例析函數(shù)思想在比較大小問題中的切入角度*
——兼談解題思維的再創(chuàng)造

樊陳衛(wèi)

江蘇省海門中學(xué) (226100)

大小比較問題信息簡潔明了,但題目串聯(lián)起各類函數(shù)、不等式等諸多知識(shí)點(diǎn),可以考察學(xué)生轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)結(jié)合、構(gòu)造等諸多能力,成為包括高考在內(nèi)的各級(jí)考試中的熱門題型.函數(shù)思想是解決此類問題的一個(gè)重要方法,本文就函數(shù)思想在比較大小問題中切入角度進(jìn)行一些剖析,現(xiàn)與同行分享,以期起到拋磚引玉之效.

一、比較對(duì)象具有相同結(jié)構(gòu)

評(píng)注：函數(shù)求導(dǎo)時(shí)如果表達(dá)式比較復(fù)雜,不便直接求導(dǎo),可采用整體代換簡化函數(shù)表達(dá)式,再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的方法判斷單調(diào)性,也可以對(duì)目標(biāo)函數(shù)先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo).對(duì)于自變量不在同一單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)值需要通過觀察法將其中一個(gè)自變量進(jìn)行等值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間.構(gòu)造函數(shù)過程中注意通過相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)的表達(dá)式,結(jié)構(gòu)中不同數(shù)據(jù)作為自變量的取值.

練習(xí)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,求證:a>0>b.

二、作差法中差的正負(fù)判斷

分析：作差法是比較大小問題的基本方法,嘗試a-b=(sin3α-sin3β)-3(lnsinα-lnsinβ)=(sin3α-3lnsinα)-(sin3β-3lnsinβ),由于(sin3α-3lnsinα)、(sin3β-3lnsinβ)有相同結(jié)構(gòu),故構(gòu)造函數(shù)函數(shù)g(x)=x3-3lnx,a、c及b、c之間的大小比較思路類同.

評(píng)注：本題在判斷差的正負(fù)時(shí)構(gòu)造函數(shù)的思路與例1中構(gòu)造函數(shù)的思路類似.

評(píng)注：待比較的各項(xiàng)都和某個(gè)常數(shù)有關(guān),可將此常數(shù)設(shè)為變量x,再作差后可構(gòu)造函數(shù).如果發(fā)現(xiàn)直接作差,求導(dǎo)將會(huì)使差式復(fù)雜化(如本例中a,b比較),可考慮取對(duì)數(shù)再作差(求導(dǎo))方法以簡化運(yùn)算.也可以考慮將差式中局部的需要判斷正負(fù)的部分構(gòu)造一個(gè)函數(shù),利用求導(dǎo)辦法確定正負(fù)(如本例中k(x)).

三、用泰勒展開式取近似值

評(píng)注：利用泰勒展開式時(shí)應(yīng)選擇待比較項(xiàng)中絕對(duì)值小于1,盡可能接近于0的數(shù)據(jù)作為變量x來構(gòu)造函數(shù),然后根據(jù)函數(shù)在x=0處的泰勒展開式的前幾項(xiàng)求出近似值.

四、圖像坐標(biāo)表示待比較項(xiàng)

例5 已知a、b、c∈(0,+∞),且lna=a-1,blnb=1,cec=1,比較a,b,c的大小.

圖2

評(píng)注：借助函數(shù)圖像比較大小,一般需要將每一個(gè)比較對(duì)象構(gòu)造為兩個(gè)函數(shù)圖像或一個(gè)函數(shù)圖像與直線x=x0、y=y0的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),然后利用圖像比較大小.如果比較對(duì)象是等式中的參數(shù),對(duì)應(yīng)的是圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

結(jié)語一把鑰匙開一把鎖,每一種方法都有對(duì)應(yīng)的待比較項(xiàng)的特征,面對(duì)問題,需要學(xué)生關(guān)注比較項(xiàng)特征,找到針對(duì)性辦法,特別有時(shí)候?qū)Ρ容^項(xiàng)進(jìn)行一定變形,才能和對(duì)應(yīng)的方法發(fā)生關(guān)聯(lián).同時(shí)還應(yīng)注意優(yōu)化運(yùn)算,化繁為簡.