斜壓大氣中任意頻率慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的判據(jù)

吳 洪,牛 寧,豆京華

(1.中國(guó)氣象局氣象干部培訓(xùn)學(xué)院,北京 100081;2.中國(guó)氣象局氣象干部培訓(xùn)學(xué)院河北分院,河北保定 071000)

0 引言

描述中尺度運(yùn)動(dòng)的控制方程組,包含的特征波動(dòng)是頻譜較廣的重力波,采用Boussinesq 近似后,該方程組包含的特征波動(dòng)則是低頻的重力波,如慣性重力內(nèi)波[1]。慣性重力內(nèi)波常與暴雨、臺(tái)風(fēng)、強(qiáng)對(duì)流等天氣有關(guān)[2-8]。

考慮基本氣流具有水平和垂直切變,劉式適等[9],李崇銀等[10]分析討論了慣性重力內(nèi)波的不穩(wěn)定性。同樣在具有水平和垂直切變基本氣流的大氣中,B J Hoskins[11],D A Bennetts 等[12],陸漢城等[1]采用大氣線性波動(dòng)的分析方法,得出對(duì)稱不穩(wěn)定的判據(jù)。不少氣象學(xué)家利用“氣塊法”也得到對(duì)稱不穩(wěn)定的判據(jù)[13-16]。這兩類不穩(wěn)定判據(jù)的表達(dá)式是相同的,即等熵面坡度大于等絕對(duì)動(dòng)量面的坡度,似乎表明對(duì)稱不穩(wěn)定與慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定是相互對(duì)等的。對(duì)稱不穩(wěn)定理論被廣泛運(yùn)用于解釋中緯度的帶狀降雨[17-25]。對(duì)稱不穩(wěn)定判據(jù)的普及應(yīng)用性遠(yuǎn)大于慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定,但這個(gè)不穩(wěn)定的判據(jù),只有當(dāng)波動(dòng)或擾動(dòng)的頻率為最小時(shí)才成立。但對(duì)稱不穩(wěn)定和慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的判據(jù),都只是在設(shè)定波動(dòng)頻率或振動(dòng)(擾動(dòng))頻率最小時(shí)推導(dǎo)出來的,且這個(gè)最小頻率在波動(dòng)等位相面[1,9-12]為特定值時(shí)才具有。

大氣中慣性重力波具有比較寬的頻譜。在斜壓大氣中,為了解慣性重力內(nèi)波的頻率方程、任意頻率的慣性重力內(nèi)波,其穩(wěn)定性及判據(jù)等,本文采用標(biāo)準(zhǔn)的正交模方法,著重分析斜壓大氣中任意頻率的慣性重力內(nèi)波的穩(wěn)定性,得到相應(yīng)的波動(dòng)不穩(wěn)定性及其判據(jù),以期更合理地應(yīng)用在帶狀云系和降水發(fā)生發(fā)展的機(jī)理研究和實(shí)際業(yè)務(wù)中。

1 斜壓大氣中的慣性重力內(nèi)波

滿足絕熱、無摩擦的Boussinesq 近似的大氣運(yùn)動(dòng)方程組,可用于描述慣性重力內(nèi)波[1,9-10,13-15,26-27]:

式中,u、v、w表示空氣塊運(yùn)動(dòng)的x、y、z方向的速度分量;p是氣壓場(chǎng),p′是相對(duì)基本狀態(tài)氣壓場(chǎng)的偏差;ρ為空氣密度,ρ0表示基本狀態(tài)的空氣密度的典型值,為常數(shù);,θ′是相對(duì)位溫基本狀態(tài)的偏差,θ0表示基本狀態(tài)的位溫的典型值,為常數(shù);f0為地轉(zhuǎn)參數(shù),對(duì)慣性重力內(nèi)波可取為常數(shù)。式(1)表明大氣運(yùn)動(dòng)是非靜力平衡的。

1.1 頻率方程

不失一般性,假定擾動(dòng)只在y-z平面內(nèi),即與x無關(guān)。將式(1)線性化,得到描述波動(dòng)的方程組:

將用流函數(shù)表示的擾動(dòng)速度代入式(2),消去其他擾動(dòng)量,僅保留流函數(shù),得

對(duì)于“無界”大氣,可設(shè)波動(dòng)的形式解為Ψ=Aei(ly+mz-ωt),ω、l、m分別表示慣性重力內(nèi)波的頻率、y方向的波數(shù)、z方向的波數(shù)。代入式(3)進(jìn)一步運(yùn)算得斜壓大氣中慣性重力內(nèi)波的頻率方程

由式(4)可知,如果慣性重力內(nèi)波只在y或z方向傳播,即m≡0 或l≡0,則式(4)蛻變?yōu)楦×φ袷幓驊T性振蕩,顯然式(4)作為慣性重力內(nèi)波的頻率方程,l、m均不等于零。慣性重力內(nèi)波的最小、最大頻率分別為[1,9-10,13]

1.2 相速與群速

令K2≡l2+m2,K表示二維波動(dòng)的波數(shù),→K≡l→j+m→k。波動(dòng)的相速為

波動(dòng)的群速:

由式(6)、(7)可得

在具有水平和垂直切變的基流中,慣性重力內(nèi)波的傳播方向(相速度)與能量傳播方向(群速度)相互垂直,這一性質(zhì)與不考慮基本氣流的慣性重力內(nèi)波的一致。

2 斜壓大氣中的慣性重力內(nèi)波穩(wěn)定性

由于慣性重力內(nèi)波的波數(shù)l、m均不等于零。令φ=ly+mz-ωt表示波動(dòng)的位相,當(dāng)其等于常數(shù)時(shí)表示波動(dòng)等位相面。則等位相面的傾斜率:

其中α為等位相面與y軸正向的夾角。

根據(jù)慣性重力內(nèi)波形成的原理,只有在層結(jié)穩(wěn)定N2＞0 和慣性穩(wěn)定F2＞0 的環(huán)境大氣中,慣性重力內(nèi)波才能形成,即一般N2l2+F2m2＞0。由式(4)可知,當(dāng)ω2＞0時(shí),慣性重力內(nèi)波是穩(wěn)定的;反之,慣性重力內(nèi)波是不穩(wěn)定的。因此,若ω2＜0,必須:

式(9)即是斜壓大氣中慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的必要條件。

環(huán)境大氣的風(fēng)一般是隨高度增大的,在北半球S2＞0,則慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的必要條件可改寫為

由式(8)可知,式(10)可以改寫為

圖1 等位相面示意圖(α 是等位相面與y 軸的夾角,t0、t1 分別表示不同的時(shí)刻)

如果環(huán)境大氣基本氣流隨高度減小時(shí),在北半球S2＜0,則此時(shí)慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的必要條件為

式(12)表明,風(fēng)速隨高度減小時(shí),慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的必要條件是等位相面向南傾斜,波動(dòng)向北(南)、向上(下)傳播。多普勒天氣雷達(dá)監(jiān)測(cè)表明,有時(shí)低空急流表現(xiàn)出“軸狀”的結(jié)構(gòu),即其下風(fēng)速隨高度增大、而其上一定的層次內(nèi)風(fēng)速隨高度減小,因此,當(dāng)?shù)涂占绷鞒省拜S狀”結(jié)構(gòu)時(shí),其上的環(huán)境大氣S2＜0。

一般情況下N2＞0,F2＞0,由式(4)可知,斜壓大氣中慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的充分條件為

利用式(8),式(13)可改寫為

令

由于N2＞0,因而當(dāng)Δ＞0,即S4＞N2F2時(shí),若

式(14)成立,即慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定;若Δ=0 或Δ＜0時(shí),式(14)均無解,即無論波動(dòng)等位相面如何傾斜,tgα為任何值,波動(dòng)都是穩(wěn)定的。

頻率方程式(4)可改寫為

式中:

其中,b恒大于零。

若環(huán)境大氣是層結(jié)不穩(wěn)定的層結(jié),N2＜0,則令

式(14)改寫為

設(shè)

當(dāng)環(huán)境大氣是慣性穩(wěn)定的,F2＞0,可知＞0,即S4＞N2F2。此時(shí),若要式(20)成立,即慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定,必須是波動(dòng)等位相面的傾斜度滿足tgα＞,或;否則,波動(dòng)穩(wěn)定。當(dāng)環(huán)境大氣是慣性不穩(wěn)定的,F2＜0,若S4-N2F2＞0,則慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的充分條件依然是,或tgα＜;若S4=N2F2,慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的充分條件是,即波動(dòng)的等位相面、環(huán)境大氣的等熵面和等絕對(duì)動(dòng)量面三者不能重合;若S4＜N2F2,無論波動(dòng)的等位相面的傾斜度如何,波動(dòng)都將是不穩(wěn)定的。可見,環(huán)境大氣層結(jié)不穩(wěn)定時(shí),對(duì)流所激發(fā)的慣性重力內(nèi)波的穩(wěn)定性變化非常復(fù)雜,可能發(fā)生穩(wěn)定,也可能發(fā)生不穩(wěn)定。

若環(huán)境斜壓大氣是中性層結(jié),N2≡0,慣性重力內(nèi)波變?yōu)榧儜T性內(nèi)波。其穩(wěn)定性的判據(jù)為

或

若環(huán)境大氣基本氣流隨高度減小,S2＜0,則此慣性內(nèi)波恒穩(wěn)。

若不考慮地球自轉(zhuǎn)作用,F2≡0,慣性重力內(nèi)波變?yōu)榧冎亓?nèi)波,其穩(wěn)定性的判據(jù)為

或

3 靜力平衡的影響

由物理機(jī)制可知,只有大氣出現(xiàn)不斷變化的水平輻散、輻合作用,使得氣塊在鉛直方向出現(xiàn)上下運(yùn)動(dòng)并隨時(shí)間變化,才可形成慣性重力內(nèi)波[13-15,26-27]。

由式(18)可得

式(27)與式(26)中的第3 個(gè)方程分別表示擾動(dòng)的水平散度不隨時(shí)間變化、氣塊的鉛直運(yùn)動(dòng)不隨時(shí)間變化,這直接破壞了慣性重力內(nèi)波形成的物理機(jī)制,即大氣中不能形成慣性重力內(nèi)波,也就不存在該波動(dòng)的穩(wěn)定性。因此,在Boussinesq 近似的大氣運(yùn)動(dòng)方程組中不能采用靜力平衡條件。

4 結(jié)論

利用絕熱、無摩擦、Boussinesq 近似的大氣運(yùn)動(dòng)方程組,采用小擾動(dòng)法和正交模法,得到斜壓大氣中慣性重力內(nèi)波的頻率方程,著重分析、討論任意頻率慣性重力內(nèi)波的穩(wěn)定性。主要結(jié)論如下:

(1)當(dāng)大氣是層結(jié)穩(wěn)定、慣性穩(wěn)定,且基本氣流隨高度增大時(shí),慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的必要條件是等位相面向北傾斜;若基本氣流隨高度減小,慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的必要條件是等位相面向南傾斜。

(6)用Boussinesq 近似的大氣運(yùn)動(dòng)方程組討論慣性重力波或重力波或慣性波時(shí),不能采用靜力平衡條件。

本文只是從理論上討論斜壓大氣中慣性重力內(nèi)波不穩(wěn)定的判據(jù),在實(shí)際中如何應(yīng)用,乃是今后進(jìn)一步研究工作的方向。