且具有較大計(jì)算復(fù)雜度。M a等人[14]提出了一種基于迭代相位偏移校正的估計(jì)方法(Iterative Phase O ffset Correction,IPOC)，該方法利用虛擬陣的等效單快拍接收數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行DOA估計(jì)，應(yīng)用在稀疏陣上能在增大陣列自由度的同時(shí)減小算法復(fù)雜度，但應(yīng)用在均勻陣時(shí)估計(jì)精度受限；王洪雁等人[15]提出了一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的離網(wǎng)格DOA方法，但其功率求解涉及凸優(yōu)化問(wèn)題，具有較高的計(jì)算復(fù)雜度。與此同時(shí)，一類基于原子范數(shù)最小化及Toep litz矩陣范德蒙德分解的無(wú)網(wǎng)格方法也被提出[16–18]，但是這類方法僅適用于均勻陣列。對(duì)于非均勻陣列，Zhou等人[19,20]提出了基于陣元內(nèi)插的Toep litz矩陣重構(gòu)方法，并在互質(zhì)陣列上取得了良好的效果。然而陣元內(nèi)插不可避免地帶來(lái)額外的估計(jì)誤差，并且半定規(guī)劃問(wèn)題求解具有較高的計(jì)算復(fù)雜度。

針對(duì)上述算法存在的問(wèn)題，本文將離網(wǎng)格的思想引入到IAA算法中，并對(duì)IAA算法功率計(jì)算進(jìn)行修正，提出了一種基于修正IAA功率譜的離網(wǎng)格DOA估計(jì)算法(O ff-Grid Iterative Adaptive Approach,OGIAA)。該算法可以解決信源位置與網(wǎng)格不匹配等問(wèn)題，并且能夠進(jìn)行全局尋優(yōu)以實(shí)現(xiàn)高精度的DOA估計(jì)。算法可以分為基于修正IAA算法功率譜的粗估計(jì)和基于最小平方誤差準(zhǔn)則的偏移量求解兩個(gè)部分。首先，對(duì)IAA方法求出的功率譜進(jìn)行修正，得到預(yù)定義網(wǎng)格上更加準(zhǔn)確的信號(hào)功率分量和噪聲功率分量；之后，基于最小平方誤差準(zhǔn)則構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，利用泰勒二次展開(kāi)并最小化代價(jià)函數(shù)得到初始偏移量；最后，交替優(yōu)化功率分量和網(wǎng)格偏移量，直至滿足收斂條件。仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

2 基于修正IAA功率譜算法的粗估計(jì)

本文分別在第2節(jié)和第3節(jié)推導(dǎo)了OGIAA算法的兩個(gè)步驟。首先，通過(guò)修正IAA算法求出的空域功率譜得到信號(hào)功率和波達(dá)角方向的粗估計(jì)結(jié)果。假設(shè)存在一個(gè)M元均勻線陣，各個(gè)陣元全向同性且陣元間距為d，遠(yuǎn)場(chǎng)處有K個(gè)信號(hào)s k以角度θk抵達(dá)線陣，則陣列接收到的窄帶信號(hào)數(shù)據(jù)可以表示為

其中，N是快拍數(shù)，A是大小為M×K的導(dǎo)向矢量矩陣，A=(a(θ1),a(θ2),...,a(θK))，在遠(yuǎn)場(chǎng)條 件下，導(dǎo)向矢量a(θk)=e-j2πm dsinθk/λ，則有限快拍下的信號(hào)協(xié)方差矩陣可以表示為

其中，P=diag(p)，p表示K個(gè)信源的功率分量組成的向量。此外，除了期望信號(hào)s k之外的干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣Q(θk)可以表示為

接下來(lái)根據(jù)基于加權(quán)最小二乘法(W eigh ted Least Squares,W LS)的代價(jià)函數(shù)JWLS[21]得到波達(dá)角方向?yàn)棣萲的信號(hào)分量s k

最小化式(4)得到

根據(jù)式(3)和矩陣求逆定理，式(5)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

要求出信號(hào)在空域上的功率譜，首先基于等角度劃分的原則在空間域上設(shè)置過(guò)完備表示的離散網(wǎng)格Φ=(?1,?2,...,?Q)，其中Q?M ＞K，網(wǎng)格角度對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量矩陣為=(a(?1),a(?2),...,a(?Q))，根據(jù)式(1)的信號(hào)模型，對(duì)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的功率分量進(jìn)行初始估計(jì)

如果信源數(shù)已知，則可以直接根據(jù)功率譜得到對(duì)應(yīng)的功率譜峰值分量和對(duì)應(yīng)的粗估計(jì)結(jié)果。如果信源數(shù)未知，則可以根據(jù)貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criterion,BIC)[22]進(jìn)行粗估計(jì)。

其中，η是剩余的峰值數(shù)，j是功率譜峰值對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格位置，J是選中網(wǎng)格的集合。

假設(shè)附加噪聲e(n)為高斯白噪聲，文獻(xiàn)[7]直接利用求解噪聲功率，但是這一表達(dá)式得到的噪聲功率估計(jì)結(jié)果并不準(zhǔn)確。本文利用IAA求解過(guò)程中得到的信號(hào)分量估計(jì)出噪聲分量

3 基于最小平方誤差準(zhǔn)則的偏移量求解

接下來(lái)求解網(wǎng)格偏移量得到精細(xì)估計(jì)的結(jié)果。首先對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行向量化

其中，real(·)表示取括號(hào)內(nèi)復(fù)數(shù)變量的實(shí)部，在目標(biāo)函數(shù)F中對(duì)第k個(gè)信源的粗估計(jì)結(jié)果進(jìn)行2階泰勒展開(kāi)，得到新的代價(jià)函數(shù)Fˉ

其中，δk是的偏移量，為了求出代價(jià)函數(shù)的最小值，將Fˉ 對(duì)偏移量δk求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，解得

求解K次得到K個(gè)偏移量，則第1次DOA估計(jì)的結(jié)果為

將第1次估計(jì)的結(jié)果代回IAA算法中，重復(fù)式(7)—式(10)，求出新的信號(hào)功率分量和噪聲功率分量，再代入式(15)—式(19)中求出新的偏移量。交替優(yōu)化功率和偏移量，假設(shè)循環(huán)L次后滿足收斂條件，結(jié)束循環(huán)。最終估計(jì)結(jié)果為

綜上所述，算法具體的步驟如下：

步驟1根據(jù)式(7)—式(10)的IAA算法得到參數(shù)粗估計(jì)的結(jié)果，并且根據(jù)式(13)對(duì)功率譜進(jìn)行修正，得到修正后的信號(hào)功率。

步驟2基于最小平方誤差準(zhǔn)則，根據(jù)粗估計(jì)的結(jié)果設(shè)置代價(jià)函數(shù)，按式(15)—式(19)最小化得到偏移量，根據(jù)式(20)能得到精細(xì)估計(jì)結(jié)果

步驟3將步驟2的估計(jì)結(jié)果代回IAA算法中，更新功率譜并修正，得到

步驟5重復(fù)步驟3、步驟4，交替優(yōu)化功率分量和偏移量，當(dāng)滿足≤β或達(dá)到最大迭代次數(shù)imax時(shí)結(jié)束循環(huán)，得到最終的估計(jì)結(jié)果

4 仿真驗(yàn)證

本節(jié)首先研究OGIAA算法中的一些預(yù)定義參數(shù)，如字典間隔、最大迭代次數(shù)的取值對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響。之后分別在均勻陣與互質(zhì)陣上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)比SOMP[10],OGSBI[11]和IPOC[14]等算法，驗(yàn)證本文提出的OGIAA算法的有效性。

仿真1為了探究最大迭代次數(shù)和字典網(wǎng)格間隔對(duì)算法估計(jì)結(jié)果的影響，設(shè)置陣元數(shù)M=10，快拍數(shù)N=100，待估計(jì)信源個(gè)數(shù)K=5，波達(dá)角方向分別為40.80|°,17.7|8°,5.25°,–28.28°,–51.30°，假設(shè)估計(jì)結(jié)果為估計(jì)正確，在每個(gè)條件下進(jìn)行T=200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。不同迭代次數(shù)imax和不同網(wǎng)格間隔r在信噪比–10～30 dB下的估計(jì)正確率分別如圖1(a)、圖1(b)所示。

圖1 不同參數(shù)條件下的估計(jì)正確率

由圖1可以看到，圖1(a)中除了1次迭代的條件下精度明顯降低，在兩次迭代后幾乎都能達(dá)到最高精度，可見(jiàn)本文所提算法具有較快的收斂速度。圖1(b)中除了網(wǎng)格間隔為4°時(shí)在低信噪比情況下估計(jì)精度略有降低，其余網(wǎng)格間隔下的估計(jì)精度幾乎一致，可以看出預(yù)定義字典間隔的設(shè)置對(duì)所提算法估計(jì)精度影響有限。綜上所述，在計(jì)算量受限的場(chǎng)合，減少最大迭代次數(shù)或者增大網(wǎng)格間隔都是一種減少算法運(yùn)算量的有效選擇。

仿真2假設(shè)存在陣元數(shù)M=10的均勻陣列，待估計(jì)信源個(gè)數(shù)K=2，信源波達(dá)角分別為θ1=40.8°,θ2=–51.3°，信噪比SNR=10 dB，快拍數(shù)N=100，設(shè)置字典離散網(wǎng)格間隔為r=2°，圖2為本文所提OGIAA算法與IAA,SOMP,OGSBI和IPOC算法的空域譜對(duì)比結(jié)果。

圖2 不同算法在空域網(wǎng)格上的幅度對(duì)比圖

由圖2放大的部分可以看到，由于待估計(jì)信源角度不會(huì)正好定位在網(wǎng)格上，所以IAA算法峰值對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格無(wú)法正確估計(jì)出信源角度，而其余4種離網(wǎng)格估計(jì)方法都能得到準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。為了進(jìn)一步說(shuō)明本文所提算法的有效性，將算法估計(jì)精度用均方根誤差(Root Mean Squared Error,RMSE)表示

保持其他條件不變，在–10～30 dB的范圍內(nèi)改變信噪比的取值，并令快拍數(shù)N分別為200和20，在每個(gè)條件下進(jìn)行T=200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，則不同算法的估計(jì)精度為隨信噪比的變化如圖3所示。

圖3 不同快拍數(shù)和信噪比下的算法估計(jì)精度

由圖3(a)可以看到，當(dāng)N=200時(shí)，由于網(wǎng)格不匹配的原因，IAA算法估計(jì)精度最低，而OGSBI算法和SOM P算法無(wú)法做到全局尋優(yōu)，導(dǎo)致精度受限。IPOC算法對(duì)均勻陣列的虛擬陣進(jìn)行處理，雖然減少了計(jì)算量，但是估計(jì)精度受到限制。MUSIC算法雖然在高信噪比下具有較高的估計(jì)精度，然而在低信噪比下精度不足。相比之下，本文提出的OGIAA算法精度最高，并且能接近克拉默-拉奧界(Cram er-Rao Bound,CRB)。由圖3(b)可以看到，當(dāng)N=20時(shí)，OGSBI算法和MUSIC算法在高信噪比下能取得較好的效果，但是在低信噪比下精度就無(wú)法保證，而本文所提算法在不同信噪比和快拍數(shù)下都具有更高的估計(jì)精度，并且在高信噪比下估計(jì)精度能接近CRB。

仿真3互質(zhì)陣列由兩個(gè)陣元數(shù)互質(zhì)的子陣組成，利用2階相關(guān)矩陣向量化，并刪去其中重復(fù)的元素，觀察剩余數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的虛擬陣列具有更大的陣列口徑和高達(dá)O(M1M2)的陣列自由度，因此在近幾年，基于互質(zhì)陣列擴(kuò)展虛擬陣列的信號(hào)處理技術(shù)得到了廣大學(xué)者的關(guān)注。為了說(shuō)明本文算法應(yīng)用在高自由度的稀疏陣上仍然具有較高的估計(jì)精度，如圖4所示，假設(shè)存在一個(gè)M1=3,M2=5的互質(zhì)陣列，總陣元個(gè)數(shù)M=7，利用2階相關(guān)矩陣向量化，可以得到陣元數(shù)=21的中間連續(xù)，兩端稀疏的擴(kuò)展虛擬陣列。

圖4 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)

設(shè)置信噪比SNR=20 dB，快拍數(shù)N=200，待估計(jì)信源個(gè)數(shù)K=9，其波達(dá)角方向在θ1=–60.3°，θ2=60.8°間均勻分布。圖5為利用虛擬陣列單快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì)的結(jié)果?？梢钥吹剑瑢?duì)于總陣元數(shù)為7的互質(zhì)陣來(lái)說(shuō)，利用本文算法對(duì)其虛擬陣列的單快拍接收數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì)，可以準(zhǔn)確估計(jì)出比陣元數(shù)更多的信源個(gè)數(shù)。

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文算法在互質(zhì)陣DOA估計(jì)上的優(yōu)勢(shì)，假設(shè)待估計(jì)信源波達(dá)角為40.8°,–51.3°，保持其他條件不變，分別改變信噪比和快拍數(shù)的取值，每個(gè)條件下進(jìn)行T=200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，不同算法估計(jì)精度隨信噪比和快拍數(shù)的變化如圖6所示。由圖6(a)可以看到，當(dāng)N=200時(shí)，對(duì)于虛擬陣列等效單快拍接數(shù)據(jù)，SOMP和OGSBI算法無(wú)法做到全局尋優(yōu)，而IPOC算法和OGIAA算法具有更高的估計(jì)精度。MUSIC算法由于只能對(duì)虛擬陣列中間連續(xù)陣元進(jìn)行平滑處理，導(dǎo)致兩端稀疏部分陣元的接收數(shù)據(jù)丟失，因此算法精度受限。由圖6(b)可以看到，當(dāng)N=20時(shí)，IPOC算法在低信噪比情況下精度無(wú)法保證。相比之下，OGIAA算法仍然具有較高的估計(jì)精度。綜上所述，在不同信噪比和快拍數(shù)下，本文所提OGIAA算法能做到全局尋優(yōu)，具有更強(qiáng)的估計(jì)性能。

圖6 不同快拍數(shù)和信噪比下的算法估計(jì)精度

5 結(jié)論

本文提出了一種基于修正IAA算法功率譜的離網(wǎng)格DOA估計(jì)方法，有效解決了常規(guī)稀疏重構(gòu)算法字典網(wǎng)格與信源位置不匹配問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了高精度的離網(wǎng)格DOA估計(jì)。本文算法以修正IAA算法得到的功率譜構(gòu)建基于最小平方誤差準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)，并通過(guò)泰勒展開(kāi)最小化代價(jià)函數(shù)求解偏移量，原理清晰，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，無(wú)正則化系數(shù)的干擾。仿真結(jié)果表明，相比其他離網(wǎng)格DOA估計(jì)方法，本文算法具有更高的估計(jì)精度，能準(zhǔn)確估計(jì)出偏離網(wǎng)格的信源波達(dá)角方向。