等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力分析*

張 俊,劉天宋

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 常州劉國鈞分院,江蘇 常州 213000)

0 引言

等截面四點(diǎn)接觸球軸承是先進(jìn)制造業(yè)中的重要零件,起到兩部件之間旋轉(zhuǎn)和傳遞載荷的作用,由滾動(dòng)體、內(nèi)圈、外圈和保持架等部件組成 ,可同時(shí)承受軸向力、徑向力、傾覆力矩的綜合載荷,廣泛用于精密儀器、機(jī)床、工程機(jī)械、工業(yè)機(jī)械人等領(lǐng)域。隨著先進(jìn)制造業(yè)的高速發(fā)展,各行各業(yè)對等截面四點(diǎn)接觸球軸承的承載能力和可靠性提出了更高的要求[1-2]。

在等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力研究方面,國內(nèi)外學(xué)者通過對一些條件進(jìn)行簡化設(shè)置,建立靜力學(xué)模型,計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況存在一些誤差,但可用于等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力研究。軸承靜力學(xué)分析是以Hertz接觸理論作為基礎(chǔ)理論,為軸承的設(shè)計(jì)和分析提供理論支撐。軸承解析計(jì)算通常將內(nèi)圈和外圈假設(shè)成剛性體,變形僅發(fā)生在滾動(dòng)體與滾道接觸區(qū)域,運(yùn)用赫茲接觸理論求解接觸區(qū)域的力學(xué)特性分析[3]。當(dāng)赫茲接觸理論假設(shè)不滿足時(shí),解析解應(yīng)用的范圍和精度受較大影響,理論結(jié)果與實(shí)際工程情況存在誤差,例如:球式軸承滾球與滾道半徑相差小,不滿足非協(xié)調(diào)性接觸假設(shè)等。

數(shù)值計(jì)算模型能夠有效解決赫茲接觸理論帶來的誤差,而且可以考慮更多的影響因素,計(jì)算精度和效率高,但是數(shù)值計(jì)算模型不同,參數(shù)設(shè)置、網(wǎng)格大小、算法等對計(jì)算結(jié)果影響不同,需要進(jìn)行模型驗(yàn)證。羅繼偉等[4]運(yùn)用赫茲接觸理論求解圓錐滾子軸承滾子與滾道接觸區(qū)域的接觸應(yīng)力。吳飛科等[5]建立數(shù)值模型分析不同滾道曲率系數(shù)對點(diǎn)接觸類型滾動(dòng)軸承的影響。Houpert[6]對不同軸承受力模型進(jìn)行分析,提出滾動(dòng)體計(jì)算的新方法,但對深溝球軸承及內(nèi)圈和外圈不重合的球軸承無法使用。尚振國等[7]建立軸承有限元模型,材料設(shè)置為彈性和彈塑性兩種,研究不同材料參數(shù)的滾動(dòng)體與滾道接觸受載后的變形情況。Khonsari等[8]建立滾球與平板接觸有限元模型,將接觸區(qū)域應(yīng)力分布與赫茲接觸理論結(jié)果進(jìn)行對比,計(jì)算結(jié)果對比顯示兩者誤差小。Pandiyarajan等[9]建立大直徑球軸承接觸有限元模型,分析滾球與滾道接觸區(qū)域的應(yīng)力分布和變形。

解析計(jì)算方法和數(shù)值計(jì)算方法對等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力計(jì)算結(jié)果不同,計(jì)算結(jié)果誤差大。本文根據(jù)赫茲接觸理論提出一種數(shù)值模型驗(yàn)證方法,排除數(shù)值模型設(shè)置對計(jì)算結(jié)果的干擾,提高數(shù)值模型精度。運(yùn)用驗(yàn)證過的數(shù)值模型進(jìn)行等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力分析,提高等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力計(jì)算的精度和效率,對等截面四點(diǎn)接觸球軸承設(shè)計(jì)人員結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供重要參考,對工程實(shí)際應(yīng)用具有重要意義。

1 等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力理論計(jì)算

1.1 等截面四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)尺寸

本文以等截面四點(diǎn)接觸球軸承作分析,單個(gè)滾球與內(nèi)圈和外圈有四個(gè)接觸點(diǎn),如圖1所示,虛線為滾球與滾道接觸點(diǎn)連線,而且外徑與內(nèi)徑比值小,滾球直徑小且數(shù)量多,橫截面和重量一般約為相同內(nèi)徑的標(biāo)準(zhǔn)軸承的20%和5%,可同時(shí)承受軸向力、徑向力和傾覆力矩的聯(lián)合作用,整體結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1所示。等截面四點(diǎn)接觸球軸承的滾球、內(nèi)圈和外圈材料均為GCr15軸承鋼,其彈性模量為207000 MPa,泊松比0.3。等截面四點(diǎn)接觸球軸承與深溝球軸承裝配方式相同,滾球個(gè)數(shù)z的約束函數(shù)[10]:

表1 等截面四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)尺寸

圖1 等截面四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)圖

(1)

式中:Dw-滾球直徑,Dwp-滾道直徑,φmin-最小填球角,φmax-最大填球角。

軸承滾球個(gè)數(shù)z一般為基數(shù),根據(jù)公式(1)和等截面四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù),本文選擇滾球個(gè)數(shù)z為45。

當(dāng)軸向力單獨(dú)作用在等截面四點(diǎn)接觸球軸承滾球與滾道時(shí),各滾球受載相同,如圖2(a)所示,每個(gè)滾球與滾道的接觸載荷Pa為:

(2)

在圓周上徑向力對滾動(dòng)體產(chǎn)生最大接觸載荷Q0的角度位置設(shè)為φ0=0,如圖2(b)所示。處于φ角度位置滾球承受徑向接觸載荷可表示為:

Fr=[Q0+2∑(Pφcosφ)]·cosα,其中φ≤π/2

(3)

處于φ角度位置滾柱承受徑向接觸載荷可表示為:

Fr=Q0+2∑(Qφcosφ),其中φ≤π/2

(4)

(5)

(6)

滾球徑向載荷表示為:

(7)

當(dāng)傾覆力矩單獨(dú)作用在等截面四點(diǎn)接觸球軸承滾球與滾道時(shí),如圖2(c)所示,忽略接觸角影響,假定接觸變形只發(fā)生在滾球的豎直方向。傾覆力矩單獨(dú)作用下滾動(dòng)體豎直方向最大變形量為δmax,則δφ=δmaxcosφ,正壓力的豎直分量對Y坐標(biāo)產(chǎn)生的力矩為:

(8)

(9)

在角度φ處單位弧長上的載荷PM為:

(10)

當(dāng)?shù)冉孛嫠狞c(diǎn)接觸球軸承同時(shí)承受軸向力和傾覆力矩作用時(shí),運(yùn)用載荷疊加法獲得等截面四點(diǎn)接觸球軸承滾球與滾道受載后最大接觸載荷Qmax為[11]:

(11)

根據(jù)表1中等截面四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)及公式(11),獲得滾球與滾道最大接觸載荷為1769 N,后續(xù)將用于滾球與滾道局部有限元模型中。

1.2 等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力理論計(jì)算

軸承求解力學(xué)性能的經(jīng)典方法是赫茲接觸理論,赫茲接觸理論做了以下假設(shè):滾球垂直作用于滾道,接觸區(qū)域僅發(fā)生彈性變形,忽略滾球與滾道間摩擦[12-14]。赫茲接觸理論計(jì)算滾球與滾道接觸長短半軸和最大接觸應(yīng)力如下[15-16]:

(12)

(13)

(14)

式中:a-接觸區(qū)域長半軸長,a*-赫茲接觸系數(shù),b-接觸區(qū)域短半軸長,b*-赫茲接觸系數(shù),E-彈性模量,Q-接觸載荷,u-泊松比,∑ρ-曲率和。

根據(jù)表1中等截面四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)及式(11)、式(12)、式(13)和式(14),查《球軸承的設(shè)計(jì)計(jì)算》[17]表獲得滾球與滾道最大接觸應(yīng)力為4005.2 MPa,接觸區(qū)域長半軸長0.58306 mm,短半軸長0.36187 mm。

2 等截面四點(diǎn)接觸球軸承局部承載能力數(shù)值計(jì)算

2.1 等截面四點(diǎn)接觸球軸承數(shù)值模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證等截面四點(diǎn)接觸球軸承有限元模型精度,在保證模型計(jì)算精度的情況下減少有限元模型的網(wǎng)格數(shù)量,選取1/4滾球和滾道模型,如圖3所示,截取部分滾球和滾道。滾道底面約束全部自由度,滾球保留X方向平移自由度和Y方向平移自由度,其他自由度被約束。在實(shí)際工況中,當(dāng)?shù)冉孛嫠狞c(diǎn)接觸球軸承受載后,滾球往滾道邊緣移動(dòng),接觸角發(fā)生變化,滾球上的載荷不垂直于滾道,不滿足赫茲接觸理論中載荷垂直施加在接觸表面的假設(shè),因此,赫茲接觸理論不能直接驗(yàn)證等截面四點(diǎn)接觸球軸承局部接觸有限元模型的計(jì)算結(jié)果。為了解決上述問題,在滾球上施加與初始接觸角方向相同的載荷F,保證滾球與滾道之間始終垂直接觸,如圖4所示,這樣等截面四點(diǎn)接觸球軸承局部接觸有限元模型滿足赫茲接觸理論假設(shè),驗(yàn)證滾球與滾道局部接觸有限元模型的有效性。

圖3 滾球與滾道接觸局部有限元模型

圖4 滾球與滾道接觸局部有限元驗(yàn)證模型

為了驗(yàn)證滾球與滾道接觸局部有限元模型的有效性,對赫茲接觸理論計(jì)算結(jié)果和滾球與滾道接觸局部有限元驗(yàn)證模型結(jié)果進(jìn)行對比,以赫茲接觸理論為基準(zhǔn),采用圖4中載荷施加方式,使?jié)L球載荷垂直于滾道,滿足赫茲接觸理論假設(shè)。選擇滾球與滾道接觸區(qū)域的不同有限元網(wǎng)格尺寸,MS 0.04(網(wǎng)格尺寸0.04 mm)、MS 0.06(網(wǎng)格尺寸0.06 mm)、MS 0.08(網(wǎng)格尺寸0.08 mm)、MS 0.10(網(wǎng)格尺寸0.10 mm)、MS 0.12(網(wǎng)格尺寸0.12 mm)。如圖5(a)所示,當(dāng)有限元網(wǎng)格尺寸由大變小過程中,滾道上的等效應(yīng)力逐漸變大。如圖5(b)所示,當(dāng)有限元網(wǎng)格尺寸由大變小過程中,最大接觸應(yīng)力的波動(dòng)由劇烈變平緩,與赫茲接觸理論獲得的最大接觸應(yīng)力值誤差逐漸變小,當(dāng)有限元網(wǎng)格尺寸為0.04 mm模型的誤差為3.201%。如圖5(c)所示,對比接觸區(qū)域面積,當(dāng)有限元網(wǎng)格尺寸為0.04 mm模型的誤差為5.702%,誤差在可接受范圍[18],有限元模型中網(wǎng)格尺寸為0.04 mm時(shí)對有限元計(jì)算結(jié)果的影響較小,所以最終滾球與滾道接觸區(qū)域有限元網(wǎng)格尺寸為0.04 mm,用于后續(xù)承載能力分析,選取有限元網(wǎng)格尺寸大小與王大力等[19]和Satyanarayana等[20]的研究分析相吻合。

圖5 滾球與滾道接觸局部有限元驗(yàn)證模型結(jié)果

2.2 等截面四點(diǎn)接觸球軸承局部承載能力數(shù)值計(jì)算

當(dāng)?shù)冉孛嫠狞c(diǎn)接觸球軸承正常工作時(shí),滾球與滾道載荷施加形式如圖3所示。如圖6(a)所示,滾球與滾道局部接觸區(qū)域的最大等效應(yīng)力為2133 MPa,最大等效應(yīng)力位置位于滾球與滾道接觸區(qū)域的表面下方。如圖6(b)所示,在滾球與滾道接觸有限元模型中,滾道表面接觸應(yīng)力最大值為3443 MPa,接觸區(qū)域形狀類似于橢圓形,而在2.2節(jié)中,通過赫茲接觸理論計(jì)算的滾球與滾道最大接觸應(yīng)力為4005.2 MPa,兩者誤差為14.04%。影響等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載性能的重要參數(shù)之一是接觸角,從滾道圓弧中點(diǎn)到滾道最大等效應(yīng)力點(diǎn)連線,與水平夾角為接觸角,當(dāng)空載時(shí)滾道與滾動(dòng)體之間屬于點(diǎn)接觸,隨著載荷的增加,滾道與滾球接觸區(qū)域變?yōu)槊娼佑|時(shí),等效應(yīng)力最大的地方發(fā)生變化。如圖6(c)所示,滾球與滾道接觸模型受載后接觸角為45.52°,與初始接觸角45°不同,所以,對于等截面四點(diǎn)接觸球軸承不滿足赫茲接觸理論假設(shè),不能直接通過赫茲接觸理論對數(shù)值模型進(jìn)行驗(yàn)證。

圖6 滾球與滾道接觸局部有限元模型結(jié)果

3 等截面四點(diǎn)接觸球軸承整體承載能力數(shù)值分析

3.1 等截面四點(diǎn)接觸球軸承整體有限元

等截面四點(diǎn)接觸球軸承尺寸大,滾動(dòng)體數(shù)目多,整體有限元模型不僅花費(fèi)大量建模時(shí)間,而且計(jì)算時(shí)間長,接觸對數(shù)量多,計(jì)算收斂難度大,對計(jì)算設(shè)備要求高。使用非線性結(jié)構(gòu)代替滾動(dòng)體,模擬滾道與滾球之間的接觸行為,可大幅縮小等截面四點(diǎn)接觸球軸承有限元模型的規(guī)模和計(jì)算時(shí)間,降低計(jì)算難度。根據(jù)赫茲接觸理論,等截面四點(diǎn)接觸球軸承中滾球與滾道載荷-變形可描述為:

(15)

式中:K-剛度系數(shù),Q-接觸載荷,δ-變形量。

K的數(shù)值由等截面四點(diǎn)接觸球軸承滾道直徑、滾球直徑、滾道曲率半徑和材料特性確定,根據(jù)參考文獻(xiàn)[17]所提供的計(jì)算方法以及相關(guān)參數(shù),K取值446961 N/mm。根據(jù)圖1和表1的結(jié)構(gòu)和參數(shù)在ABAQUS/CAE中建立等截面四點(diǎn)接觸球軸承數(shù)值模型。采用Partition功能菜單,對內(nèi)外圈進(jìn)行分區(qū)切割,滾道上網(wǎng)格尺寸為0.05 mm,單元形狀為Hex六面體單元,結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格,網(wǎng)格劃分算法為Medial Axis中性軸算法,單元類型選擇C3D8I,如圖7(a)所示。等截面四點(diǎn)接觸球軸承內(nèi)圈全固定,外圈上表面與參考點(diǎn)RP-1運(yùn)動(dòng)耦合(Kinematic coupling),約束X軸和Y軸方向的移動(dòng)及X軸和Y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng),表1中的載荷施加在參考點(diǎn)RP-1,如圖7(b)所示。在Interaction接觸功能模塊中,彈簧/阻尼器菜單中選取兩點(diǎn)連接方式創(chuàng)建線性彈簧,彈簧的連接端點(diǎn)對應(yīng)滾球與滾道的接觸點(diǎn),利用非線性彈簧代替滾球,兩對非線性彈簧表示一個(gè)滾球,如圖7(c)所示。

圖7 等截面四點(diǎn)接觸球軸承整體有限元模型結(jié)果

3.2 等截面四點(diǎn)接觸球軸承整體承載能力數(shù)值計(jì)算

將圖2(b)中角度φ根據(jù)滾球個(gè)數(shù)等分獲得不同滾球所處位置,代入公式(3)獲得各滾球所受的傾覆力矩,與公式(2)軸向力疊加,獲得每個(gè)滾球所受的載荷,如圖8所示。這個(gè)結(jié)果為解析結(jié)果,內(nèi)外圈假設(shè)為剛體,僅滾球與滾道接觸區(qū)域發(fā)生變形。提取等截面四點(diǎn)接觸球軸承整體有限元模型中彈簧上的載荷,獲得各滾球所受載荷。滾球受壓,所以載荷為負(fù)值。如圖8所示,等截面四點(diǎn)接觸球軸承解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果的載荷分布趨勢相同,數(shù)值結(jié)果大于解析結(jié)果,這是由于數(shù)值模型中的內(nèi)外圈為彈性體,受載后發(fā)生變形。如表2所示,如果以解析結(jié)果為基礎(chǔ),數(shù)值結(jié)果對比的誤差為15%,在允許誤差范圍內(nèi)[18]。等截面四點(diǎn)接觸球軸承整體有限元模型變形如圖9所示,在內(nèi)圈固定的情況下,載荷施加在外圈上端面,所以變形發(fā)生在外圈。根據(jù)公式(2)和公式(3)及表1的數(shù)據(jù)可知,各滾子所受的軸向力遠(yuǎn)大于傾覆力矩,所以外圈各處未出現(xiàn)明顯扭轉(zhuǎn)。

表2 各模型求解最大接觸載荷對比

圖8 等截面四點(diǎn)接觸球軸承整體有限元模型結(jié)果與解析結(jié)果對比

圖9 等截面四點(diǎn)接觸球軸承整體有限元模型變形圖

等截面四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)尺寸大,套圈的抗變形能力不易保證,部分學(xué)者認(rèn)為許用接觸應(yīng)力應(yīng)取低一些,國際上軸承廠家基本上取萬分之一滾動(dòng)體直徑變形時(shí)的接觸應(yīng)力為最大接觸應(yīng)力,ISO國際標(biāo)準(zhǔn)和ANSI美國國家標(biāo)準(zhǔn)[21]給出不同類型軸承滾動(dòng)體直徑萬分之一永久變形的接觸應(yīng)力,點(diǎn)接觸形式最大接觸應(yīng)力為4200 MPa。滾道靜承載能力以滾動(dòng)體允許的最大變形時(shí)接觸應(yīng)力與許用接觸應(yīng)力的比值來衡量,因此,用靜態(tài)安全系數(shù)來衡量等截面四點(diǎn)接觸球軸承滾道靜承載能力。等截面四點(diǎn)接觸球軸承安全系數(shù)計(jì)算公式為:

(16)

式中:fs-安全系數(shù),σmax-滾球與滾道接觸應(yīng)力,[σmax]-滾球與滾道許用接觸應(yīng)力。

等截面四點(diǎn)接觸球軸承靜載荷安全系數(shù)fs一般大于1.5,根據(jù)滾球與滾道接觸強(qiáng)度的安全系數(shù)為1.82,說明在最大載荷條件下,其強(qiáng)度可以保證等截面四點(diǎn)接觸球軸承主機(jī)的使用性能要求。

4 結(jié)論

本文通過對等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力進(jìn)行分析,建立接觸滾球與滾道有限元驗(yàn)證模型,與赫茲接觸理論通過最大接觸應(yīng)力和接觸面積對比分析,運(yùn)用驗(yàn)證過的滾球與滾道接觸有限元模型進(jìn)行承載能力分析,結(jié)論如下:軸承局部接觸有限元模型中,大尺寸有限元網(wǎng)格尺寸模型計(jì)算結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小尺寸有限元網(wǎng)格模型,對等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力分析影響大。在等截面四點(diǎn)接觸球軸承正常工況時(shí),由于滾球與滾道之間接觸角發(fā)生較大變化,不滿足赫茲接觸理論中載荷垂直施加在滾道上的假設(shè),不能用于局部接觸有限元結(jié)果驗(yàn)證。等截面四點(diǎn)接觸球軸承整體數(shù)值模型內(nèi)外圈設(shè)置為彈性體,所以計(jì)算結(jié)果大于解析結(jié)果。通過對等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力的研究,一方面提高等截面四點(diǎn)接觸球軸承承載能力的計(jì)算精度和有效性,另一方面有利于降低等截面四點(diǎn)接觸球軸承有限元模型的規(guī)模,提高等截面四點(diǎn)接觸球軸承計(jì)算分析的效率,為等截面四點(diǎn)接觸球軸承設(shè)計(jì)人員計(jì)算校核承載能力和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供重要參考。