高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下尋根探源必要性的入手“點(diǎn)”*

李加軍

北京市第一0一中學(xué)懷柔分校 (101407)

初等數(shù)學(xué)的有些問題需要在高等數(shù)學(xué)的理論里加以解釋.數(shù)學(xué)家克萊因指出:“有許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi),才能深刻地理解.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教師,應(yīng)該站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題,只有觀點(diǎn)高了事務(wù)才顯得明了而簡(jiǎn)單.”[1]因此,高中數(shù)學(xué)教師許多時(shí)候要善于在高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)指導(dǎo)下研讀教材、研習(xí)習(xí)題,從而整體上深度把握數(shù)學(xué)思想,只有進(jìn)整體思考,問題才看得清,說得明.比如與函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容與問題,我們可以適當(dāng)聯(lián)系高等數(shù)學(xué)里的中值定理、泰勒展開、洛必達(dá)法則求極限等等.下面我將結(jié)合一些具體實(shí)例闡明高等數(shù)學(xué)中的費(fèi)爾馬(Fermat)定理對(duì)尋求不等式恒成立的必要性入手“點(diǎn)”的指導(dǎo)作用.

1.費(fèi)爾馬(Fermat)定理

若(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的鄰域(x0-δ,x0+δ)(δ>0)內(nèi)有定義,并且在此鄰域內(nèi)恒有f(x)≤f(x0)或者f(x)≥f(x0);(2)函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo),則有f′(x0)=0.

推論1 若(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的鄰域(x0,x0+δ)(δ>0)內(nèi)有定義,并且在此鄰域內(nèi)恒有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0));

2.實(shí)例分析

例1 (北京市海淀區(qū)2022屆期末考試題)函數(shù)f(x)=aex-sinx+2x.(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)a≥0時(shí),求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值;(Ⅲ)直接寫出a的一個(gè)值,使f(x)≤a恒成立,并證明.

解析：試題前兩問非常常規(guī),易得答案分別為(Ⅰ)y=(a+1)x+a;(Ⅱ)a.第(Ⅲ)問詳細(xì)解答如下:

取a=-1,下面證明-ex-sinx+2x≤-1恒成立,即證ex+sinx-2x-1≥0恒成立,令g(x)=ex+sinx-2x-1,即證g(x)≥0恒成立,求導(dǎo)g′(x)=ex+cosx-2.

(i)當(dāng)x≤0時(shí),ex≤1,cosx∈[-1,1],此時(shí)g′(x)≤0,所以函數(shù)g(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,∴g(x)≥g(0)=0,即g(x)≥0成立;

(ii)當(dāng)x>0時(shí),令p(x)=g′(x)=ex+cosx-2,x>0,p′(x)=ex-sinx,因?yàn)閑x>1,sinx∈[-1,1],所以p′(x)>0,所以函數(shù)g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴g′(x)>g′(0)=0,所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(x)>g(0)=0.

綜上可知,g(x)≥0恒成立,即f(x)≤a恒成立.

點(diǎn)評(píng)：到目前為止,問題仿佛一切皆順利解決,但是學(xué)生會(huì)提出疑惑:為什么選a=-1?a的值還有沒有其它選擇?這就需要我們借助費(fèi)爾馬定理給出合理解釋:因?yàn)閒(x)≤a可以轉(zhuǎn)化為h(x)=aex-sinx+2x-a≤0=h(0),h(x)滿足費(fèi)爾馬定理在點(diǎn)0處的條件,所以h′(0)=0,于是可知a=-1是唯一滿足的必要條件,此時(shí)知道入手“點(diǎn)”是“h′(0)=0”．從而上述解答順理成章.如此一來,學(xué)生有了解答問題的明確依據(jù),不再是猜或者蒙,輕而易舉突破試題解答難點(diǎn).

解析：(Ⅰ)(Ⅱ)問解答從略.

x(0,x0)x0(x0,1)F′(x)-0+F(x)↘極小值↗

綜上所述可知,k的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題第(Ⅲ)問求k的最大值.如果學(xué)生能敏銳地觀察到第二問中k=2時(shí)結(jié)論成立,就可以快速想到問題的方向是說明當(dāng)k>2時(shí),結(jié)論不成立,從而減少討論,直接指向解題目標(biāo),從而快速有效地解決問題,對(duì)提升學(xué)生的邏輯推理能力大有裨益．

例3 (北京市海淀區(qū)2023屆期中考試題) 已知函數(shù)f(x)=ex-asinx．(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),證明:函數(shù)y=f(x)-2區(qū)間(0,π)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);(Ⅲ)若對(duì)任意x∈[0,π],不等式f(x)≥2-cosx恒成立,求a的取值范圍．

解析：(Ⅰ)(Ⅱ)問解答從略.

(Ⅲ)令h(x)=f(x)-2+cosx=ex-asinx+cosx-2,則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x∈[0,π],h(x)≥0恒成立;又h′(x)=ex-acosx-sinx,令t(x)=h′(x),則t′(x)=ex+asinx-cosx;當(dāng)a≥0時(shí),若x∈[0,π],則ex≥e0=1,cosx≤1,sinx≥0,∴t′(x)≥0在[0,π]上恒成立,則h′(x)在[0,π]上單調(diào)遞增.

①當(dāng)a>1時(shí),h′(0)=1-a<0,h′(π)=eπ+a>0,∴?x0∈(0,π),使得h′(x0)=0,且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h′(x)<0,∴h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,此時(shí)h(x)

②當(dāng)a=1時(shí),h(x)=ex-sinx+cosx-2.當(dāng)x∈(0,π)時(shí),h′(x)>h′(0)=0,則h(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,∴h(x)≥h(0)=0恒成立,滿足題意.

③當(dāng)a<1時(shí),h(x)=ex-asinx+cosx-2>ex-sinx+cosx-2,由②知,對(duì)任意x∈[0,π],h(x)>ex-sinx+cosx-2≥0,滿足題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1]．

點(diǎn)評(píng)：本例同例1一樣問題是學(xué)生如何想到的臨界值1呢?問題解決如下,令h(x)=f(x)-2+cosx=ex-asinx+cosx-2,則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x∈[0,π],h(x)≥0恒成立;進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為h(x)≥0=h(0)對(duì)[0,π]恒成立,于是根據(jù)費(fèi)爾馬定理推論1可知h′(0)=e0-acos0-sin0≥0,于是求得必要條件a≤1,入手“點(diǎn)”是“h′(0)≥0”．這樣我們就可以先給出a=1時(shí)成立的證明,進(jìn)而再證明a>1時(shí)結(jié)論不成立及a<1時(shí)結(jié)論成立,從而使得問題順利解決．

例4 (北京朝陽(yáng)區(qū)2021—2022第一學(xué)期高三期中試題)已知函數(shù)f(x)=tanx-kx3-x,k∈R.

解析：(Ⅰ)答案為y=0,解答從略.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)旨在讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)后,真正成為“數(shù)學(xué)人”,其特征包括“心中有數(shù)”(數(shù)學(xué)抽象)、“腦中有形”(直觀想象)、“手中有法”(數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析)、“腳下有路”(邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算).在核心素養(yǎng)引領(lǐng)下站在高觀點(diǎn)下解決數(shù)學(xué)問題,猶如賞析美妙的樂章．

授之以魚,不如授之以漁.如果我們立足基礎(chǔ)知識(shí),理解數(shù)學(xué)基本思想,注重通法通用,深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),那么問題的解決甘之如飴,回味久長(zhǎng)．