單摻銩固體激光器熱效應(yīng)研究進(jìn)展與理論分析

高露露,翟學(xué)君,閔歡歡,劉廣華,蘭瑞君,申英杰

(煙臺(tái)大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

1 引 言

中紅外2 μm波段的激光,其輸出光譜可以覆蓋1.88～2.14 μm,處于大氣的弱吸收帶和人眼安全波段,具有安全性高、光束質(zhì)量好、傳播距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn),因此2 μm波長(zhǎng)的脈沖激光器可以應(yīng)用激光雷達(dá)、醫(yī)療診斷、材料加工和環(huán)境監(jiān)測(cè)等許多領(lǐng)域。此外,2 μm激光器也可用作泵浦源以產(chǎn)生3～5 μm和8～12 μm的其他紅外(IR)激光波段。因此輸出波長(zhǎng)在2 μm附近的摻銩固體激光器也就自然成為人們研究的熱點(diǎn)。近年來,單摻銩固體激光器的研究重點(diǎn)是如何獲得高功率、窄脈寬的激光輸出。然而,對(duì)于固體激光器來說,泵浦源的光束特性允許它們的輻射緊密聚焦到泵浦材料中。泵浦功率的很大一部分被轉(zhuǎn)換成激光材料內(nèi)部的熱量,且發(fā)射的泵浦光能量密度高,方向性強(qiáng),導(dǎo)致增益介質(zhì)因吸收泵浦能量造成熱量沉積而發(fā)熱,使激光器輸出的光束質(zhì)量變差、輸出功率下降,甚至導(dǎo)致增益晶體碎裂。因此,為了使固體激光器獲得更優(yōu)的輸出性能,必須考慮影響光學(xué)性能的熱效應(yīng)。

激光晶體的熱效應(yīng)包括應(yīng)力斷裂、應(yīng)力誘導(dǎo)雙折射和熱透鏡效應(yīng)等,這些都會(huì)對(duì)激光器的輸出性能帶來嚴(yán)重影響。其中影響最大的為增益介質(zhì)的熱透鏡效應(yīng)。因此為了有效提高激光輸出功率、改善光束質(zhì)量,本文總結(jié)了自熱效應(yīng)的概念提出以來國(guó)內(nèi)外研究人員對(duì)固體激光器熱效應(yīng)的研究成果,同時(shí)對(duì)固體激光器熱透鏡效應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程及其邊界條件進(jìn)行討論,分析了端面抽運(yùn)各向異性與各項(xiàng)同性的棒狀或方形的單摻Tm激光介質(zhì)的溫度分布,對(duì)影響熱透鏡效應(yīng)的三種不同因素產(chǎn)生的熱焦距進(jìn)行理論計(jì)算,為進(jìn)一步減緩熱透鏡效應(yīng)提高激光器輸出性能奠定了良好的理論基礎(chǔ)。

2 單摻銩晶體

廢熱的產(chǎn)生對(duì)增益晶體產(chǎn)生了許多不利影響,除了溫度梯度引起的折射率變化外,端面曲率和應(yīng)力誘導(dǎo)的折射率變化也會(huì)對(duì)熱透鏡產(chǎn)生貢獻(xiàn)。這些貢獻(xiàn)的相對(duì)大小取決于許多因素,包括激光材料的熱機(jī)械和熱光學(xué)特性、泵浦沉積剖面、激光介質(zhì)形狀、腔結(jié)構(gòu)和熱沉排列等。

由于Tm3+的吸收峰之一為795 nm,能夠使工作在0.8 μm左右的AlGaAs二極管作為泵浦源,且Tm3+表現(xiàn)出一種有益的交叉弛豫過程?？梢蕴岣吡孔有?產(chǎn)生高效的激光操作。因此摻Tm3+的增益晶體已經(jīng)成為L(zhǎng)D泵浦2 μm波段激光器重要的晶體之一。摻銩增益晶體的基質(zhì)材料有很多,其中以釔鋁石榴石(YAG)、鋁酸釔(YAP)、釔氟化鋰(YLF)為基質(zhì)晶體的摻銩增益晶體使用最多。

YAG屬立方晶系,各向同性晶體,具有良好的熱穩(wěn)定性,制備技術(shù)成熟,是較好的基質(zhì)晶體。但其激光輸出為非偏振光,在高功率泵浦條件下會(huì)產(chǎn)生熱致雙折射導(dǎo)致轉(zhuǎn)換效率降低,同時(shí)產(chǎn)生較嚴(yán)重的熱效應(yīng)不利于激光輸出。且Tm∶YAG晶體增益截面的光譜在2 μm波段存在精細(xì)結(jié)構(gòu),也就是增益截面光譜分裂,無法滿足2 μm更短脈沖激光輸出的要求。

YAP的熱力學(xué)性能和機(jī)械性能與YAG相似,但YAP為各向異性晶體,其發(fā)射截面是YAG晶體的兩倍多,具有自然雙折射性質(zhì),輸出光為線偏振光。性質(zhì)主要取決于晶體的a、b、c三個(gè)晶向,在不同坐標(biāo)系或不同空間群態(tài)中晶體的取向是不一樣的,其激光性能、輸出波長(zhǎng)等也有變化,因此可以通過選擇晶體的結(jié)晶取向來獲得最佳的性能輸出[1]。但YAP基質(zhì)也同樣存在一些缺點(diǎn),其各項(xiàng)異性使YAP晶體在受到高強(qiáng)度激光泵浦后發(fā)生膨脹或收縮從而產(chǎn)生熱應(yīng)力,該應(yīng)力超過某一極限應(yīng)力時(shí),將導(dǎo)致晶體開裂。即各向異性晶體的熱畸變嚴(yán)重,影響大能量泵浦和激光輸出。

YLF屬于氟化物晶體,其硬度和熱導(dǎo)率都適中,具有偏振輸出特性,上能級(jí)熒光壽命長(zhǎng),易于儲(chǔ)能,其負(fù)折射率特性能夠有效減輕晶體熱透鏡效應(yīng),有利于實(shí)現(xiàn)大脈沖能量激光運(yùn)轉(zhuǎn)獲得大功率激光輸出。但一般氟化物的熱機(jī)械性不如含氧化合物,同樣存在熱畸變嚴(yán)重的現(xiàn)象[2]。因此材料特性不同,得到的激光性能也不同,即我們需要根據(jù)具體應(yīng)用來選擇適當(dāng)?shù)膿诫s基質(zhì)。

3 單摻Tm固體激光器熱效應(yīng)的發(fā)展過程及研究現(xiàn)狀

3.1 晶體熱效應(yīng)產(chǎn)生機(jī)理的研究背景

晶體熱效應(yīng)作為影響激光器輸出性能的關(guān)鍵因素,了解其產(chǎn)生機(jī)理對(duì)采取減小熱效應(yīng)的措施至關(guān)重要。

1970年,Koechner在其著作《固體激光工程》[3]中首次解釋了增益介質(zhì)在被泵浦時(shí)產(chǎn)生廢熱的原因?yàn)楸闷峙c發(fā)射光子之間的能量差異,即量子缺陷加熱。此外,濃度淬滅、非輻射位點(diǎn)和能量轉(zhuǎn)移上轉(zhuǎn)換等機(jī)制都有可能導(dǎo)致顯著的額外熱負(fù)荷。之后作者又給出了在LD端面泵浦固體激光器時(shí),激光晶體內(nèi)的溫度分布、熱應(yīng)力和熱透鏡效應(yīng)在連續(xù)、單脈沖和重復(fù)脈沖運(yùn)轉(zhuǎn)條件下的物理數(shù)學(xué)模型。為之后進(jìn)一步研究固體激光器的熱效應(yīng)提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。1996年,菲利普斯非線性光學(xué)實(shí)驗(yàn)中心P.PETERSON等人模擬了單程LD端面泵浦Tm∶YAG激光器的熱效應(yīng)[4]。觀察到3H4泵浦流形的非輻射衰變、3F4激光流形的無輻射衰變以及從二對(duì)一交叉弛豫過程中沉積的能量將導(dǎo)致激光晶體產(chǎn)生了熱透鏡效應(yīng)迫使諧振器變得不穩(wěn)定并停止激光的現(xiàn)象。

3.2 有關(guān)分析晶體熱效應(yīng)影響的研究概況

激光晶體的熱效應(yīng)理論得出后,國(guó)內(nèi)外各學(xué)者針對(duì)熱效應(yīng)如何影響激光器運(yùn)行的問題進(jìn)行了討論,提出了一系列有關(guān)熱效應(yīng)分析的簡(jiǎn)單模型和溫度分布表達(dá)式。

2001年,Clarkson研究了端面抽運(yùn)邊緣冷卻的固體激光器的熱透鏡效應(yīng)。提出了熱透鏡效應(yīng)和光束質(zhì)量退化與泵浦光束橫向強(qiáng)度分布關(guān)系的簡(jiǎn)單模型[5]。2005年,西安電子科技大學(xué)的楊永明等人提出了使用干涉條紋法測(cè)量熱透鏡的方法,即通過觀察干涉條紋的移動(dòng)得知光程差的變化,進(jìn)而間接測(cè)量晶體的熱焦距[6]。該方法能夠測(cè)得由溫度梯度,熱應(yīng)力和端面變形引起的總的熱透鏡焦距。2006年,B.Chen等人在報(bào)道了晶體板激光器的應(yīng)力斷裂和熱梯度誘導(dǎo)的應(yīng)力雙折射后,又給出了晶體板激光器由于熱梯度和應(yīng)力梯度而產(chǎn)生透鏡效應(yīng)的解析和數(shù)值計(jì)算[7]?？紤]了泵浦陣列中LD棒之間間隙的影響及平板邊緣上未摻雜材料的放置。結(jié)果表明在泵陣列中棒間隙會(huì)導(dǎo)致吸收泵功率分布不同使溫度分布不均勻,對(duì)端泵浦平板產(chǎn)生難以糾正的熱透鏡效應(yīng)。2011年,Yao等人研究了雙端連續(xù)抽運(yùn)a切Tm∶YLF和c切Tm∶YAP激光器的熱效應(yīng)[8]。從實(shí)驗(yàn)和理論上詳細(xì)比較了兩種晶體產(chǎn)生1.94 μm的激光性能和熱分析。根據(jù)測(cè)量的M2因子反向計(jì)算得出熱焦距,雖然他們指出了許多影響熱模型的重要參數(shù),但研究使用的都是基于圓柱的解決方案,即使是對(duì)于立方截面晶體。2013年,北京理工大學(xué)陳家斌等人將LD端面抽運(yùn)矩形激光介質(zhì)看作是一組熱柱面透鏡,每個(gè)熱柱面透鏡以不同的熱焦距對(duì)總的熱透鏡效應(yīng)做出貢獻(xiàn),分析了分布式熱透鏡的作用,總結(jié)了溫度梯度和熱應(yīng)力造成的折射率的變化規(guī)律[9]。 2014年,復(fù)旦大學(xué)沈德元等人建立了大功率端面泵浦Tm∶YAG平板激光器的三維平面波熱模型,采用數(shù)值迭代法得到了板狀晶體的穩(wěn)定溫度分布和激光輸出[10]?；谠撃Ｐ头治隽藷峤粨Q系數(shù)對(duì)激光性能的影響,為處理激光和熱負(fù)荷的不對(duì)稱分布問題提供了一種更精確的方法。2015年Bai等人報(bào)告了立方Tm∶YLF晶體熱方程的解。利用積分變換得到晶體中溫度分布和熱焦距的解析表達(dá)式[11]。為雙端泵浦Tm∶YLF激光器的熱補(bǔ)償和腔設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù),且所建立的模型可用于分析其他各向異性晶體。雖然他們巧妙地解決了熱方程的建立,但應(yīng)重新考慮側(cè)面恒溫的假設(shè)。2016年,Liu等人提出立方各向異性晶體熱方程的綜合解析解,將所報(bào)告的表達(dá)式應(yīng)用于板條Tm∶YLF晶體,詳細(xì)考慮了立方體所有六個(gè)面的對(duì)流冷卻機(jī)制[12]。對(duì)側(cè)面和端面采用了不同的傳熱系數(shù)。其結(jié)果表明該模型高度可靠,為雙泵浦Tm∶YLF激光器的熱補(bǔ)償和腔設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。證明了該熱模型可以應(yīng)用于其他各向異性板條晶體的復(fù)雜熱分析。2022年,沙特阿拉伯塔伊夫大學(xué)的學(xué)者提出了使用1064 nm的泵浦光泵浦Tm∶YAP激光棒產(chǎn)生1.98 μm的激光輸出[13],數(shù)值計(jì)算了泵浦光斑大小對(duì)熱透鏡效應(yīng)的影響,以及最大熱應(yīng)力。給出了最佳泵浦條件的測(cè)量和計(jì)算,實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

3.3 有關(guān)減小晶體熱效應(yīng)措施的研究概況

近年來,針對(duì)如何減小激光晶體熱效應(yīng)的問題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量的工作。

2004年,中國(guó)科學(xué)院物理研究所的姚愛云等人設(shè)計(jì)了一種LD雙端泵浦固體激光器的實(shí)驗(yàn)裝置[14],這種雙端泵浦方式使熱量在增益介質(zhì)兩端有效分配,使晶體吸收的熱量分布更均勻,從而達(dá)到減少熱效應(yīng),擴(kuò)大穩(wěn)定范圍,獲得高輸出功率的目的。2006年,英國(guó)南安普頓大學(xué)W.A.Clarkson等人設(shè)計(jì)了一種用于放大泵浦光束并將產(chǎn)生的熱量分配到多個(gè)激光介質(zhì)的主振蕩器功率放大器配置[15]。通過優(yōu)化信號(hào)光與泵浦光束重疊,采用新穎的端泵浦放大器設(shè)計(jì),使熱效應(yīng)減小到最低,產(chǎn)生了光束質(zhì)量較好的輸出激光。2009年,法國(guó)光學(xué)研究所查爾斯·法布里實(shí)驗(yàn)室首次使用了一種內(nèi)腔泵送裝置的帶內(nèi)泵浦以減少量子缺陷[16],即在914 nm處直接從基態(tài)流形的最后一級(jí)泵送Nd3+離子。并通過實(shí)驗(yàn)證明高亮度的LD與相對(duì)高摻雜的Nd∶YVO4晶體結(jié)合使用,有非常小的熱產(chǎn)生以及非常好的光束質(zhì)量輸出。同年,Li等人提出了一種對(duì)端面抽運(yùn)固體激光器直接散熱的方法,即晶體棒側(cè)面采用傳統(tǒng)的冷卻方式,晶體受熱端緊貼金剛石這種對(duì)泵浦光透明的高導(dǎo)熱率材料,使集中于晶體端面附近的熱量通過該材料直接導(dǎo)出[17]。之后該團(tuán)隊(duì)又利用熱管高導(dǎo)熱性提出了一種新的散熱方案[18]。通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算比較熱管散熱和水冷散熱時(shí)的晶體溫度分布和熱透鏡焦距。結(jié)果表明兩種方式都能有效對(duì)晶體散熱。2010年,Yao等人對(duì)連續(xù)LD泵浦Tm∶YAP激光器產(chǎn)生的熱透鏡效應(yīng)進(jìn)行了分析[19],在不同的腔長(zhǎng)度處記錄相應(yīng)的泵浦功率,根據(jù)ABCD矩陣計(jì)算出熱焦距。同時(shí)設(shè)計(jì)了兩種諧振器來補(bǔ)償熱透鏡效應(yīng),如圖2所示。一種方法是將凸透鏡的焦距設(shè)置在激光晶體的中間,另一種方法則是將平凹鏡的半徑也設(shè)置在晶體的中間。實(shí)驗(yàn)證明了這些方法的有效性。

圖2 熱焦距測(cè)量裝置

相比于棒狀晶體,板條狀晶體散熱效果更好,更有利于獲得高功率激光輸出。因此出現(xiàn)了一種創(chuàng)新的平板激光器的概念(INNOSLAB)[20]。2017年,Wang等人采用平凸腔增大基模體積補(bǔ)償熱透鏡效應(yīng)的方法[21],證明了該腔結(jié)構(gòu)能夠改善復(fù)合激光光束質(zhì)量,二極管端面抽運(yùn)激光器示意圖如圖3所示。同年,西安電子科技大學(xué)的屈鵬飛等人研究了一種新方法以提高光束質(zhì)量[22]。該方法并不是緩解熱效應(yīng),而是利用增益內(nèi)部的熱效應(yīng)。通過控制泵浦功率調(diào)整晶體產(chǎn)生的熱焦距,使光束在增益介質(zhì)內(nèi)高度匹配,從而達(dá)到改善激光光束質(zhì)量的目的。

2017年,南安普敦大學(xué)光電研究中心的W.A.Clarkson等人描述了一種利用環(huán)形泵浦光減輕熱透鏡效應(yīng)的方法[23]。即在激光模式中產(chǎn)生一個(gè)中心區(qū)域,該區(qū)域內(nèi)沒有熱量耗散。使得激光模式上溫度分布更均勻。同年韓國(guó)漢陽大學(xué)的研究人員在其基礎(chǔ)上導(dǎo)出了環(huán)形光束泵浦分布下激光介質(zhì)中溫度分布和熱焦距的簡(jiǎn)單解析表達(dá)式[24]。并通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明環(huán)形泵浦光束有利于進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)功率縮放。2018年,Wu等人首次提出了一種新穎的脈沖LD間歇抽運(yùn)2 μm聲光調(diào)Q摻銩激光器的方法[25],即晶體兩端各由一個(gè)脈沖LD激勵(lì),通過外部電路控制兩個(gè)脈沖LD對(duì)增益介質(zhì)的激勵(lì)時(shí)間和間隔,該間隔用來緩解雙端泵浦對(duì)晶體的熱效應(yīng)。2020年,湖北工業(yè)大學(xué)的姚育成等人在泵浦耦合模塊上利用TEC制冷特性設(shè)計(jì)了冷卻與輔熱組合封裝結(jié)構(gòu),使增益區(qū)域的低溫冷卻和光學(xué)端面高溫輔熱相結(jié)合[26],解決了光學(xué)端面水汽凝結(jié)問題。同時(shí)通過晶體熱效應(yīng)的三維理論模型計(jì)算出溫度、熱應(yīng)力和光學(xué)畸變的大小,降低了晶體的工作溫度和晶體的最高熱應(yīng)力。

4 端面泵浦單摻銩固體激光器的熱透鏡效應(yīng)理論分析

激光晶體的熱透鏡效應(yīng)沿激光傳播方向逐漸改變。摻銩晶體不同或摻銩濃度不同都會(huì)影響激光晶體內(nèi)的溫度分布。從上述研究過程中我們了解到:使用對(duì)應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程可以描述不同種類以及不同形狀的激光介質(zhì)的溫度分布,詳細(xì)分析其在不同實(shí)驗(yàn)環(huán)境下的邊界條件,可得到激光介質(zhì)內(nèi)準(zhǔn)確的溫度分布。雖然邊界條件越復(fù)雜越會(huì)使計(jì)算過程更困難,但同時(shí)也會(huì)使結(jié)果更準(zhǔn)確。

4.1 熱傳導(dǎo)方程

熱傳導(dǎo)也說導(dǎo)熱,是熱傳遞的一種方式。在激光晶體內(nèi),泵浦所沉積的熱量會(huì)導(dǎo)致激光介質(zhì)內(nèi)發(fā)生熱傳導(dǎo),形成不均勻的溫度分布,從而產(chǎn)生熱效應(yīng),熱透鏡效應(yīng)是由增益介質(zhì)折射率變化造成的。為了模擬熱誘導(dǎo)折射率變化,必須求解激光介質(zhì)的熱傳導(dǎo)方程,以獲得適當(dāng)?shù)臏囟确植肌?/p>

激光二極管泵浦的固體激光器的激光介質(zhì)結(jié)構(gòu)主要有柱形和方形,我們首先針對(duì)方形的激光晶體進(jìn)行研究。假設(shè)該方形單摻銩晶體為各向同性,例如Tm∶YAG固體激光器,當(dāng)內(nèi)部沒有熱源時(shí),假定熱力學(xué)參數(shù)ρ,c,K均為常數(shù),熱導(dǎo)率為K,笛卡爾坐標(biāo)系下其三維熱傳導(dǎo)方程為:

(1)

熱擴(kuò)散系數(shù)為:a2=K/ρc。當(dāng)有熱源時(shí):

(2)

晶體內(nèi)的溫度差導(dǎo)致發(fā)生熱傳導(dǎo)。當(dāng)熱傳導(dǎo)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),溫度的變化與時(shí)間t無關(guān)時(shí),即:?T/?t=0。則對(duì)于LD端面泵浦各向同性均勻矩形的摻銩增益介質(zhì)時(shí),在有熱源且達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的溫度分布為:

(3)

當(dāng)激光晶體是各向同性的均勻圓柱時(shí),其熱傳導(dǎo)方程在柱坐標(biāo)下表示為:

(4)

在柱坐標(biāo)下達(dá)到穩(wěn)定時(shí)所滿足的方程為:

(5)

對(duì)于棒狀激光晶體,若假設(shè)棒無窮長(zhǎng)且熱流為純徑向,則熱傳導(dǎo)方程為:

(6)

在求解單摻銩晶體瞬態(tài)溫度分布方面,上述分析是針對(duì)各向同性的長(zhǎng)方形與圓柱形晶體分別在笛卡爾坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下求解的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程,而針對(duì)各向異性單摻銩晶體并不適用。

現(xiàn)假設(shè)方形單摻銩晶體是各向異性的,如Tm∶YAP、Tm∶YLF[27]固體激光器,則滿足的方程為:

(7)

達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)有:

=0,0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤l

(8)

其中,a、b和l分別為晶體端面和沿軸方向尺寸,κx、κy、κz為沿x,y,z軸的導(dǎo)熱系數(shù),T(x,y,z)為晶體內(nèi)溫度分布;qv(x,y,z)為熱源密度函數(shù)。

4.2 光強(qiáng)與熱功率密度

激光二極管輸出光的光場(chǎng)分布可以假定為基模高斯分布,對(duì)于圓柱形晶體,基模高斯光在晶體空間中沿著平行于z軸方向傳播時(shí),不同位置處的光場(chǎng)振幅大小服從下面的指數(shù)函數(shù):

I(r,z)=

(9)

其中,l為增益介質(zhì)長(zhǎng)度;α為增益介質(zhì)對(duì)泵浦光的吸收系數(shù);ω(z)2為距離增益介質(zhì)端面z處的泵浦光光斑半徑。上式為歸一化后的分布。

晶體吸收的泵浦光會(huì)有部分轉(zhuǎn)換成熱,影響晶體的熱分布,基于晶體對(duì)泵浦光的吸收,晶體內(nèi)的熱源qv表達(dá)式為:

exp(-αz)

(10)

其中,Pph=Pin·η·[1-exp(-αl)]為致熱功率,激光增益介質(zhì)吸收的泵浦光能量轉(zhuǎn)化為熱能的比例系數(shù)為η,注入激光晶體的泵浦光功率為Pin。若將上述公式改為笛卡爾坐標(biāo)系下,則光強(qiáng)為:

exp(-αz),0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤l

(11)

則介質(zhì)內(nèi)部熱密度函數(shù)表達(dá)式如下所示:

exp(-αz),0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤l

(12)

其中,η=1-qe·λp/λl,η是熱轉(zhuǎn)換系數(shù),即晶體吸收功率轉(zhuǎn)換為熱負(fù)載的比例;λp為泵浦波長(zhǎng);λl為激光波長(zhǎng);qe為量子效率由晶體摻雜濃度決定;ωP為泵浦光束腰位置處光斑大小;在熱功率密度的求解過程中涉及到的多個(gè)變量成為了影響熱效應(yīng)方程的關(guān)鍵因素,其中,ωP,α,η等的取值都對(duì)熱功率密度有不同程度的影響,激光晶體的熱導(dǎo)率K的取值也對(duì)激光晶體內(nèi)的溫度梯度變化有很大影響[28]。在計(jì)算過程中,選擇這些因素較為準(zhǔn)確的值,來提高結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4.3 邊界條件

創(chuàng)建合理的邊界條件才能準(zhǔn)確反映出晶體內(nèi)部溫度場(chǎng)分布。熱傳導(dǎo)方程的邊界條件一般分為三類。選擇哪一類要視具體問題而定。

1)第一類邊界條件

在熱力學(xué)中,所求的溫度在邊界上的值是已知的或給定的,是一個(gè)恒定參考溫度。此邊界條件也稱為狄利克雷(Dirichlet)條件。

2)第二類邊界條件

該邊界條件是對(duì)周圍介質(zhì)的對(duì)流換熱,所求溫度沿著邊界的外法向量方向的變化率是已知的。此邊界條件也稱為紐曼(Neumann)條件。

3)第三類邊界條件

這個(gè)邊界條件叫對(duì)流邊界條件,邊界表面有流體沿著邊界表面流過,這種行為叫做受迫對(duì)流,此邊界條件也稱為洛平(Robin)條件。

固體激光器中激光介質(zhì)的邊界條件屬于熱對(duì)流問題,即物體在導(dǎo)熱時(shí),某一端與空氣接觸而自發(fā)冷卻,晶體表面的熱量隨周圍空氣或水的流動(dòng)而發(fā)生變化,熱量的流動(dòng)導(dǎo)致形成熱對(duì)流。這種物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律為牛頓冷卻定律:

(13)

其中,k為物質(zhì)的熱傳導(dǎo)系數(shù);h為物質(zhì)與空氣或冷卻液的熱交換系數(shù);T′為空氣或冷卻液的溫度。也就是說邊界處溫度梯度我們可以通過對(duì)流傳熱來給出線索,這個(gè)關(guān)系式包含了在邊界處的溫度及其溫度梯度。

邊界條件直接影響增益介質(zhì)內(nèi)的溫度分布,不同的冷卻方式或不同形狀的增益介質(zhì)有不同的邊界條件。因此對(duì)邊界條件的求解也比較復(fù)雜,在以前的許多研究中,大多數(shù)情況下對(duì)邊界條件的討論都是假設(shè)激光晶體為側(cè)面恒溫、端面絕熱。這樣的假設(shè)雖然可以簡(jiǎn)化計(jì)算,但并不符合實(shí)際情況。激光二極管泵浦的固體激光器的激光介質(zhì)結(jié)構(gòu)主要有棒狀和矩形,為了更準(zhǔn)確的分析熱透鏡效應(yīng)對(duì)增益介質(zhì)的影響,我們分別對(duì)這兩種結(jié)構(gòu)的邊界條件進(jìn)行分析。

針對(duì)圓柱形的激光晶體,假設(shè)晶體棒側(cè)面通水冷,保持恒溫;晶體棒兩端和空氣對(duì)流換熱[29]:

T(r,z)=Tw

(14)

(15)

(16)

側(cè)面熱交換,端面對(duì)流的邊界條件為[30]:

(17)

(18)

(19)

(20)

激光介質(zhì)與冷卻水之間的熱傳導(dǎo)系數(shù)表示為h1,激光介質(zhì)與空氣之間的熱對(duì)流系數(shù)表示為h2,Tw為水冷溫度,T0為室溫。

針對(duì)長(zhǎng)方形激光晶體,假設(shè)塊體晶體的四個(gè)側(cè)面保持恒定溫度Tw,晶體的兩個(gè)端面與環(huán)境空氣交換熱量,邊界條件如下:

T(0,y,z)=Tw

(21)

T(a,y,z)=Tw

(22)

T(x,b,z)=Tw

(23)

T(x,0,z)=Tw

(24)

(25)

(26)

但實(shí)際四個(gè)側(cè)面也有對(duì)流冷卻機(jī)制,因此假設(shè)六個(gè)側(cè)面都有對(duì)流冷卻機(jī)制。這種情況下,晶體通過空氣對(duì)流機(jī)制或與冷卻系統(tǒng)接觸來冷卻。根據(jù)冷卻系統(tǒng)的不同,端面和側(cè)面的邊界條件不同。這種情況是最真實(shí)普遍的情況,與側(cè)面恒溫的情況相比,各向異性立方晶體的溫度分布可以精確表示,邊界條件采用以下形式:

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

4.4 熱透鏡焦距的計(jì)算

激光晶體內(nèi)部熱量堆積產(chǎn)生的熱效應(yīng)包括溫度梯度、熱應(yīng)力雙折射和端面形變這三個(gè)方面。這三種因素對(duì)增益介質(zhì)都產(chǎn)生了不同的熱焦距,為了進(jìn)行有針對(duì)性的熱透鏡補(bǔ)償措施,需要對(duì)不同因素下產(chǎn)生的熱焦距進(jìn)行計(jì)算和測(cè)量。激光晶體等效為一個(gè)焦距為f透鏡,由于晶體熱效應(yīng)的影響,透鏡中心處的光程與距離透鏡中心r處的光程會(huì)存在一個(gè)差值OPD:

(33)

(34)

空間分辨光程差用來在泵浦光斑半徑范圍內(nèi)確定熱焦距,因此求熱焦距可以轉(zhuǎn)化為求光程差。光程差越大,熱焦距越小,熱效應(yīng)越嚴(yán)重。

在考慮溫度梯度、表面變形和應(yīng)力雙折射的情況下,確定了折射率的變化。折射率是溫度的函數(shù),溫度梯度導(dǎo)致不同光線的光程長(zhǎng)度不同。其次溫度分布對(duì)材料的力學(xué)性能有影響,材料較冷的外部部分阻止了較熱的中心部分的膨脹。最后,假設(shè)在熱沉積材料的內(nèi)部考慮一個(gè)小的單位體積元,由于膨脹,周圍的物質(zhì)對(duì)這種元件的表面施加了力,單位面積上的這些力稱為“應(yīng)力”,用一個(gè)二階張量εij表示,則泵浦光通過激光晶體產(chǎn)生的光程差的表達(dá)式為:

(35)

其中,dn/dT是熱光系數(shù);n是晶體在室溫下的折射率;v是泊松比;αT是熱膨脹系數(shù),一般情況下,應(yīng)力雙折射的影響比較小,可以忽略。對(duì)于不同的激光介質(zhì),三種因素對(duì)熱透鏡效應(yīng)的貢獻(xiàn)也不同,還要根據(jù)激光介質(zhì)的種類,形狀,泵浦方式等來確定主導(dǎo)因素。

4.4.1 晶體溫度梯度所引起的熱透鏡效應(yīng)

限制激光器功率縮放的主要問題是晶體內(nèi)部所產(chǎn)生的熱量在增益介質(zhì)內(nèi)引起溫度分布不均勻,導(dǎo)致諧振器不穩(wěn)定,限制了最大輸出功率,影響激光輸出。隨后冷卻具有相關(guān)熱梯度的晶體介質(zhì)將導(dǎo)致折射率的熱誘導(dǎo)變化。其熱聚焦性質(zhì)由光束通過整個(gè)激光棒所引起的相位差Δφ決定的。與熱焦距的關(guān)系為:

(36)

式中,K′為振蕩光波數(shù)。折射率隨溫度變化導(dǎo)致熱誘導(dǎo)相移,振蕩光單程通過激光晶體時(shí)積累在r處的總相位移:

(37)

式中,l為激光晶體的長(zhǎng)度;Δn(r,z)為熱致折射率的改變量;r為與軸心位置的距離,且:

(38)

熱致折射率隨著溫度變化率dn/dT若為正值晶體的熱透鏡可近似看作正透鏡,若為負(fù)值,晶體的熱透鏡可近似看作負(fù)透鏡。其中ΔT(r,z)為L(zhǎng)D端面泵浦固態(tài)激光器的溫差:

(39)

其中,K為晶體熱導(dǎo)率;Pph=Pinη為泵浦光功率的致熱功率;T0為激光晶體側(cè)面的溫度。由溫度梯度引起的OPD(光程差)可以表示為:

(40)

經(jīng)上述分析,以晶體中心為參考點(diǎn),可得到由于溫度梯度所引起的晶體熱透鏡的表達(dá)式:

(41)

其中,ωp為泵浦光經(jīng)耦合透鏡后的束腰半徑,對(duì)于各項(xiàng)異性的晶體,由于三個(gè)晶軸的各向熱學(xué)異性;K在三個(gè)晶軸上的取值不同,表現(xiàn)出來的熱透鏡效應(yīng)也不同。

4.4.2 晶體熱應(yīng)力雙折射所引起的熱透鏡效應(yīng)

泵浦光抽運(yùn)時(shí),激光晶體內(nèi)部熱量分布不均,形成溫度梯度,晶體內(nèi)部產(chǎn)生膨脹,進(jìn)而產(chǎn)生熱應(yīng)力導(dǎo)致晶體內(nèi)部折射率變化。在熱透鏡和熱應(yīng)力的雙重作用下,晶體由各項(xiàng)同性變?yōu)楦飨虍愋?從而產(chǎn)生應(yīng)力雙折射效應(yīng)[31]。應(yīng)力誘導(dǎo)熱透鏡顯示不同的切向偏振和徑向偏振焦距,這種效應(yīng)被稱為雙折射。LD端面泵浦固態(tài)激光器的溫差為:

(42)

熱應(yīng)力引起激光晶體內(nèi)部折射率的變化為:

(43)

其中,Cr,φ為晶體棒的徑向、切向彈性系數(shù);r0為晶體棒半徑。由上述式子可以得到:

(44)

經(jīng)過上述分析,可以得到由晶體內(nèi)部熱應(yīng)力所造成的熱透鏡焦距為:

(45)

4.4.3 晶體端面形變所引起的熱透鏡效應(yīng)

另一種不是由折射率的變化引起的,而是對(duì)整個(gè)熱透鏡有影響的效應(yīng)稱為“端面效應(yīng)”。激光晶體端面因?yàn)橹苯邮鼙闷止庹丈?能量密度極大,晶體受熱不均,很容易在端面位置處發(fā)生形變。由端面形變產(chǎn)生的熱焦距可確定為:

(46)

三種熱焦距組合得到總的熱透鏡焦距為:

(47)

此外,在不同條件下,如增益介質(zhì)不同或泵浦方式不同時(shí),三種因素的貢獻(xiàn)程度也不同。因此,具體熱焦距的大小還要根據(jù)實(shí)際情況確定。

5 總 結(jié)

本文針對(duì)輸出2 μm波段的單摻銩固體激光器熱效應(yīng)進(jìn)行研究,首先介紹了三種常用單摻銩晶體的性質(zhì),從晶體性質(zhì)方面分析了其產(chǎn)生熱效應(yīng)的難易程度。之后從產(chǎn)熱原因建立簡(jiǎn)單模型和表達(dá)式分析熱效應(yīng)如何影響激光器運(yùn)行以及減小熱效應(yīng)的措施等方面,歸納了國(guó)內(nèi)外基于各種基質(zhì)的單摻銩固體激光器熱效應(yīng)的研究成果。同時(shí)考慮了固體激光器熱透鏡效應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程及其邊界條件,分析了端面抽運(yùn)各向異性與各項(xiàng)同性的棒狀或方形的單摻Tm激光介質(zhì)的溫度分布。最后對(duì)影響熱透鏡效應(yīng)的三種不同因素產(chǎn)生的熱焦距進(jìn)行理論分析。

通過討論得知由于銩為準(zhǔn)三能級(jí)結(jié)構(gòu),因此存在激光輸出性能受溫度影響大的問題,對(duì)于不同的摻銩增益晶體,三種影響因素對(duì)熱透鏡的貢獻(xiàn)也有不同。為了有效地提高激光輸出功率、改善光束質(zhì)量,我們?nèi)孕枰^續(xù)尋找減小晶體熱效應(yīng)的有效措施。除了通過目前所采取的合理設(shè)計(jì)腔參數(shù)及腔結(jié)構(gòu)、使用鍵合晶體、選擇合適的激光工作物質(zhì)的形狀、改善熱管理等方式來減小熱效應(yīng)外,我們還可以通過優(yōu)化泵浦冷卻結(jié)構(gòu),尋找新型工作介質(zhì),改善摻雜基質(zhì)的光學(xué)物理性能或者采取更優(yōu)的泵浦方式等來減小固體激光器晶體熱效應(yīng),提高單摻銩固體激光器的性能,從而滿足不同的應(yīng)用需求。