技術(shù)搭臺覓本質(zhì)，深度探究現(xiàn)通法

崔豪東　方處云

［摘? 要］ 信息技術(shù)與深度探究的融合發(fā)展，不是讓信息技術(shù)來刺激眼球，而是在必要的時刻來推波助瀾，讓學(xué)生去深度探究知識本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題通法，進(jìn)行高效的課堂學(xué)習(xí).

［關(guān)鍵詞］ 信息技術(shù)；深度探究；GeoGebra軟件；動點路徑；圖形變換

《教育信息化2.0行動計劃》指出：“應(yīng)將教育信息化作為教育系統(tǒng)性變革的內(nèi)生變量，支撐引領(lǐng)教育現(xiàn)代化發(fā)展，推動教育理念更新、模式變革、體系重構(gòu). ”信息技術(shù)下的數(shù)學(xué)課堂既要達(dá)成教學(xué)模式變革的新時代要求，又要讓課堂成為培育學(xué)生實踐與創(chuàng)新的搖籃. 今年，筆者有幸開設(shè)了以“技術(shù)支持下的初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新課堂教學(xué)”為主題的市級公開課“動點路徑與圖形變換”. 下面筆者呈現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)背景和教學(xué)過程，并結(jié)合本節(jié)課談?wù)剬π畔⒓夹g(shù)與深度探究融合發(fā)展的一些思考.

教學(xué)背景

動點路徑問題是一類抽象程度較高、思維深度較大的數(shù)學(xué)問題，它是九年級常考的一類問題. 依托粉筆黑板，以傳統(tǒng)的講授法去教學(xué)，學(xué)生無法直觀感受動點的變化，教師很難講清，學(xué)生很難理清，課堂沉悶無趣. 借助信息技術(shù)，以簡單的演示法去教學(xué)，學(xué)生雖能直觀觀察到動點的運(yùn)動，但由于視覺直接，未經(jīng)思維推理，難以顯現(xiàn)通法. 因此，筆者在“信息技術(shù)何時亮相，深度探究如何開展”上進(jìn)行了深入思考，以期促進(jìn)信息技術(shù)與深度探究高效融合發(fā)展，經(jīng)過三次磨課、三次修改，本節(jié)課得以成型. 適時引入信息技術(shù)手段，助力學(xué)生深度探究，思考此類問題的本質(zhì)，彰顯解決問題的通法，這是本節(jié)課的全新探索和大膽嘗試.

教學(xué)過程

1. 探究激發(fā)猜想，技術(shù)展露風(fēng)采

問題1? 如圖1所示，點P在線段MN上運(yùn)動，A是MN外一定點，△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，AP=AQ，試探究點Q的運(yùn)動路徑.

師生活動1：教師呈現(xiàn)問題1，給足時間讓學(xué)生思考. 學(xué)生思考后分享自己的想法.

生1：如圖2所示，我先讓點P與點M重合，找到點Q所在的位置M′，再讓點P與點N重合，找到點Q所在的位置N′. 連接M′N′，我發(fā)現(xiàn)點Q就在線段M′N′上運(yùn)動.

生2：如圖3所示，我和生1一樣，先找到了點M′和點N′. 接著我在線段MN上取兩點P和P，然后讓點P分別與P，P重合，找到點Q所在的位置P′，P′，我發(fā)現(xiàn)點P′，P′也在線段M′N′上.

生3：可以盡可能多地在線段MN上取點P，P，P，…，然后讓點P分別與P，P，P，…重合，找到點Q所在的位置P′，P′，P′，…，點P′，P′，P′，…應(yīng)該都在線段M′N′上.

師生活動2：教師引導(dǎo)學(xué)生利用平板上的GeoGebra軟件作圖驗證，并利用平板的屏幕巡視功能及時查看學(xué)生的作圖情況，當(dāng)學(xué)生遇到作圖難點時適時介入.

生4：作好線段MN和點A后，我在線段MN上任取一點P，連接線段AP，接著如何作出點Q呢？

師：點P和點Q有什么變換關(guān)系嗎？

生5：點Q可看作點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的. 首先點擊“變換—旋轉(zhuǎn)”的命令，接著依次選中點P（旋轉(zhuǎn)對象）和點A（旋轉(zhuǎn)中心），然后輸入90°（旋轉(zhuǎn)角度），即可得到點Q.

生6：如圖4所示，我在線段MN上取點P，P，P，P，P，然后讓點P分別與P，P，P，P，P重合，借助GeoGebra軟件的旋轉(zhuǎn)變換功能，找到點Q所在的位置P′，P′，P′，P′，P′. 經(jīng)驗證，點P′，P′，P′，P′，P′都在線段M′N′上.

生7：如圖5所示，借助GeoGebra軟件的顯示軌跡功能，我拖動點P使其在線段MN上運(yùn)動起來，點Q的運(yùn)動路徑就形成了. 可以看到，點Q的運(yùn)動路徑是線段M′N′.

生8：生7借助技術(shù)，使點P取遍了線段MN上的每一個點，找到了點Q走過的每一個位置. 完美地驗證了點Q的運(yùn)動路徑是線段M′N′.

師生活動3：小組成員相互合作，完成作圖的學(xué)生去指導(dǎo)未完成作圖的學(xué)生，確保每一位學(xué)生都經(jīng)歷取點個數(shù)“由少到多”的作圖過程，成功驗證點Q的運(yùn)動路徑是線段M′N′.

生9：如圖6所示，我和組內(nèi)同學(xué)借助GeoGebra軟件的旋轉(zhuǎn)變換功能，把線段MN（點P的運(yùn)動路徑）繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段M′N′，就把線段MN上的每一個點P經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后的對應(yīng)點Q全部找到了，可以發(fā)現(xiàn)點Q的運(yùn)動路徑是線段M′N′.

生10：在顯示動點路徑時，我發(fā)現(xiàn)點Q是由點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，所以點P的運(yùn)動路徑MN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°就能得到點Q的運(yùn)動路徑M′N′.

生11：這道動點路徑問題與圖形的旋轉(zhuǎn)變換有關(guān)系，即只需知道動點P與動點Q之間的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，就可確定點P的運(yùn)動路徑與點Q的運(yùn)動路徑之間的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，因此把點P的運(yùn)動路徑進(jìn)行對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換即可得到點Q的運(yùn)動路徑.

生12：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小. 點P的運(yùn)動路徑是線段，點Q的運(yùn)動路徑也是線段（形狀相同），而且點P與點Q的運(yùn)動路徑的長度相等（大小相同）.

2. 觸類何以旁通，再借技術(shù)探秘

問題2? 如圖7所示，點P在線段MN上運(yùn)動，A是MN外一定點，Q為AP上一點，AQ=AP，試探究點Q的運(yùn)動路徑.

師生活動4：教師呈現(xiàn)問題2，給足時間讓學(xué)生思考. 學(xué)生思考后分享自己的想法.

生13：如圖8所示，我先讓點P與點M重合，找到點Q所在的位置M′，再讓點P與點N重合，找到點Q所在的位置N′. 連接M′N′，我發(fā)現(xiàn)點Q在線段M′N′上運(yùn)動.

生14：如圖9所示，我和生13一樣，先找到了點M′和點N′. 接著在線段MN上取兩點P，P，然后讓點P分別與P，P重合，找到點Q所在的位置P′，P′. 我發(fā)現(xiàn)點P′，P′恰好在線段M′N′上.

師：你們認(rèn)為點Q的運(yùn)動路徑是什么？

生（齊聲）：線段M′N′.

師生活動5：教師引導(dǎo)學(xué)生利用平板上的GeoGebra軟件作圖驗證，并利用平板的屏幕巡視功能及時查看學(xué)生的作圖情況，當(dāng)學(xué)生遇到作圖難點時適時介入. 學(xué)生深刻體會作圖過程，積極分享對問題的認(rèn)識.

師（發(fā)現(xiàn)作圖難點后）：作好線段MN和點A后，在線段MN上任取一點P，連接線段AP，接著如何作點Q呢？

生15：點Q可看作點P以點A為位似中心、按位似比縮小得到的. 首先點擊“變換—位似”的命令，接著依次選中點P（位似對象）和點A（位似中心），然后輸入（位似比），即可作出點Q.

生16：借助GeoGebra軟件的顯示軌跡功能，我拖動點P使其在線段MN上運(yùn)動起來，點Q的運(yùn)動路徑就直接顯現(xiàn)出來了. 可以看到，點Q的運(yùn)動路徑是線段M′N′.

生17：借助GeoGebra軟件的度量長度功能，我度量出線段M′N′和線段MN的長度，然后借助GeoGebra軟件的數(shù)據(jù)計算功能，計算出=0.75，也就是M′N′=MN.

生18：因為點Q可看作點P以點A為位似中心、按位似比縮小得到的，所以點Q的運(yùn)動路徑M′N′可看作點P的運(yùn)動路徑MN以點A為位似中心、按位似比縮小得到的.

生19：位似不改變圖形的形狀，但會把圖形按照相應(yīng)的位似比放大或縮小. 點P的運(yùn)動路徑是線段，點Q的運(yùn)動路徑也是線段（形狀相同），點Q的運(yùn)動路徑的長度等于點P的運(yùn)動路徑的長度乘.

3. 技術(shù)踏月留痕，尋跡領(lǐng)悟精髓

問題3? 結(jié)合問題1、問題2，談?wù)剟狱c路徑問題（雙動點旋轉(zhuǎn)位似類）的解題策略.

師生活動6：教師呈現(xiàn)問題3，告知學(xué)生動點P、動點Q可分別稱為“條件動點”和“目標(biāo)動點”，然后讓學(xué)生思考后分享自己的想法.

生20：旋轉(zhuǎn)和位似都不改變圖形的形狀，所以條件動點P的路徑是“線”，目標(biāo)動點Q的路徑也是“線”.

生21：兩點確定一條直線，因此要確定目標(biāo)動點Q的路徑只需確定其路徑的兩個端點即可.

生22：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小，但位似會改變圖形的大小，所以要計算目標(biāo)動點Q的路徑長度，只需關(guān)注條件動點P到目標(biāo)動點Q的變換中是否存在位似變換.

生23：若不存在位似變換，則目標(biāo)動點Q的路徑的長度等于條件動點P的路徑的長度；若存在位似變換，則目標(biāo)動點Q的路徑的長度等于條件動點P的路徑的長度乘位似比.

生24：如果條件動點P的路徑是“圓（圓?。?，那么目標(biāo)動點Q的路徑也是“圓（圓?。? 由于確定圓（圓?。┲恍璐_定其圓心和半徑，因此確定目標(biāo)動點Q的路徑只需確定圓心和圓（圓?。┥弦稽c.

……

4. 深化思維印記，智慧引領(lǐng)創(chuàng)新

問題4? （2022年鼓樓二模第22題改編）如圖10所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，E為線段AB上一動點，∠ECF=90°且CF=CE，當(dāng)點E從點B運(yùn)動到點A時，點F的運(yùn)動路徑的長為______.

師生活動7：教師呈現(xiàn)問題4，先讓學(xué)生獨立思考，再讓學(xué)生分享不同的解法.

學(xué)生解法1（通法）：如圖11所示，當(dāng)點E分別與點B，A重合時，找到點F所在的位置F，F(xiàn)，則點F的運(yùn)動路徑是線段FF. 連接CF，因為△FAC∽△ABC，且相似比為=，所以FF=AB=，即點F的運(yùn)動路徑的長為.

學(xué)生解法2（巧法）：點F（路徑）可看作點E（路徑）先繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再以點C為位似中心、按位似比縮小得到的. 所以點F的運(yùn)動路徑的長為AB=.

教學(xué)反思

技術(shù)支持下的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一種新型的教學(xué)模式，是未來教學(xué)發(fā)展的必然趨勢. 信息技術(shù)是深度探究的助推器，在讓學(xué)生更好地參與、體驗和感悟方面能發(fā)揮關(guān)鍵作用，真正實現(xiàn)課堂教學(xué)的創(chuàng)新. 要使信息技術(shù)與深度探究能夠融合發(fā)展，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)努力做到以下三點：

1. 全面搭建技術(shù)平臺，突破瓶頸尋覓本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“教學(xué)時可利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實驗，將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識的建構(gòu). ”借助數(shù)學(xué)專用軟件搭建技術(shù)平臺，能夠解決傳統(tǒng)教學(xué)不能解決的問題，快速尋覓問題的“根”與“本”. 在本節(jié)課中，當(dāng)學(xué)生遇到探究瓶頸（無法盡可能多地在線段MN上取點）時，教師利用平板為全體學(xué)生全面搭建了繼續(xù)探究的平臺，引導(dǎo)學(xué)生利用平板上的GeoGebra軟件深入探究，在探究中尋覓并領(lǐng)悟動點問題的本質(zhì)是圖形間的變換.

2. 有效加工邏輯組合，精準(zhǔn)構(gòu)圖全新建模

《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃（2011—2020年）》指出：“要利用信息技術(shù)開展啟發(fā)式、探究式、討論式、參與式教學(xué)，鼓勵發(fā)展性評價，探索建立以學(xué)習(xí)者為中心的教學(xué)新模式. ”在信息技術(shù)環(huán)境下，幾何探究式、課堂討論式、全體參與式教學(xué)可盡情開展，邏輯思維可奮起飛躍. 幾何語言包括文字語言、符號語言和圖形語言，理清三種語言之間的邏輯聯(lián)系是幾何教學(xué)的應(yīng)然追求. 在本節(jié)課中，學(xué)生有效組合題干中的文字語言、符號語言和圖形語言，借助GeoGebra軟件的圖形變換功能完成精準(zhǔn)構(gòu)圖，這是對抽象問題全新建模的探究學(xué)習(xí)過程.

3. 多維開展實驗探究，深化思維彰顯通法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“‘圖形的變化’應(yīng)強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動變化的觀點來研究圖形，理解圖形在軸對稱、旋轉(zhuǎn)和平移時的變化規(guī)律和變化中的不變量. ”運(yùn)用技術(shù)手段，數(shù)學(xué)實驗?zāi)軌颉安僮鳌逼饋?，學(xué)生的思維也能“蹦跳”起來，解題方法自然就顯露出來了. 在本節(jié)課中，學(xué)生借助GeoGebra軟件，從圖形變換的視角開展實驗探究. 不同的學(xué)生探究的維度不同，但在實驗操作和交流分享中對問題都有了深層認(rèn)識，學(xué)生的思維水平也在螺旋式上升，感悟出動點問題的通性通法，并能利用通法甚至巧法解決此類問題.

綜上所述，信息技術(shù)與深度探究可以融合發(fā)展，能收獲極佳的教學(xué)效果. 本文所述的教學(xué)課例，全面詮釋了信息技術(shù)與深度探究如何融合發(fā)展，它可以推廣到許多抽象的幾何問題的探究教學(xué)中，如“SSA”問題、將軍飲馬問題、圓周角定理證明、直線與圓的動態(tài)位置關(guān)系問題等. 積極開發(fā)技術(shù)支持下的教學(xué)范例，應(yīng)成為一線教師的一項重要任務(wù). 唯有如此，信息技術(shù)與深度探究才能更開放、更適合、更持久地融合發(fā)展.

作者簡介：崔豪東（1991—），本科學(xué)歷，中學(xué)二級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育與信息技術(shù)融合研究，曾獲南京市數(shù)學(xué)基本功大賽一等獎、南京市數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課大賽一等獎.