算法視角下的微積分

焦華

（貴州商學院，貴州貴陽 550014)

微積分的英文名稱——calculus，來源于拉丁文中的“石子”“演算”詞語，換句話說,微積分的本質就是一種演算法則或計算方法。因此不要覺得微積分有多神秘，它就像大家熟知的加減乘除四則運算一樣，只是眾多計算方法中的一類算法而已。

從微積分字面釋義來看:微分——顧名思義就是事物微小的部分——事物似零非零的部分，這個似零非零的部分從哪里而來？它是從某個事物整體無限細分得來，這是化整為零的過程；而積分——它是積累、累積的部分，是無限求和的過程。和之前正好相反，它是求微小部分的和，也就是求似零非零部分的和，這是積零為整的過程。微元法是用定積分解決實際問題的基本思想、基本方法，其本質就是先化整為零，再微元替代，最后積零為整。

1 高級語言中的函數概念

圖1 函數調用返回的樹型模塊圖

函數是微積分的主要研究對象，函數的極限、函數的連續(xù)、函數的導數與微分、函數的積分是貫穿微積分始終的內容。函數是科學史上流行了200多年的一個基本概念，因此深刻地影響了其他學科……計算機過程化高級語言中的函數其實就是程序代碼中的子程序，更有甚者C 語言里的主程序也是函數(main()主函數），強大的高級語言的一個重要指標就是它擁有豐富的內部函數。圖1是C語言中的一個函數調用返回的樹型模塊圖[1]。

函數調用返回、參數傳遞、局部量與全程量、嵌套調用與遞歸調用等是很多高級語言的重點和難點[2]，教學過程中學生往往感到困惑和無所適從，但從微積分的角度看，也就是一個有限次的多重復合函數而已。

2 函數的改變量（增量）是貫穿微積分始終的線索

函數的改變量（增量）是貫穿微積分始終的線索，而編程計算函數增量很簡單。函數改變量（增量）的定義如下：設x0為函數y=f(x)定義域內一點，自變量x在x0處取得增量Δx，Δx=x-x0，x=x0+Δx 在定義域內，則f(x0+Δx)-f(x0)稱為在x0點的函數增量（或改變量），記為Δy。用示意圖表達如下[3]：

函數y=f(x),由自變量增量Δx產生函數增量Δy,

用函數圖形表示如下（含Δx > 0 和Δx < 0 兩種情形）：

圖2 函數（正）增量圖

圖3 函數（負）增量圖

下面將會看到微積分中的重要概念和內容和函數增量有關：

定義說明函數連續(xù)表達的是自變量的微小變化只會引起對應函數的微小變化。

2)函數導數的定義：

根據導數的定義，函數求導的算法步驟如下：

①計算函數的增量：Δy=f(x+ Δx) -f(x);

3)函數微分的定義：設函數y=f(x)在某個區(qū)間上有定義，x0和x0+ Δx在此區(qū)間內，若函數增量Δy=f(x0+ Δx) -f(x0)可表示為Δy=A· Δx+o(Δx)，這里A是和Δx無關的常數，則稱函數y=f(x)在x0點處可微，并稱A· Δx為函數y=f(x)在x0點相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即：dy=A· Δx。

將以上定義通俗化，如果在某點的函數增量Δy用自變量增量Δx 線性表示，誤差僅是Δx 一個高階無窮小，則稱函數f(x)在此點可微,微分dy即是函數增量Δy的線性主部。

重要定理：函數y=f(x)在x0點處可微的充要條件是它在x0點處可導，而且微分和導數關系是：dy=f′(x0)· Δx[3]。

4)導數在經濟學中的應用——邊際與彈性

邊際與彈性從語義上理解，只能是指定狀態(tài)下的微小改變。這里反映的是函數的絕對變化率和相對變化率（絕對導數與相對導數）。具體概念對比表述如下：

取Δx= 1，即自變量在x處改變一個單位時，若這個“單位”很小或相比x值很小時，則：

即Δf≈f’(x)，此式的意義是：當自變量在x 處改變一個單位時，函數f(x)的改變量可近似用f’(x)來表示，即改變了f’(x)個單位，此為邊際的經濟意義。

取Δx/x= 1%，即自變量在x處相對改變1%時，

上式的意義是：當自變量在x處相對改變1%時，函數f(x)的相對改變量大致為Ey/Ex%，此為彈性的經濟意義。

5)不僅微積分上述的基本概念和函數改變量有關，微積分中重要的定理、公式也和函數改變量有關。比如：拉格朗日中值定理：f(b) -f(a) =f′(ξ)(b-a)。

結論：函數的改變量（增量）是貫穿微積分始終的線索。這部分涉及的極限運算可用高級語言中的循環(huán)結構實現，由循環(huán)語句中的條件表達式控制精度。

3 定積分的近似計算

定積分是積分學中重要的內容，起源于生產實踐中面積和體積等的計算問題?；仡櫝醯葦祵W中面積計算的相關內容：（由）長方形面積的定義→（推出）平行四邊形面積公式（拼接法）→（推出）三角形面積公式（拼接法）→（推出）梯形面積公式（拼接法）→“窮竭法”“割圓術”得到圓面積公式。數學中的重要概念并非無中生有，而是從客觀世界的現實原型中抽象出來的，比如“曲邊梯形的面積問題”“變速直線運動的路程問題”都是定積分的現實原型，抽象得到的定積分定義后，數學家們辛勤探索得到定積分的性質、定理、公式等，理論完善后再應用現實原型中。整個過程中有抽象之美、演繹推理之美、空間想象之美、應用之美等。定積分在微積分中是需要花時間講清楚的概念，其嚴格定義簡述如下[4]：

其中f(x)稱為被積函數,f(x)dx稱為被積表達式,x稱為積分變量,[a,b]稱為積分區(qū)間。

由于對于任意的分法結果一樣，可等分區(qū)間得：

近似公式為：

解：注意到該實例屬于“積不出來”的積分，無法用牛頓—萊布尼茨公式得到結果，只能考慮利用計算機進行近似計算。將區(qū)間[0,1]進行十等分，設分點為xi(i= 0,1,...,10),設其相應的函數值為：yi=e-x2i(i=0,1,...,10),列出表格如表1[5]。

表1 等分點函數值表

根據左矩形公式，計算得：

根據右矩形公式，計算得：

根據梯形公式，計算得：

由梯形公式得到的結果實際是前面兩個值的平均值。

該實例算法的偽代碼表示如下[6]：

1)定義常量n=10，這里的n代表對區(qū)間n等分。

2) 定義有n+1 個分量的數組X，其分量為X[0],X[1],X[2]...X[n]。

定義有n+1個分量的數組Y，其分量為Y[0],Y[1],Y[2]...Y[n]。

利用y[i]=e-x2[i],i= 0,1,2...n對數組Y循環(huán)賦值。

4) 根據左矩形公式，通過循環(huán)實現累加求和得到S1；

根據右矩形公式，通過循環(huán)實現累加求和得到S2；

根據梯形公式，通過循環(huán)實現累加求和得到S3。

5)輸出S1，S2，S3。

綜上所述結論是：微積分就是一個大算法，是一系列演算法則的集合。