蝸桿砂輪磨削齒面紋理主動(dòng)調(diào)控方法研究＊

田曉青 武眾磊 唐建平 游通飛 韓 江 夏 鏈

（①合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；安徽省智能數(shù)控技術(shù)及裝備工程實(shí)驗(yàn)室（合肥工業(yè)大學(xué)），安徽 合肥 230009）

齒輪是人類社會(huì)生產(chǎn)生活過(guò)程中重要的基礎(chǔ)零件，隨著工業(yè)的不斷發(fā)展，對(duì)齒輪的要求越來(lái)越高，齒輪傳動(dòng)朝著更加精密、更加低噪和更加高效的方向發(fā)展。在新能源汽車迅速發(fā)展的今天，齒輪噪聲嚴(yán)重影響了傳動(dòng)效率和駕駛體驗(yàn)，低噪聲意味著更強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)力。Hansen B 等[1]研究表明，幾何精度高的齒輪依然存在高噪聲的情況。1992 年，Mark W D[2]的研究結(jié)果表明齒輪齒面的波動(dòng)誤差會(huì)影響斜齒輪的傳動(dòng)誤差，從而增大了齒輪噪聲的強(qiáng)度。Amini N 等[3-4]發(fā)現(xiàn)在齒輪嚙合的軌跡上存在著規(guī)則且有周期性的齒面細(xì)微結(jié)構(gòu)，容易生成聚集在齒輪嚙合頻率及其諧頻帶上的噪聲，由實(shí)驗(yàn)證明齒輪噪聲與齒面細(xì)微結(jié)構(gòu)有關(guān)。已有的研究表明齒輪噪聲的激勵(lì)源主要來(lái)自齒輪沖擊、傳動(dòng)誤差和摩擦等[5]。齒輪的表面形貌，包括粗糙度、波紋度和紋理等表面微結(jié)構(gòu)決定齒輪噪聲激勵(lì)源也已成為普遍共識(shí)。然而，傾斜不規(guī)則紋理的生成方法在行業(yè)中是高度機(jī)密，還未公開(kāi)。因此，研究齒面紋理的主動(dòng)控制有重要意義。

常見(jiàn)的改變齒面紋理的方法有改變加工的某些工藝參數(shù)和增加刀具運(yùn)動(dòng)軸附加量。Jolivet S 等[6]通過(guò)試驗(yàn)證明了齒面波長(zhǎng)與實(shí)際的加工方式有關(guān)，與波長(zhǎng)單一的齒面形貌相比，具有混合波長(zhǎng)的齒面形貌可以降低齒面缺陷的影響，傾斜且不規(guī)則的齒面紋理更有利于齒輪的嚙合。Schenk T 等[7]通過(guò)設(shè)計(jì)一種高性能珩磨輪，研究了切削速度和軸交角的關(guān)系，獲得珩削齒面紋理分布與齒輪中心距和軸交角的關(guān)系。楊樹(shù)峰等[8]通過(guò)滾磨光整加工工藝顯著降低弧齒錐齒輪表面粗糙度，降低了錐軸齒面粗糙度和錐盤粗糙度值，顯著提高了齒面紋理的一致性，便于弧齒錐齒輪的振動(dòng)和噪聲特性的研究。李國(guó)龍等[9]通過(guò)研究磨齒的磨削特性對(duì)齒面細(xì)微結(jié)構(gòu)的作用效果，對(duì)加工過(guò)程中的沖程速度施加正弦函數(shù)，加工出分布不規(guī)則的磨齒齒面紋理。韓江等[10]通過(guò)內(nèi)嚙合強(qiáng)力珩齒工藝，研究了中心距和軸交角對(duì)珩齒齒面紋理的影響，實(shí)現(xiàn)了珩齒加工工件齒面紋理的主動(dòng)控制。瑞士的制造商Reishauer[11]在磨齒加工中采用低噪聲偏移技術(shù)，對(duì)機(jī)床加工軸附加運(yùn)動(dòng)，生成了傾斜且不規(guī)則的紋理，具有較好的降噪效果。

目前國(guó)內(nèi)對(duì)磨齒紋理的研究比較少，磨齒齒面紋理的調(diào)整還未找到有效的控制方法。參考上述研究，本文進(jìn)一步研究了磨削過(guò)程中機(jī)床X、Y和Z軸的附加加工運(yùn)動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)齒面紋理的調(diào)整，提出一種基于電子齒輪箱的通過(guò)對(duì)X、Y和Z軸附加運(yùn)動(dòng)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)磨削齒面紋理主動(dòng)調(diào)控的方法。將仿真結(jié)果與國(guó)外尚未披露的方法進(jìn)行比較，證明了本研究的可行性。

1 蝸桿砂輪磨齒和齒面紋理角度建模

齒輪加工機(jī)床采用的是重慶機(jī)床集團(tuán)的YW7232CNC 磨齒機(jī)，主要軸示意圖如圖1 所示。砂輪和齒輪的基本參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 基本參數(shù)

圖1 磨齒機(jī)主要軸示意圖

1.1 齒輪和砂輪模型的建立

圖2 所示為齒輪端截面廓形，以齒輪圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)o建立坐標(biāo)系xoy，豎直向上為x軸正向，水平向右為y軸正向，rb為基圓半徑，σ0為oe與x軸正向夾角，e點(diǎn)為漸開(kāi)線起點(diǎn)，取∠eoa0=(μ>0)為參數(shù)，根據(jù)漸開(kāi)線的性質(zhì)可知：Ma0=rbμ。

圖2 齒輪端截面廓形

以右側(cè)齒面為例，漸開(kāi)線ef的參數(shù)方程為

漸開(kāi)線ef繞著z軸螺旋運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)得到漸開(kāi)線螺旋齒面[12]，公式如下：

式中：θ為漸開(kāi)線繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度，βb為基圓螺旋角。

對(duì) μ 和 θ求偏導(dǎo)后外積可得到曲面的法向量ng(μ,θ)表達(dá)式為

同理可得左齒面的參數(shù)方程以及曲面法向量。

同樣地，可以表示蝸桿砂輪的坐標(biāo)rw(ξ,τ)和法向量nw(ξ,τ)：

式中：ξ和τ為蝸桿砂輪的兩個(gè)參數(shù)；基圓半徑rw為150 mm；p是螺旋參數(shù)，為6.730 mm；?Zw是蝸桿砂輪的齒槽角參數(shù)，為-22.3 mm；βw為砂輪螺旋角，為87.5°。

1.2 蝸桿砂輪磨齒空間坐標(biāo)系的建立

式中：v01為砂輪軸向進(jìn)給速率；v02為砂輪切向進(jìn)給軸進(jìn)給速率；t為加工時(shí)間。

圖3 所示為齒輪和砂輪的空間嚙合坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)與S p(Op-Xp,Yp,Zp)是空間固定坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S1(O1-X1,Y1,Z1)與S2(O2-X2,Y2,Z2)分別與砂輪、齒輪固聯(lián)，Z1軸、Z2軸分別與砂輪、齒輪回轉(zhuǎn)軸線重合，a是中心距，Σ為軸交角，φA、φB、φC、LX、LY、LZ分別表示A軸、B軸、C軸、X軸、Y軸、Z軸的運(yùn)動(dòng)量。

圖3 砂輪、齒輪嚙合坐標(biāo)系

刀具坐標(biāo)系到工件坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣M21：

式中：

M2p、Mp0、M01分別是坐標(biāo)系S p(Op-Xp,Yp,Zp)到坐標(biāo)系S2(O2-X2,Y2,Z2)、坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)到坐標(biāo)系S p(Op-Xp,Yp,Zp)、坐標(biāo)系S1(O1-X1,Y1,Z1)到坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)的變換矩陣。

坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)坐標(biāo)與坐標(biāo)系S1(O1-X1,Y1,Z1)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

設(shè)空間中有一點(diǎn)M（圖3），則有：

M點(diǎn)隨砂輪運(yùn)動(dòng)的速度v1和隨齒輪運(yùn)動(dòng)的速度v2為

式中：ω1為蝸桿砂輪的角速度；ω2為工件齒輪的角速度；兩者均為矢量，其標(biāo)量單位為rad/s。

在S(O-X,Y,Z)坐標(biāo)系下：

在電子齒輪箱[13]中：

式中：z1、z2分別為砂輪頭數(shù)和齒數(shù)；β、λ分別為齒輪螺旋角和刀具安裝角，單位為度；齒輪右旋時(shí)螺旋角為正，左旋時(shí)螺旋角為負(fù)；mn為法面模數(shù)，單位為mm；kB、kZ、kY為系數(shù)常量；砂輪右旋時(shí)kB=1，砂輪左旋時(shí)kB=-1。

當(dāng)v02<0、β>0時(shí)，kZ=1；當(dāng)v02<0、β<0時(shí)，kZ=-1；當(dāng)v02>0、β>0時(shí)，kZ=-1；當(dāng)v02>0、β<0時(shí)，kZ=1；當(dāng)v01>0時(shí)，kY=1；當(dāng)v01<0時(shí)，kY=-1。

砂輪和齒輪在M點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v12為

將式（4）、式（5）、式（8）～式（15）代入式（18）可得

1.3 齒面磨削紋理產(chǎn)生原理及紋理角度的表示

如圖4 所示，蝸桿砂輪相當(dāng)于一個(gè)螺旋角很大的圓柱斜齒輪，在空間中與齒輪嚙合[14]。磨削過(guò)程中，刀具經(jīng)過(guò)滑擦、耕犁和切削3 個(gè)過(guò)程切除材料。與此同時(shí)，會(huì)在齒面上形成一條條接觸跡線，每條接觸跡線上產(chǎn)生一個(gè)個(gè)磨削印痕（圖5）。磨削路徑的方向決定了磨削印痕的方向。理想狀況下，每個(gè)磨削印痕的形狀相同，砂輪與工件的磨削速比vw/vg決定了磨粒的磨削運(yùn)動(dòng)[15]。齒面的磨削紋理由一個(gè)個(gè)磨削印痕相連而成，所以可以通過(guò)控制每個(gè)磨削印痕的導(dǎo)向，即控制每個(gè)磨削印痕與齒向的夾角來(lái)達(dá)到宏觀上控制齒面磨削紋理的目的。

圖4 蝸桿砂輪與齒面示意圖

圖5 齒面磨削印痕示意圖

包絡(luò)齒面坐標(biāo)和法向量在S2(O2-X2,Y2,Z2)坐標(biāo)系中表示為

式中：rw′(ξ,τ,φB,LY,LZ)為蝸桿砂輪在S2(O2-X2,Y2,Z2)下的包絡(luò)齒面坐標(biāo)；nw′(ξ,τ,φB,LY,LZ)為蝸桿砂輪在S2(O2-X2,Y2,Z2)下的包絡(luò)齒面法向矢量；LCB為MCB左上3 ×3 子矩陣。

蝸桿砂輪產(chǎn)生包絡(luò)齒輪的包絡(luò)齒面的必要條件為

如圖6 所示，蝸桿砂輪產(chǎn)生的包絡(luò)齒輪的包絡(luò)齒面與目標(biāo)齒面坐標(biāo)相同，向量方向相反。目標(biāo)齒面法向量ng(ξ,τ,φB,LY,LZ)為

圖6 蝸桿砂輪表面與目標(biāo)齒面示意圖

S1(O1-X1,Y1,Z1)坐標(biāo)系中點(diǎn)M1的坐標(biāo)為rw(ξ,τ)，過(guò)M1的蝸桿砂輪“齒向”切線與端截面漸開(kāi)線的交點(diǎn)記為，其坐標(biāo)為rw(ξ,τ)τ=0，蝸桿砂輪“齒向”切線用表示。

目標(biāo)齒面齒向切向量nLEAD可表示為

齒面某一點(diǎn)M2的磨削印痕與齒向的夾角 α由nLEAD與v12的夾角表示

2 附加運(yùn)動(dòng)函數(shù)求解

常規(guī)蝸桿砂輪磨削加工后，齒面會(huì)形成規(guī)則的、α幾乎為0 的齒面紋理，這種紋理容易產(chǎn)生較大的嚙合噪聲。為了改善齒面紋理，生成不規(guī)則的有一定傾斜角的齒面紋理，則在X軸、Y軸和Z軸上分別施加多項(xiàng)式，生成齒面紋理角度與多項(xiàng)式系數(shù)的函數(shù)關(guān)系：

接下來(lái)，采用敏感度矩陣（SM）結(jié)合Levenberg-Marquardt（LM）算法確定運(yùn)動(dòng)軸（X軸、Y軸、Z軸）附加運(yùn)動(dòng)函數(shù)的各個(gè)系數(shù)。

構(gòu)建敏感度矩陣Ms如下：

式中：N為單側(cè)齒面網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)量，等式右邊矩陣為敏感度矩陣，即

式中：δ為表示變量變化量的符號(hào)。

多項(xiàng)式系數(shù)的變化量可以使用最小二乘法求解：

采用奇異值分解求Ms的偽逆

式中：U為2N×2N階酉矩陣；W為對(duì)角矩陣；VT為12×12階酉矩陣。

式中：矩陣W+為W的偽逆，將W的每個(gè)非零對(duì)角元素替換為它的倒數(shù)并裝置可以獲得W+。

SM 算法求解附加函數(shù)系數(shù)如圖7 所示，通過(guò)圖7 的計(jì)算流程求解附加運(yùn)動(dòng)函數(shù)系數(shù)。理論上將運(yùn)動(dòng)軸的附加運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償?shù)綑C(jī)床上，即可獲得需要的齒面紋理角度。

圖7 附加多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算流程

3 齒面紋理仿真

以 3?為齒面目標(biāo)紋理角度，齒面網(wǎng)格劃分為72×40，敏感度矩陣Ms如下：

前文已經(jīng)建立齒面紋理角度與機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸附加運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系，因此可根據(jù)需要的齒面紋理角度，求得X軸、Y軸和Z軸附加運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)，見(jiàn)表2。

表2 附加運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)

將求得的(ti,ξi,τi)和附加運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)代入式（26），獲得目標(biāo)齒面的坐標(biāo)以及每個(gè)點(diǎn)磨削印痕與齒向的夾角。然后進(jìn)行齒面紋理仿真，如圖8 所示。

圖8 齒面紋理仿真

為了簡(jiǎn)化仿真，使用半徑為dgr的球形磨粒。u為齒廓方向，v為齒向方向，h方向?yàn)辇X面法向。以第n個(gè)磨粒為例，其球心為Q，與被加工齒面發(fā)生干涉，產(chǎn)生磨削印痕，磨削印痕的寬度為圖8 中的b，弧長(zhǎng)ljk由Malkin S[15]建立的砂輪與工件的模型可知：

磨粒干涉區(qū)域任一點(diǎn)在干涉截面的干涉深度hi為

式中：ri∈[0,b/2]，hs為磨粒最大干涉深度。

磨齒齒面紋理具有相似性，我們用局部紋理來(lái)表示整個(gè)齒面的紋理。Reishauer 通過(guò)設(shè)置機(jī)床的LNS 參數(shù)，使得磨削過(guò)程中附加加工運(yùn)動(dòng)，從而得到圖9 所示的傾斜不規(guī)則的齒面紋理。

圖9 采用LNS 技術(shù)的齒面紋理[11]

圖10 所示為常規(guī)磨削過(guò)程產(chǎn)生的齒面紋理圖，可以看到齒面紋理是規(guī)則的且平行于齒向的。圖11所示為X、Y和Z軸附加運(yùn)動(dòng)后的齒面紋理。

圖11 X、Y 和Z 軸附加運(yùn)動(dòng)的齒面紋理

相比較于圖10 中常規(guī)加工的齒面紋理，施加附加運(yùn)動(dòng)后的齒面磨削紋理分布不規(guī)則且與齒向有3?的傾角；與圖9 中采用LNS 技術(shù)獲得的齒面紋理相比，也有較大的相似性，證明了本研究的可行性。

理論上，可以采用上述方法求解所需磨削齒面紋理角度的附加運(yùn)動(dòng)函數(shù)，在機(jī)床上對(duì)運(yùn)動(dòng)軸X軸、Y軸、Z軸進(jìn)行補(bǔ)償，即可獲得所需的齒面紋理角度，實(shí)現(xiàn)對(duì)磨削齒面紋理的主動(dòng)調(diào)控。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）建立了齒輪與砂輪的模型，表示出齒輪和砂輪的坐標(biāo)以及法向偏差，求得在齒輪坐標(biāo)系、砂輪坐標(biāo)系以及和它們固聯(lián)的坐標(biāo)系下，砂輪與包絡(luò)齒面的坐標(biāo)之間和向量之間的轉(zhuǎn)化。

（2）介紹了蝸桿砂輪磨削過(guò)程中，齒面磨削紋理產(chǎn)生的原理，給出齒面每個(gè)磨削印痕與齒向夾角的表示方法。結(jié)合蝸桿砂輪生成包絡(luò)齒面的必要條件，建立了齒面磨削紋理與運(yùn)動(dòng)軸附加運(yùn)動(dòng)的多項(xiàng)式系數(shù)的聯(lián)系。

（3）給出目標(biāo)齒面紋理角度的求解方法，即采用敏感度矩陣（SM）結(jié)合最小二乘估計(jì)（LSE）確定運(yùn)動(dòng)軸（X軸、Y軸、Z軸）附加運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式的各個(gè)系數(shù)，通過(guò)對(duì)機(jī)床進(jìn)行補(bǔ)償獲得目標(biāo)齒面紋理角度，實(shí)現(xiàn)磨削齒面紋理的主動(dòng)調(diào)控。

（4）對(duì)齒面磨削紋理進(jìn)行仿真，生成不規(guī)則的 3?的齒面磨削紋理。與常規(guī)加工生成的齒面磨削紋理和采用LNS 技術(shù)獲得的齒面磨削紋理比較，該方法可以生成傾斜不規(guī)則的磨削齒面紋理，證明了本研究的可行性。