基于聯(lián)合分位數(shù)回歸的地震災(zāi)害二元損失評估模型及其應(yīng)用

楊雅明 張 晴 李秀芳

一、引言

我國位于環(huán)太平洋地震帶和歐亞地震帶之間，受太平洋板塊、印度洋板塊和菲律賓海板塊的擠壓，地震災(zāi)害頻發(fā)。20世紀(jì)以來，我國共發(fā)生6級以上的地震近800次，因地震造成的死亡人數(shù)約占所有自然災(zāi)害死亡總?cè)藬?shù)的54%。其中，2008年汶川地震造成8 352億元直接經(jīng)濟損失，受災(zāi)總?cè)丝谶_4 625.6萬人 ；2010年玉樹地震造成228.5億元直接經(jīng)濟損失，2 698人死亡。為降低地震對國家經(jīng)濟和生產(chǎn)生活的影響，政府需要建立起完善有效的巨災(zāi)風(fēng)險管理制度。長期以來，我國巨災(zāi)風(fēng)險損失補償主要以國家財政救濟和社會捐助為主，隨著我國社會財富的集中程度和人口密度的上升，各種巨災(zāi)所帶來的損失程度和影響范圍不斷擴大，傳統(tǒng)基于政府救濟式的巨災(zāi)管理模式已經(jīng)無法滿足需求。近些年來，政府針對巨災(zāi)風(fēng)險管理問題提出了一系列的建議，2021年《中華人民共和國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標(biāo)綱要》中提出要“優(yōu)化國家應(yīng)急管理能力體系建設(shè)，提高防災(zāi)減災(zāi)抗災(zāi)救災(zāi)能力”并進一步“發(fā)展巨災(zāi)保險”。

進行巨災(zāi)風(fēng)險管理的前提是對災(zāi)害造成的損失進行量化分析，建立精確且貼切實際的巨災(zāi)風(fēng)險評估模型。目前評估地震經(jīng)濟損失的模型主要是基于分布擬合的方法(田玲和姚鵬，2013［1］；郝軍章和崔玉杰，2016［2］)。由于地震巨災(zāi)經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)具有厚尾特征，單一的損失分布模型難以對其尾部數(shù)據(jù)進行有效擬合?；诖耍o和張連增(2021)［3］提出對閾值之前損失數(shù)據(jù)用Mixed Erlang分布進行擬合，閾值之后尾部數(shù)據(jù)用帕累托分布進行擬合，即構(gòu)建組合分布模型。李云仙等(2017)［4］利用對數(shù)正態(tài)分布和廣義帕累托分布的組合分布模型對1966—2014年間5.0～7.0級地震災(zāi)害經(jīng)濟損失進行擬合。與單分布相比，組合分布模型能更精確地擬合巨災(zāi)的經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)。地震災(zāi)害生命損失數(shù)據(jù)一般為計數(shù)型變量，具有零膨脹、過度分散的特征，孟生旺和李政宵(2018)［5］分別用右截斷負二項分布和右截斷廣義帕累托分布擬合死亡人數(shù)，用Panjer迭代法和快速傅里葉變換計算地震死亡人數(shù)在特定時期的分布以及風(fēng)險度量值。

鑒于巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)具有尖峰厚尾的統(tǒng)計特征，以VaR等測度為代表的尾部風(fēng)險測度成為巨災(zāi)風(fēng)險量化的重要工具，除以上基于分布擬合方法為基礎(chǔ)的量化方法外，分位數(shù)回歸模型則是另一類尾部風(fēng)險量化的主要方法。自Koenker和Basset(1978)［6］的開創(chuàng)性工作以來，分位數(shù)回歸模型不斷發(fā)展，Koenker和Machado(1999)［7］研究了非對稱拉普拉斯與分位數(shù)回歸之間的聯(lián)系，隨后Yu(2001)［8］提出了利用貝葉斯方法對分位數(shù)回歸時的參數(shù)進行估計，Benoit 和Vanden(2017)［9］系統(tǒng)總結(jié)了分位數(shù)回歸的貝葉斯估計方法，并分別介紹了因變量為連續(xù)和離散情況下的模型及變量選擇方法。如今，分位數(shù)回歸方法在地震巨災(zāi)風(fēng)險量化中已有眾多應(yīng)用。例如：田玲等(2019)［10］利用半?yún)?shù)分位數(shù)回歸模型對1990—2015年地震經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)進行建模。李云仙和孟生旺(2019)［11］分別利用函數(shù)系數(shù)的分位數(shù)回歸模型、傳統(tǒng)分位數(shù)回歸模型對我國1990—2015年地震災(zāi)害直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)進行建模。此外，分位數(shù)回歸模型也被應(yīng)用于地震生命損失量化中，如Jiang等(2018)［12］利用1969—2006年我國地震災(zāi)害死亡人數(shù)建立了針對計數(shù)數(shù)據(jù)的貝葉斯半?yún)?shù)分位數(shù)回歸模型。

上述討論的分布擬合與分位數(shù)回歸的風(fēng)險量化思路各具利弊。依托分布擬合方法可以方便計算更多風(fēng)險測度指標(biāo)并提供較多估計信息，但受限于巨災(zāi)損失的低頻高損與厚尾特征，分布擬合過程中會存在分布選擇主觀性與閾值設(shè)定偏誤等問題。依托分位數(shù)回歸方法雖無需設(shè)定響應(yīng)變量的分布且能將多個解釋變量融入分位數(shù)回歸，但該方法僅能得到分位點估計，而其他分布信息，例如另一常用尾部風(fēng)險測度ES的評估結(jié)果則無法獲取。除此之外，通過文獻梳理發(fā)現(xiàn)當(dāng)前上述兩類方法在地震巨災(zāi)研究中的應(yīng)用大多從財產(chǎn)或人身單一損失的角度出發(fā)，而忽略了二元損失之間的相依性。根據(jù)劉新紅等(2019)［13］研究結(jié)論可知，地震直接經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)之間存在正相依關(guān)系，若對兩者進行獨立性假設(shè)，風(fēng)險度量值VaR會被低估，故考慮損失之間的相依關(guān)系是必要的。一些學(xué)者已經(jīng)展開了基于分位數(shù)回歸的多元變量之間相依性的研究，如Petrella和Raponi(2019)［14］將基于非對稱拉普拉斯分布的分位數(shù)回歸模型推廣到多元的背景下，解釋多個因變量之間的相依關(guān)系，并運用EM算法對相關(guān)系數(shù)矩陣進行估計。在此基礎(chǔ)上，Merlo等(2021)［15］利用聯(lián)合分位數(shù)回歸模型對金融資產(chǎn)的VaR和ES進行估計，他們的研究為本文綜合建立經(jīng)濟損失和生命損失的二元分位數(shù)回歸模型提供了可能性。

綜上所述，為刻畫經(jīng)濟損失和生命損失之間的相依結(jié)構(gòu)，量化不同震級下地震災(zāi)害的二元損失特征，本文將在聯(lián)合分位數(shù)回歸的框架下，運用EM算法聯(lián)合估計震級對死亡人數(shù)和直接經(jīng)濟損失的回歸系數(shù)，以驗證震級與地震損失之間的高度相關(guān)性，最終通過計算VaR和ES對地震巨災(zāi)風(fēng)險進行評估。在實證研究部分，本文收集了我國大陸地區(qū)1990—2020年間306次成災(zāi)地震的損失數(shù)據(jù)，建立聯(lián)合分位數(shù)回歸模型，并通過計算不同震級在不同概率水平下的VaR值和ES值進行風(fēng)險評估，最后利用核估計方法對震級發(fā)生情況進行分布估計，從而實現(xiàn)對我國地震巨災(zāi)指數(shù)保險的總保費規(guī)模的測算。本文的主要貢獻體現(xiàn)在兩個方面：第一，在聯(lián)合分位數(shù)回歸模型的框架下評估地震的二元損失，綜合評估直接經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)的風(fēng)險，并將兩者的相依性納入模型。第二，不同于大多數(shù)學(xué)者利用隨機模擬法計算地震巨災(zāi)損失的ES(李云仙等，2019［11］；劉新紅等，2019［12］)，本文基于多元非對稱拉普拉斯尺度參數(shù)與ES之間的聯(lián)系，可實現(xiàn)對地震巨災(zāi)損失的VaR和ES聯(lián)合估計。

二、基于地震損失的聯(lián)合分位數(shù)回歸模型

本文用直接經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)來評估地震災(zāi)害的二元損失，參考Machado和Silva(2005)［16］提出的方法對死亡人數(shù)進行連續(xù)化處理，并根據(jù)Petrella等(2019)［14］的研究，構(gòu)建二元損失的聯(lián)合分位數(shù)回歸模型。

(一)單變量分位數(shù)回歸模型與非對稱拉普拉斯分布的初步研究

為了更好地解釋多元非對稱拉普拉斯分布與聯(lián)合分位數(shù)回歸之間的聯(lián)系，本節(jié)簡要闡述單變量分位數(shù)回歸模型與非對稱拉普拉斯分布(Asymmetric Laplace distribution，AL)的直接聯(lián)系。隨機變量Y服從位置參數(shù)μ、尺度參數(shù)δ>0和偏度參數(shù)τ∈(0，1)的非對稱拉普拉斯分布，即AL(μ，δ，τ)，其概率密度函數(shù)為：

fAL(y;μ,δ,τ)=τ(1-τ)δ-1exp[-ρτ{(y-μ)/δ}]

上式中ρτ(t)=t{τ-1(t<0)}為損失(或檢驗)函數(shù)，其中1為指示函數(shù)，ρτ{(y-μ)/δ}服從參數(shù)為1/δ的指數(shù)分布。上式的AL分布還可以被表示為：

其中U服從參數(shù)為1/δ的指數(shù)分布，Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。另外，為了保證參數(shù)μ在給定的水平τ上與Y的分位數(shù)重合，ξτ和θτ必須滿足以下條件：

ξτ=(1-2τ)/{τ(1-τ)},θτ=2/{τ(1-τ)}

對于i∈{1，…，n}，yi為被解釋變量，xi為k×1維解釋變量，Qyi(τ|xi)是在給定xi時yi的分位數(shù)回歸函數(shù)，則Qyi(τ|xi)與xi的關(guān)系如下：

其中τ∈(0，1)為分位數(shù)水平，βτ為k×1維回歸參數(shù)。分位數(shù)回歸模型主要用于研究響應(yīng)變量分位數(shù)與解釋變量之間的關(guān)系，分位數(shù)回歸模型的參數(shù)估計可通過最小化目標(biāo)函數(shù)實現(xiàn)：

(1)

(2)

(二)聯(lián)合分位數(shù)回歸與多元非對稱拉普拉斯分布

根據(jù)單變量分位數(shù)回歸模型與非對稱拉普拉斯分布的直接聯(lián)系，本節(jié)利用多元非對稱拉普拉斯(Multivariate Asymmetric Laplace，MAL)分布來聯(lián)合建模多元響應(yīng)變量的條件分位數(shù)。令Yi=(Yi1，…，Yip)Τ是對于i∈{1，2…n}的p維響應(yīng)變量，Xi是k×1維自變量，對于j∈{1，…，p}，聯(lián)合分位數(shù)回歸模型如下：

其中βτ=(βτ1，…，βτp)Τ是p×k維未知系數(shù)矩陣，βτj=(β1，τj，…，βk，τj)，上式等價于如下多元線性回歸模型：

Yi=βτXi+εi.

(3)

(三)基于二元損失的半?yún)?shù)分位數(shù)回歸模型構(gòu)建

在模型構(gòu)建前，本節(jié)需要對響應(yīng)變量進行處理，令二元變量Zi=(Zi1，Zi2)Τ分別為地震造成的直接經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)，其中i∈1，2，…，n。由于直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)常存在極端值，因此本節(jié)將對直接經(jīng)濟損失進行對數(shù)處理。另外，本節(jié)采用Machado和Silva(2005)［16］提出的方法，將死亡人數(shù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量，且該連續(xù)變量的分位數(shù)與原變量之間存在著對應(yīng)關(guān)系。令Yi1=log(Zi1)為對數(shù)處理后的直接經(jīng)濟損失，Wi2=Zi2+Ui，其中Ui是服從區(qū)間[0，1]上的均勻分布隨機變量。設(shè)τ=(τ1，τ2)為二元損失變量分位數(shù)水平，構(gòu)造單調(diào)變換T(Wi2；τ2)如下：

其中，ζ為一個較小正數(shù)，沿用Machado和Silva(2005)［16］的設(shè)定，ζ取10-5。令Yi2=T(Wi2；τ2)，經(jīng)過前述變換，二元損失變量的聯(lián)合分位數(shù)回歸模型可表示為：

其中，解釋變量Xi為地震震級，βτ0=(βτ10,βτ20)′,βτ1=(βτ11, βτ21)′。

(四)基于EM算法的參數(shù)估計

本節(jié)利用EM算法對模型參數(shù)進行極大似然估計。EM算法本質(zhì)上是在計算期望(E)步和最大化(M)步之間交替進行，期望(E)步計算了當(dāng)前參數(shù)估計的對數(shù)似然函數(shù)的期望，最大化(M)步通過最大化E步中獲得的對數(shù)似然函數(shù)的期望來進行參數(shù)估計。根據(jù)Petrella等(2019)［14］給出的兩個命題可進行對數(shù)似然函數(shù)期望的計算和最優(yōu)參數(shù)估計。

EM算法通過E步和M步的循環(huán)迭代計算來實現(xiàn)，該迭代過程一直進行直到滿足收斂條件，本文將收斂判據(jù)設(shè)定為待估參數(shù)連續(xù)兩次迭代差的二范數(shù)小于10-6。

三、地震風(fēng)險測度及地震指數(shù)保險保費規(guī)模測算

(一)風(fēng)險測度值

VaR和ES是廣泛使用的風(fēng)險度量工具。在本文中，VaR可以理解為在給定概率水平τ下，地震災(zāi)害可能造成的最大損失值。VaR的數(shù)學(xué)表達式為：

VaRτ=inf{l∈:p(Y>l)≤τ}

其中，Y表示地震災(zāi)害損失變量，p為概率水平，l為實數(shù)，為實數(shù)集。根據(jù)分位數(shù)回歸的定義，直接經(jīng)濟損失的VaR可表示為：

死亡人數(shù)的VaR為：

由于VaR無法充分反映尾部風(fēng)險信息且不滿足次可加性要求，本文進一步采用了一致性風(fēng)險測度ES刻畫尾部風(fēng)險。ES不僅繼承了VaR的諸多優(yōu)點，還提供了更多關(guān)于損失尾部的信息(Artzner等，1999［17］)。因此，ES作為風(fēng)險度量的替代指標(biāo)，越來越受風(fēng)險管理者的關(guān)注，但在普通分位數(shù)回歸框架下ES與VaR之間無法關(guān)聯(lián)。Bassett等(2004)［18］提出了分位數(shù)回歸在基于非對稱拉普拉斯分布情況下尺度參數(shù)與ES之間的數(shù)量關(guān)系，因此將分位數(shù)回歸方法的評估作用進行了提升，Taylor(2019)［19］則進一步將這一關(guān)聯(lián)應(yīng)用于測度金融資產(chǎn)組合收益Rt的左側(cè)尾部風(fēng)險ES，公式如下：

本文測度目標(biāo)為損失變量的右尾較大損失分位數(shù)下的ES，且并非基于時變尺度參數(shù)假設(shè)，因此基于上述理論框架，測算過程中按照損失額的負數(shù)進行參數(shù)估計，且將δt的處理退化為常數(shù)δ。

(二)核密度估計

x1，x2，…，xn為收集的樣本數(shù)據(jù)，設(shè)其密度函數(shù)為f(x)，則f(x)的非參數(shù)核密度估計為：

其中，k(·)為核函數(shù)，h為窗寬，n為樣本容量。在本文中，核函數(shù)選取為高斯核函數(shù)。然而在不同窗寬下，核密度估計曲線形狀差距比較大，一般最佳窗寬選擇為h=cn-1/5(其中c為常數(shù))，通過不斷調(diào)整c，使得核密度估計達到滿意的估計結(jié)果。常見的窗寬的計算公式為：

h=0.785(x0.75-x0.25)n-1/5

(4)

其中x0.75-x0.25為數(shù)據(jù)的0.75分位數(shù)與0.25分位數(shù)之差，本節(jié)選用此公式計算的窗寬h與MATLAB根據(jù)拇指經(jīng)驗法則計算的最優(yōu)默認窗寬w進行比較，選擇對密度函數(shù)估計效果更好的窗寬。

(三)地震巨災(zāi)保險保費規(guī)模測算思路

參考李云仙和孟生旺(2019)［11］關(guān)于地震指數(shù)保險保費規(guī)模測算方法，本文將震級設(shè)定為地震巨災(zāi)保險的“指數(shù)”，針對地震造成的直接經(jīng)濟損失，以事先約定的地震指數(shù)為基礎(chǔ)，通過分位數(shù)回歸模型量化地震指數(shù)與直接經(jīng)濟損失之間的關(guān)系，從而實現(xiàn)對總保費規(guī)模的測算。對于分位數(shù)回歸模型而言，要先利用核密度法估計地震震級的概率密度函數(shù)，然后求出在給定概率水平下的VaR均值，最后將VaR均值與地震平均發(fā)生頻次相乘計算總保費。VaR均值計算公式如下：

其中，a、b為地震震級上下限，f(x)為地震震級的概率密度函數(shù)。則每年的總保費規(guī)模為：

其中，P為每年保費規(guī)模，N為地震發(fā)生次數(shù)。

四、基于我國地震災(zāi)害數(shù)據(jù)的實證分析

(一)數(shù)據(jù)來源及描述性統(tǒng)計

本文的數(shù)據(jù)來自2005—2020年的《中國大陸地震災(zāi)害損失述評》［20-33］及中國地震信息網(wǎng)(http：//www.csi.ac.cn/)，從中獲取了1990—2020年共計306次地震災(zāi)害的震級、直接經(jīng)濟損失(單位：億元)和死亡人數(shù)數(shù)據(jù)。由于時間跨度較長，所以本節(jié)將直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)調(diào)整到2020年的物價水平，以消除通貨膨脹的影響。表1描述了直接經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)的統(tǒng)計特征。通過觀察發(fā)現(xiàn)，兩個變量均具有尖峰厚尾的特點，且直接經(jīng)濟損失離散程度較大，本節(jié)將對其進行對數(shù)處理。針對具有零膨脹特征的死亡人數(shù)，需要根據(jù)第二節(jié)的方法進行連續(xù)化處理。通過圖1的直方圖以及QQ圖可以更直觀地觀察變量的厚尾性。

圖1 處理后的地震損失分布直方圖和QQ圖

表1 地震直接經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)的描述性統(tǒng)計

從圖2的散點圖可以看出隨著震級的增大，地震帶來的經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)也不斷增大，但是并非單一的線性關(guān)系。在同一震級下，不同地震帶來的損失之間的差異很大，僅研究震級與地震災(zāi)害損失均值之間的關(guān)系并不能很好地擬合和預(yù)測損失數(shù)據(jù)。地震巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)的過離散和厚尾特征，使得傳統(tǒng)的均值回歸模型并不適用，而分位數(shù)回歸模型在一定程度上可以克服均值回歸模型的一些缺陷。圖2給出了τ=0.5、0.75、0.95時處理后的二元損失變量與震級擬合的分位數(shù)回歸線，從中可以發(fā)現(xiàn)，在各分位數(shù)水平下，處理后的二元損失變量與震級之間關(guān)系可以通過線性模型描述，因此分位數(shù)回歸模型可適用于本文樣本數(shù)據(jù)的研究。

圖2 地震損失與震級的擬合分位數(shù)回歸線

(二)參數(shù)估計結(jié)果

表2 不同分位數(shù)水平下的回歸系數(shù)估計值

表2中直接經(jīng)濟損失對數(shù)的回歸系數(shù)估計值為βτ11，轉(zhuǎn)換后的死亡人數(shù)在不同分位數(shù)水平下的回歸系數(shù)估計值為βτ21。結(jié)果表明，在0.1的顯著水平下，各分位數(shù)處βτ11、βτ21是顯著大于0的。這一結(jié)論驗證了震級與直接經(jīng)濟損失之間的高度相關(guān)性，為以震級作為地震巨災(zāi)保險的觸發(fā)指數(shù)的巨災(zāi)保險制度提供了實證支持。值得一提的是，隨著分位數(shù)水平的不斷攀升，βτ11雖有波動，但仍然存在一個上升的趨勢，而βτ21本應(yīng)該在0.99分位數(shù)處取得最大值，但表中并沒有呈現(xiàn)出這樣的規(guī)律，這可能是因為在不同分位數(shù)水平下，震級可解釋的地震經(jīng)濟和生命損失是不同的。眾所周知，對于地震損失而言，其受多種因素的影響，人口密度、居民防災(zāi)意識和地區(qū)經(jīng)濟水平均可影響地震災(zāi)害損失，在本文中，這些影響因素均被籠統(tǒng)地概括為常數(shù)βτ10、βτ20?？墒?，對于生命損失而言，通過對原始數(shù)據(jù)進行分析可以發(fā)現(xiàn)，我國地震災(zāi)害震級主要分布在4.5～6.5之間，云南、新疆等地區(qū)經(jīng)常發(fā)生大地震，但由于人口稀少導(dǎo)致死亡人數(shù)較少，而對于四川和東部沿海各省份來說，由于人口密度上升，導(dǎo)致中等地震即可能造成重大傷亡。因此，除了震級之外，地震災(zāi)害死亡人數(shù)還受各地區(qū)人口密度的影響，并且人口密度是非常重要的一個影響因素。

對于相關(guān)系數(shù)ρ而言，表3給出了τ1=τ2=0.5，…，0.95時的估計值以及估計值對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤。由估計結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，直接經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)顯著大于零，即兩者之間存在正相依關(guān)系。但隨著分位數(shù)水平的不斷上升，兩者之間的相依性逐漸減弱，這是由于在高分位數(shù)水平處，死亡人數(shù)波動十分劇烈，波動幅度較大，減弱了其與經(jīng)濟損失之間的相關(guān)性。

表3 二元損失變量相關(guān)系數(shù)估計值

(三)地震災(zāi)害風(fēng)險度量

在二元損失獨立和相依的模型假設(shè)下，通過估計τ1=τ2=0.5，…，0.99時的回歸系數(shù)，進一步測算直接經(jīng)濟損失在不同分位數(shù)水平下的VaR值(見表4)。結(jié)果表明，若假設(shè)直接經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)相互獨立，則VaR值會被低估，故為了測算得到更充足的保費規(guī)模，考慮二元損失的相依性是必要的。在二元損失相依的模型假設(shè)下，測算得到的VaR值隨著震級和置信度的升高而增加，且在同一置信度下，VaR隨震級的提高具有加速增加趨勢。如在置信度取0.9時，4級地震的VaR為1.819億，5級地震為11.225億，增長9.406億；6級地震為69.279億，增長58.054億；7級地震為427.557億，增長358.278億；另外，在同一震級下，VaR隨概率水平增長而增加的速度也不斷加快。

表4 直接經(jīng)濟損失的VaR值 (單位：億元)

表5給出了在二元損失獨立和相依兩種情形下，死亡人數(shù)的VaR值。結(jié)果表明，在獨立的情形下，死亡人數(shù)的VaR值同樣會被低估。通過觀察在二元損失相依的模型假設(shè)下測算的VaR值發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)卣鹫鸺壿^低時，造成的生命損失比較小，如表中4、5級地震幾乎不造成很大的人員傷亡。但隨著震級的增大，生命損失會出現(xiàn)加速驟增，因此大地震造成生命損失不可小覷。

表5 死亡人數(shù)的VaR值 (單位：人)

表6給出了獨立和相依情形下，處理后的二元損失在不同分位數(shù)水平下的ES值。與VaR相同的是，在模型假設(shè)為獨立的情形下，測算的ES值也會被低估，再次證實考慮二元損失的正向相依性的必要性。在二元損失相依的模型假設(shè)下，取對數(shù)的直接經(jīng)濟損失的ES值隨著τ1的增大而增大，即尾部風(fēng)險極大。在對兩變量均取對數(shù)的情況下，死亡人數(shù)ES值的變化率要高于直接經(jīng)濟損失的變化率。尤其是在τ2≥0.9后，ES值波動幅度非常大，尾部風(fēng)險極高且難以把控，所以生命損失的風(fēng)險管理非常值得探討和研究。

表6 二元損失的ES值

(四)地震指數(shù)保險保費規(guī)模測算

前述結(jié)論已證明了當(dāng)前地震巨災(zāi)保險以地震震級作為指數(shù)保險的觸發(fā)條件的合理性。云南省大理州政策性地震指數(shù)保險將賠付觸發(fā)點設(shè)置為5級，而通過對我國地震災(zāi)害損失數(shù)據(jù)進行分析發(fā)現(xiàn)，我國成災(zāi)地震中4.5～7級地震造成的災(zāi)害損失占所有地震災(zāi)害損失的比重約為90%，而4.5級以下地震形成的災(zāi)害損失僅占比不到6%，將觸發(fā)點設(shè)置為4.5級可以涵蓋90%以上的地震災(zāi)害，所以本文將觸發(fā)點設(shè)置為4.5級。

圖3 不同窗寬下的核密度估計

接下來根據(jù)τ1=τ2=0.5，…，0.99時回歸系數(shù)的估計結(jié)果，計算4.5級以上的地震災(zāi)害經(jīng)濟損失的VaR均值。由于我國大陸1990—2020年地震災(zāi)害震級最大為8.1級，因此震級上限選取為8.1。計算公式如下：

(4)

本文運用隨機模擬法求解式(4)，設(shè)定模擬次數(shù)為C=50 000，計算結(jié)果見表7。在90%的概率水平下，4.5級以上單次地震災(zāi)害的直接經(jīng)濟損失VaR值為73.776億元。根據(jù)1990—2020年地震災(zāi)害數(shù)據(jù)可知，我國大陸4.5級以上地震災(zāi)害平均每年發(fā)生9.29次，因而預(yù)測若每年的總保費規(guī)模為685.4億元，則該保費在90%的概率下能夠滿足地震災(zāi)害直接經(jīng)濟損失的賠付。

表7 不同概率水平下4.5級以上地震的直接經(jīng)濟損失VaR值 (單位：億元)

在我國現(xiàn)行巨災(zāi)風(fēng)險管理體系下，當(dāng)?shù)卣馂?zāi)害發(fā)生時，政府會對遇難者家屬支付一定數(shù)額的死亡撫恤金，本節(jié)嘗試測算我國每年地震死亡保險人數(shù)規(guī)模。利用式(4)可計算不同分位數(shù)水平下每次4.5級以上地震造成的最大可能生命損失。如表8顯示，在50%的概率水平下，4.5級以上地震造成的死亡人數(shù)小于2人；在70%的概率水平下，4.5級以上地震造成的死亡人數(shù)小于8人；在90%的概率水平下，4.5級以上地震造成的死亡人數(shù)小于98人；在95%的概率水平下，4.5級以上地震造成的死亡人數(shù)小于472人?；谖覈箨懫骄磕臧l(fā)生地震災(zāi)害的次數(shù)預(yù)測可得，我國每年地震災(zāi)害造成的死亡人數(shù)在90%的分位數(shù)約為903人。

表8 不同概率水平下4.5級以上地震死亡人數(shù)的VaR值

五、結(jié)論與展望

評估地震災(zāi)害造成的生命和財產(chǎn)損失對地震保險的設(shè)計具有重要的現(xiàn)實意義。本文基于我國大陸地區(qū)1990—2020年306次成災(zāi)地震數(shù)據(jù)，建立了以震級為解釋變量的財產(chǎn)損失與人身損失二元損失聯(lián)合分位數(shù)回歸模型。結(jié)果表明，震級對直接經(jīng)濟損失的影響較為顯著，且其對高分位數(shù)處損失的影響更大，這一結(jié)論為以震級作為地震指數(shù)保險的觸發(fā)參數(shù)提供了支持。由于死亡人數(shù)具有零膨脹的特性，較低震級造成的人員傷亡影響有限，但隨震級升高，人身傷亡損失陡然上升。除了震級之外，地區(qū)人口密度也是影響地震災(zāi)害死亡人數(shù)的重要影響因素。本文利用多元非對稱拉普拉斯分布中的相關(guān)系數(shù)矩陣來刻畫二元損失之間的相關(guān)關(guān)系，對相關(guān)系數(shù)的估計結(jié)果表明兩者之間存在正相關(guān)關(guān)系，特別是接近中位數(shù)區(qū)域的正相關(guān)關(guān)系較強。

結(jié)合非對稱拉普拉斯分布的性質(zhì)，本文計算了二元損失獨立和相依情形下，我國地震災(zāi)害直接經(jīng)濟損失和死亡人數(shù)的VaR和ES。結(jié)果表明，在獨立的模型假設(shè)下，VaR和ES值都會被低估，所以為了使得測算的保費規(guī)模更為充足，考慮二元損失的正向相依性是非常必要的。在相依情形下，本文計算了在不同震級和概率水平下，我國地震災(zāi)害損失的VaR和ES。結(jié)果表明，VaR的增長幅度會隨著震級的增大而升高，所以大地震(7級以上)造成的損失是不可輕視的。在概率水平較高時，死亡人數(shù)的ES波動幅度非常大，即尾部風(fēng)險極高且難以把控，因此生命損失的風(fēng)險管理是非常值得深入探討和研究的。考慮到數(shù)據(jù)的可獲得性，本文僅選用了震級作為自變量。然而，還有很多其他因素也可能會影響地震的損失。后續(xù)研究可以考慮如何將這些數(shù)據(jù)納入模型，從而得到更加全面的結(jié)論。