基于四元數(shù)的直接判決并行恒模均衡算法

李 森徐明瑩 張 璐 鄧明旭

(大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 大連 116026)

1 引言

提高無(wú)線通信系統(tǒng)的容量一直是無(wú)線通信領(lǐng)域研究的焦點(diǎn)。傳統(tǒng)的極化分集方案是指在發(fā)射端和接收端同時(shí)使用一對(duì)具有正交極化方向的天線，以相同的頻率不同的極化方向傳輸同樣的信息，利用極化方向相互正交的天線發(fā)出的信號(hào)呈現(xiàn)出的不相關(guān)衰落特性來(lái)減輕多徑效應(yīng)，從而在發(fā)射機(jī)和接收機(jī)之間保持可靠的通信鏈路和可接受的服務(wù)質(zhì)量。但是這種傳統(tǒng)的極化分集方案并不能實(shí)現(xiàn)對(duì)頻譜資源的有效利用，為了進(jìn)一步提高頻譜利用率，Isaeva等人[1]提出了在相互正交的兩個(gè)極化天線上分別傳輸不同信息的4維調(diào)制(Quaternion O rthogonal Design,QOD)技術(shù)。4維信號(hào)在復(fù)雜的多徑、反射、折射等傳播過(guò)程中其極化方向的變化會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)不同極化方向的接收天線之間產(chǎn)生干擾，因此在應(yīng)用QOD技術(shù)提高通信系統(tǒng)頻譜利用率的同時(shí)，也需要設(shè)計(jì)高效的信號(hào)處理算法來(lái)實(shí)現(xiàn)4維信號(hào)的均衡和干擾抑制。

4元數(shù)是愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家Ham ilton在1843年首先提出的，因其本身固有的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)成為處理3維或4維信號(hào)相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)重要工具。例如最近的一些研究成果成功地將4元數(shù)應(yīng)用在彩色圖像處理[2]、風(fēng)速預(yù)測(cè)[3]和矢量傳感器陣列信號(hào)處理[4]等方面。近年來(lái)，人們對(duì)4元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也越來(lái)越感興趣[5]，提出了4元數(shù)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和4元數(shù)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[6]。最早將4元數(shù)應(yīng)用到自適應(yīng)濾波算法中的是Took和M andic[7]，他們提出了4元數(shù)最小均方誤差(Quaternion Least Mean Square,QLMS)算法。針對(duì)4元數(shù)不同的梯度求導(dǎo)規(guī)則，研究人員又陸續(xù)提出了QLMS算法的其他表達(dá)形式以及改進(jìn)算法。例如：Xu等人[8]提出了基于廣義哈密頓實(shí)演算(Generalized Ham ilton-Real,GHR)梯度求解規(guī)則的QLMS算法；并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了能夠統(tǒng)一處理4元數(shù)圓和非圓信號(hào)的自適應(yīng)濾波寬線性(W idely Linear, W L)QLMS算法[9]。為了解決QLMS算法收斂速度慢的問(wèn)題，M engü?等人[10]用4元數(shù)誤差信號(hào)的最小峰度函數(shù)代替4元數(shù)最小均方誤差函數(shù)，提出了4元數(shù)最小平均峰度(Quatern ion Least-M ean Kurtosis,QLMK)算法并進(jìn)一步提出了寬線性4元數(shù)最小平均峰度(W idely Linear Quaternion Least-M ean KurtosisW L-QLMK)算法[11]。文獻(xiàn)[12]使用誤差熵作為代價(jià)函數(shù)，基于信息理論學(xué)習(xí)技術(shù)提出了4元數(shù)核最小誤差熵(Quaternion Kernel M inimum Error Entropy,QKMEE)自適應(yīng)算法，解決了QLMS算法在非高斯脈沖噪聲環(huán)境下性能下降的問(wèn)題。

以上的算法都是針對(duì)單輸入單輸出(Single Input Single Output,SISO)系統(tǒng)而言的，文獻(xiàn)[13]探討了利用多對(duì)雙極化天線同時(shí)發(fā)射和接收垂直與水平極化電磁波的雙極化多輸入多輸出(M ultip le Input M u ltip le Output,M IMO)系統(tǒng)，并使用4元數(shù)描述了雙極化M IMO系統(tǒng)的信道模型，相較于雙極化SISO傳輸系統(tǒng)，雙極化M IMO系統(tǒng)在信道容量及信號(hào)傳輸效率方面有很大的提高。

4元數(shù)理論和4元數(shù)自適應(yīng)濾波算法的研究進(jìn)展為解決4維調(diào)制信號(hào)的均衡和干擾抑制問(wèn)題奠定了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[14]用4元數(shù)有限沖擊響應(yīng)濾波器來(lái)模擬正交極化信道對(duì)傳輸信號(hào)產(chǎn)生的影響。文獻(xiàn)[15]將2維調(diào)制的4QAM(Quadrature Am plitude Modulation,QAM)方案擴(kuò)展到正交極化天線系統(tǒng)中的QOD的16Q2AM(Quaternion QAM,Q2AM)方案，并利用4元數(shù)4個(gè)部分之間彼此相互正交的特性將16Q2AM調(diào)制信號(hào)表示為4元數(shù)形式，在此基礎(chǔ)上利用QLMS算法提出了一種基于訓(xùn)練信號(hào)的均衡方案解決了4元數(shù)有限沖擊響應(yīng)信道引起的碼間干擾問(wèn)題。文獻(xiàn)[16]又進(jìn)一步提出了一種基于4元數(shù)的恒模盲均衡(Quaternion Constan t M odu lus A lgorithm,QCM A)算法。仿真結(jié)果表明QLMS和QCMA兩種算法都較好地實(shí)現(xiàn)了正交極化信道的均衡。由于QLMS算法是基于訓(xùn)練信號(hào)的，因此會(huì)降低通信系統(tǒng)的傳輸效率。QCMA盲均衡算法雖然可以提高通信系統(tǒng)的傳輸效率，但是由于QCMA算法的代價(jià)函數(shù)與相位無(wú)關(guān)導(dǎo)致均衡后的星座圖會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)角度的相位偏移，使均衡器輸出的穩(wěn)態(tài)均方誤差(Mean Square Error,MSE)過(guò)大。為了解決這個(gè)問(wèn)題，參考在2維調(diào)制方案中的并行盲均衡算法[17–20]的思想，本文將直接判決(Direct Decision,DD)[21]的QLMS算法和QCMA算法相結(jié)合，提出了一種改進(jìn)的4元數(shù)直接判決并行恒模(QCMA+DDQLMS)算法，利用QCMA算法能使眼圖盡快張開(kāi)和直接判決的QLMS算法收斂速度快、MSE小的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)現(xiàn)均衡輸出無(wú)相位模糊的同時(shí)還具有更小的MSE。

2 4元數(shù)基本理論和4維調(diào)制(QOD)技術(shù)

2.1 4元數(shù)基本理論

其中，q*代表q的共軛，qa,qb,qc,qd∈R( R表示實(shí)數(shù)域)。i,j,k是虛部單位向量，它們之間滿足式(2)的關(guān)系

4元數(shù)在理論上可以理解為對(duì)復(fù)數(shù)的擴(kuò)展，所以它與復(fù)數(shù)有著相似的運(yùn)算法則，但4元數(shù)乘法不滿足交換律，即：q1q2=q2q1。不過(guò)4元數(shù)的共軛滿足qq*=q*q，因此，4元數(shù)的模值表達(dá)式為：|q|2=qq*。

對(duì)于4元數(shù)的梯度求導(dǎo)，本文采用基于GHR的運(yùn)算規(guī)則，GHR演算簡(jiǎn)化了4元數(shù)的乘積規(guī)則和鏈?zhǔn)揭?guī)則，能夠高效計(jì)算4元數(shù)的導(dǎo)數(shù)，GHR導(dǎo)數(shù)分為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，本文主要關(guān)注左導(dǎo)數(shù)，它的求導(dǎo)規(guī)則為[8]

其中，f是關(guān)于4元數(shù)q的4元數(shù)函數(shù)，?f/?qa,?f/?qb,?f/?qc,?f/?qd是f對(duì)q的每個(gè)部的偏導(dǎo)。

特殊地，對(duì)于共軛的導(dǎo)數(shù)為

設(shè)g也是關(guān)于q的4元數(shù)函數(shù)，對(duì)于4元數(shù)函數(shù)相乘時(shí)的求導(dǎo)GHR演算中引入了一種新的求導(dǎo)規(guī)則[9]

其中?f/?q g,?f/?q g*也是一種GHR左導(dǎo)數(shù)，但只對(duì)某些特殊的函數(shù)形式才有定義，具體內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)[9]中給出的表1。

表1 4-抽頭4元數(shù)信道脈沖響應(yīng)

2.2 4維調(diào)制(QOD)技術(shù)

為了進(jìn)一步提高頻譜利用率，在雙極化天線的基礎(chǔ)上提出了QOD技術(shù)，信號(hào)通過(guò)QOD技術(shù)調(diào)制后經(jīng)由正交極化天線發(fā)射將產(chǎn)生4維信號(hào)。在2維調(diào)制技術(shù)中基帶信號(hào)可以采用復(fù)數(shù)表示，例如4QAM調(diào)制時(shí)基帶信號(hào)的實(shí)部和虛部可以分別取1或–1，構(gòu)成4種組合；16QAM調(diào)制時(shí)基帶信號(hào)的實(shí)部和虛部可以分別取1,–1,3,–3中的一個(gè)值，構(gòu)成16種組合。在QOD技術(shù)中，可以用4元數(shù)來(lái)表示4維基帶信號(hào)[15]。例如：4元數(shù)的4個(gè)部分別取1或–1，則構(gòu)成16種不同的組合，稱這種調(diào)制方式為16Q2AM；同理，4元數(shù)的4個(gè)部分分別取1,–1,3,–3中的一個(gè)值，則一共有256種組合，稱這種調(diào)制方式為256Q2AM。

3 4元數(shù)自適應(yīng)均衡算法

4元數(shù)值無(wú)線通信系統(tǒng)模型如圖1所示，4維信號(hào)s(n)經(jīng)4元數(shù)有限沖擊響應(yīng)信道h(n)傳輸后在均衡器輸入端和4元數(shù)加性噪聲n(n)一起進(jìn)入到4元數(shù)均衡器中。4元數(shù)均衡器的輸入信號(hào)矢量為x(n)=[x(n),x(n-1),...,x(n-L+1)]T，其中x(n)可以表示為

圖1 4元數(shù)值無(wú)線通信系統(tǒng)模型

其中*表示卷積運(yùn)算。均衡器的輸出為

其中，w(n)=[w0(n),w1(n),...,w L-1(n)]T為4元數(shù)值的均衡器權(quán)矢量，L為均衡器的長(zhǎng)度。

3.1 4元數(shù)最小均方誤差(QLMS)算法

QLMS算法的代價(jià)函數(shù)為

其中，d(n)為均衡器期望輸出的4維信號(hào)，也就是已知的訓(xùn)練序列。

QLMS算法權(quán)矢量w(n)的更新公式為[14]

其中，μ＞0為QLMS算法迭代步長(zhǎng)。

3.2 4元數(shù)恒模盲均衡(QCMA)算法

QCMA算法的代價(jià)函數(shù)為

迭代步長(zhǎng)大小決定了每次更新后均衡器抽頭系數(shù)的變化程度，進(jìn)而影響算法的收斂速度和穩(wěn)定性。具體而言，在一定范圍內(nèi)，算法的迭代步長(zhǎng)越大，抽頭系數(shù)更新的幅度就越大，算法收斂速度也會(huì)更快。然而，如果步長(zhǎng)過(guò)大則可能導(dǎo)致算法不穩(wěn)定，甚至出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。相反，如果步長(zhǎng)過(guò)小則算法收斂速度會(huì)變慢。因此需要在保證收斂的前提下選擇合適的迭代步長(zhǎng)。

3.3 4元數(shù)直接判決并行恒模均衡算法

QLMS算法在實(shí)際應(yīng)用中，必須有訓(xùn)練序列才能完成均衡，會(huì)降低通信系統(tǒng)的傳輸效率。QCMA盲均衡算法雖然不需要訓(xùn)練序列，但是它的均衡結(jié)果會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)角度的相位偏移，導(dǎo)致M SE較大。為了克服QCMA算法穩(wěn)態(tài)誤差大和QLMS算法需要訓(xùn)練序列的問(wèn)題，本文將基于判決引導(dǎo)的最小均方誤差(Decision-Directed QLMS,DD-QLMS)算法與QCMA算法相結(jié)合提出了一種4元數(shù)直接判決并行恒模均衡(QCM A+DD-QLM S)算法，首先利用QCMA算法張開(kāi)眼圖，然后利用DD-QLMS算法進(jìn)一步減小MSE。4元數(shù)直接判決并行恒模均衡器的原理圖如圖2所示，該方案由一個(gè)QCMA均衡器和一個(gè)同時(shí)工作的D D-Q L M S 均衡器組成，設(shè)wd(n)=[wd,0(n),wd,1(n),...,wd,L-1(n)]T為D DQLMS算法的權(quán)矢量，則直接判決并行恒模均衡器的權(quán)矢量可以表示為w(n)=wc(n)+wd(n)，均衡器的輸出為

其中，QCMA算法權(quán)矢量wc(n)的更新方程按式(11)計(jì)算。

μd＞0 為DD-Q LM S算法迭代步長(zhǎng)。由于DDQLMS算法中的期望信號(hào)為并行均衡器輸出的判決信號(hào)，為了保證算法的有效性在QCMA+DD-QLMS并行算法中上述權(quán)矢量的更新過(guò)程只有在利用QCMA算法將眼圖打開(kāi)后才工作。定義利用QCMA算法進(jìn)行權(quán)矢量更新后整個(gè)均衡器的輸出為

通過(guò)判斷QCMA算法權(quán)矢量更新前后均衡器的判決輸出是否相同來(lái)判斷眼圖是否打開(kāi)，即

如果眼圖沒(méi)有打開(kāi)則繼續(xù)利用QCMA算法來(lái)打開(kāi)眼圖，DD-QLMS算法不發(fā)揮作用；如果眼圖已經(jīng)打開(kāi)則進(jìn)一步利用DD-QLMS算法減小均衡器的輸出誤差。因此最終在QCMA+DD-QLMS并行算法中DD-QLMS算法的權(quán)矢量更新公式為

4 仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)信道脈沖響應(yīng)h(n)為4抽頭的4元數(shù)FIR濾波器，其系數(shù)的具體取值如表1所示[16]。

MSE是衡量盲均衡算法的一個(gè)重要性能指標(biāo)，MSE 的定義為M SE=其中m代表M en tecar lo運(yùn)行次數(shù)，在本文中取m=300。由于4維調(diào)制信號(hào)有4維坐標(biāo)，無(wú)法直接畫(huà)出4維調(diào)制信號(hào)的星座圖，所以本文中以2維星座圖或3維星座圖的形式來(lái)表示4維調(diào)制信號(hào)。當(dāng)以2維星座圖的形式來(lái)表示4維調(diào)制信號(hào)時(shí)共有兩個(gè)2維星座圖，1個(gè)2維星座圖表示i和實(shí)部，1個(gè)2維星座圖表示j和k部。當(dāng)以3維星座圖的形式來(lái)表示4維調(diào)制信號(hào)時(shí)共有4張圖，每張圖中包括4元數(shù)4個(gè)部中的任意3個(gè)部。

實(shí)驗(yàn)1輸入信號(hào)為16Q2AM信號(hào)，噪聲采用4元數(shù)值加性高斯白噪聲，信噪比設(shè)為25 dB，均衡器長(zhǎng)度L=15，采用中心抽頭系數(shù)初始化的方法。QCMA算法的迭代步長(zhǎng)設(shè)為μc=0.001 3[16]，QCMA+DDQLMS算法的迭代步長(zhǎng)首先設(shè)為情形1(C1)中的參數(shù)：μc=0.001 3,μd=0.001 2。對(duì)QCMA和QCMA+DD-QLMS算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。均衡前的星座圖如圖3所示，各個(gè)極化方向上的信號(hào)已經(jīng)完全無(wú)法分辨。圖4和圖5分別給出了利用QCM A和QCM A+DDQLMS算法均衡后的2維星座圖，圖6和圖7分別給出了利用QCMA和QCMA+DD-QLMS算法均衡后3維星座圖。從均衡后的星座圖中可以看出，由于QCMA算法的代價(jià)函數(shù)中只考慮了信號(hào)的模值，而沒(méi)有考慮到信號(hào)的相位信息，因此其均衡后的星座圖出現(xiàn)了明顯的相位偏移現(xiàn)象，而QCMA+DDQLMS并行算法中先用QCMA算法來(lái)張開(kāi)眼圖，然后在DD-QLMS算法中利用并行均衡器輸出的直接判決信號(hào)作為參考信號(hào)找出輸出信號(hào)中與之最接近的點(diǎn)，既考慮了幅值又考慮了相位，因此均衡后的星座圖沒(méi)有出現(xiàn)相位模糊。

圖3 16Q2AM調(diào)制時(shí)均衡前3維星座圖

圖4 16Q2AM 調(diào)制時(shí)QCMA算法均衡后2維星座圖

圖5 16Q2AM調(diào)制時(shí)QCMA+DD-QLMS算法均衡后2維星座圖

圖6 16Q2AM 調(diào)制時(shí)QCMA算法均衡后3維星座圖

為了驗(yàn)證步長(zhǎng)對(duì)算法收斂性及穩(wěn)態(tài)性能的影響，在圖8中除了給出上述兩種情況下的MSE收斂曲線還增加了QCM A+DD-QLM S算法在情形2(C2)μc=0.002,μd=0.001 2時(shí)的收斂曲線。從圖8的對(duì)比結(jié)果圖可看出，對(duì)比QCMA算法，QCMA+DD-QLMS算法具有更小的穩(wěn)態(tài)MSE。而對(duì)于具有不同迭代步長(zhǎng)的QCMA+DD-QLMS算法，迭代步長(zhǎng)與算法的收斂速度是呈正向關(guān)系的，即迭代步長(zhǎng)越大算法的收斂速度越快；而迭代步長(zhǎng)與算法的穩(wěn)態(tài)性能是呈反向關(guān)系的，即迭代步長(zhǎng)越大算法的穩(wěn)態(tài)性能越差、穩(wěn)態(tài)MSE越大。

圖8 16Q2AM調(diào)制時(shí)QCMA和QCMA+DD-QLMS算法MSE收斂曲線對(duì)比圖

實(shí)驗(yàn)2輸入信號(hào)為256Q2AM信號(hào)，噪聲同樣采用4元加性高斯白噪聲，信噪比設(shè)為45 dB，兩個(gè)算法的迭代步長(zhǎng)分別設(shè)為μc=0.000 005,μd=0.000 08，均衡器長(zhǎng)度L=15，采用中心抽頭系數(shù)初始化的方法，對(duì)QCMA算法和QCMA+DD-QLMS進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。均衡前的星座圖如圖9所示，各個(gè)極化方向上的信號(hào)同樣也是完全無(wú)法分辨。圖10和圖11分別給出了利用QCMA和QCMA+DD-QLMS算法均衡后的2維星座圖，圖12和圖13分別給出了利用QCMA和QCM A+DD-QLM S算法均衡后的3維星座圖，圖14給出了兩種算法的MSE收斂曲線對(duì)比圖。

圖10 256Q2AM調(diào)制時(shí)QCMA算法均衡后2維星座圖

圖12 256Q2AM調(diào)制時(shí)QCMA算法均衡后3維星座圖

圖13 256Q2AM調(diào)制時(shí)QCMA+DD-QLMS算法均衡后3維星座圖

圖14 256Q2AM調(diào)制時(shí)QCMA和QCMA+DD-QLMS算法MSE收斂曲線對(duì)比圖

從仿真結(jié)果的均衡后星座圖可看出，兩種算法均完成了均衡任務(wù)，但是QCMA算法均衡后的星座圖出現(xiàn)明顯的相位偏移現(xiàn)象，收斂后的MSE也較大，而QCMA+DD-QLMS算法均衡后的信號(hào)都聚集在各自星座點(diǎn)的周?chē)?，并沒(méi)有出現(xiàn)相位模糊的現(xiàn)象且得到了更小的穩(wěn)態(tài)MSE。但QCMA+DDQLMS算法是將QCMA算法與DD-QLMS算法并行操作，很顯然它的計(jì)算復(fù)雜度要高于QCMA算法。

5 結(jié)論

QCM A算法雖然實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，計(jì)算復(fù)雜度低，但是均衡后會(huì)出現(xiàn)相位模糊現(xiàn)象且MSE較大。為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文提出一種基于QCMA算法和DD-QLM S算法相結(jié)合的QCMA+DD-QLMS并行算法。所提出的算法充分利用了QCMA算法能較好地打開(kāi)眼圖的特性和DD-QLMS算法MSE小的優(yōu)點(diǎn)。對(duì)QCMA和QCMA+DD-QLMS算法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，從均衡后的星座圖及算法的M SE收斂曲線來(lái)看，雖然QCMA+DD-QLMS算法較QCMA算法的計(jì)算復(fù)雜度高，但是QCMA+DD-QLMS算法很好地解決了QCMA算法的相位模糊問(wèn)題，使得均衡后的輸出具有更小的MSE。