雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的LuGre摩擦模型補(bǔ)償研究

魏瓊,陸浩,劉偉恒,郭川,李秀紅

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,武漢 430068)

氣動(dòng)系統(tǒng)由于清潔無污染、結(jié)構(gòu)簡單、方便維護(hù)等原因而廣泛應(yīng)用于醫(yī)藥、機(jī)械、化工等領(lǐng)域[1]。但是由于氣動(dòng)系統(tǒng)的摩擦力/驅(qū)動(dòng)力之比較大,且剛性較差阻尼較小[2-3],會(huì)使得摩擦力對(duì)系統(tǒng)的影響較大,特別是氣缸活塞在換向過程中容易產(chǎn)生動(dòng)態(tài)滯后,即“平頂”現(xiàn)象[4]。同時(shí),氣動(dòng)系統(tǒng)的瞬態(tài)質(zhì)量流量公式具有模型不確定性與強(qiáng)非線性;氣動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)存在不確定性[5-6],加劇摩擦帶來的的動(dòng)態(tài)滯后。并且氣缸兩腔存在相互耦合以及氣體流量飽和,使得控制自由度不高但能量耗散較大[7-9]。就摩擦模型的研究而言,文獻(xiàn)[10]將庫倫摩擦模型、靜摩擦力加庫倫摩擦摩擦力模型、動(dòng)靜摩擦加黏滯摩擦模型、Stribeck模型進(jìn)行了綜合對(duì)比,認(rèn)為Stribeck模型能夠以90%的精度接近摩擦力特性。文獻(xiàn)[11]通過實(shí)驗(yàn)得出LuGre摩擦模型是一個(gè)較為完善的動(dòng)態(tài)摩擦模型,該模型用兩個(gè)接觸表面之間彈性剛毛的平均偏移來表征摩擦的動(dòng)態(tài)特性,較精確地描述了摩擦過程復(fù)雜的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性。

摩擦補(bǔ)償?shù)拇胧┩ǔＳ袃深?第一類是不基于摩擦模型的補(bǔ)償方法,例如PID控制法、模糊控制法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及通過施加震顫信號(hào)補(bǔ)償?shù)?。文獻(xiàn)[12]利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)氣動(dòng)系統(tǒng)模型中的摩擦模型進(jìn)行辨識(shí),并且結(jié)合Nussbaum函數(shù)相來解決氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)控制方向未知的問題,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該控制方案的系統(tǒng)跟蹤誤差較小。但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練時(shí)間較長、算法實(shí)時(shí)性差,該方法難以應(yīng)用到實(shí)際工程當(dāng)中。文獻(xiàn)[13]提出一種模糊滑?？刂品椒?其中滑模控制算法實(shí)現(xiàn)摩擦補(bǔ)償,模糊規(guī)則實(shí)現(xiàn)對(duì)滑?？刂圃鲆孢M(jìn)行調(diào)節(jié)以降低抖振,仿真結(jié)果表明模糊滑?？刂破饔行p小了系統(tǒng)的抖振與系統(tǒng)誤差。但是在實(shí)際應(yīng)用中很難獲取的模糊規(guī)則。文獻(xiàn)[14]針對(duì)LuGre摩擦模型,采用遺傳算法進(jìn)行辨識(shí),然后在系統(tǒng)中在輸入信號(hào)中疊加一高頻低幅的顫振信號(hào),通過選擇合理的顫振信號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)負(fù)載敏感比例多路閥的摩擦力進(jìn)行有效補(bǔ)償。然而震顫信號(hào)會(huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)波紋效應(yīng)。第二類是基于摩擦模型的補(bǔ)償,該方法在本質(zhì)上是前饋補(bǔ)償,通過在線或者離線的方法得出模型參數(shù),從而可以得到一個(gè)估計(jì)的摩擦力,然后在控制力矩中加上估計(jì)的實(shí)時(shí)摩擦力來抵消實(shí)際的摩擦影響。文獻(xiàn)[15]提出一種考慮溫度變化的Stribeck摩擦改進(jìn)模型,通過非線性最小二乘法建立系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)模型,利用L-M法對(duì)該模型進(jìn)行迭代求解,再采用基于摩擦模型的前饋補(bǔ)償方法對(duì)系統(tǒng)的摩擦進(jìn)行補(bǔ)償,但是該方法忽略了摩擦模型參數(shù)可能會(huì)隨系統(tǒng)工況的改變而變化,因此適應(yīng)性較差。文獻(xiàn)[16]根據(jù)LuGre模型,采用自適應(yīng)控制算法實(shí)現(xiàn)了摩擦補(bǔ)償,然而該控制算法只解決的摩擦的參數(shù)不確定性,系統(tǒng)仍存在較強(qiáng)的非線性,所以控制效果較為一般。文獻(xiàn)[17]提出一種自適應(yīng)反演滑?？刂品椒?該控制器采用自適應(yīng)算法建立了摩擦力的線性邊界,將其作為滑?？刂祈?xiàng)增益,利用滑?？刂祈?xiàng)補(bǔ)償摩擦和外部擾動(dòng),在跟蹤頻率為0.25 Hz的正弦曲線時(shí)的平均誤差為0.18×10-4rad,該方法雖有效地降低了誤差,但是滑?？刂扑惴〞?huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)抖震而難以消除。文獻(xiàn)[18]提出了一種魯棒控制器來解決系統(tǒng)的非線性,并通過設(shè)計(jì)控制器的參數(shù)來保證系統(tǒng)的誤差精度,利用雙狀態(tài)觀測器來捕捉不可測狀態(tài)的不同影響,從而提高摩擦補(bǔ)償精度。但是如果系統(tǒng)所處環(huán)境復(fù)雜,則該控制器無法控制系統(tǒng)參數(shù)的不確定性。

從前人提出的摩擦補(bǔ)償方法來看:一方面,基于非模型的摩擦補(bǔ)償方法要么在實(shí)際應(yīng)用中的難度較大,要么會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生波紋效應(yīng),所以非基于模型的摩擦補(bǔ)償控制器的作用有限;另一方面,雖然自適應(yīng)控制可以限制系統(tǒng)的參數(shù)變化,但是無法解決氣動(dòng)系統(tǒng)非線性。滑模變結(jié)構(gòu)控制器常包含有不連續(xù)函數(shù),會(huì)引起系統(tǒng)顫振。魯棒控制器雖處理了系統(tǒng)的非線性,但氣動(dòng)系統(tǒng)中的參數(shù)時(shí)變性無法得到控制。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上,綜合考慮了氣動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)和模型不確定性、非線性以及氣缸兩腔耦合與流量飽和影響,選擇LuGre模型來表征氣動(dòng)系統(tǒng)摩擦,采用兩個(gè)三位四通比例閥來提高控制自由度與響應(yīng)速度,并設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)魯棒控制方法來實(shí)現(xiàn)摩擦補(bǔ)償。該控制方法通過在線自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)來補(bǔ)償模型參數(shù)的不確定性、利用魯棒反饋抑制系統(tǒng)的非線性,從而減小系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)滯后,提高響應(yīng)速度和軌跡跟蹤精度。

1 系統(tǒng)模型

氣缸的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

假設(shè)氣缸的氣體狀態(tài)變化為絕熱的過程,且氣體在充放氣過程的溫度保持不變,均等于室溫。根據(jù)文獻(xiàn)[19],氣缸兩腔壓力的變化可以用微分方程表示為

(2)

(3)

式中:Va0、Vb0為氣缸兩腔的死容積;L為活塞行程。

由于LuGre摩擦模型可以很好地描述摩擦的靜態(tài)特性與動(dòng)態(tài)特性,所有本文采用LuGre摩擦模型來描述氣缸摩擦力[20],模型如下:

(4)

比例方向控制閥的質(zhì)量流量如下:

(5)

(6)

u=xs/K

(7)

式中:u為閥的控制電壓;K為閥的軸向開度與電壓的比例。

(8)

(9)

式中:θmin、θmax分別為未知參數(shù)向量的最小值和最大值,θmin=[θ1min,…,θ6min]T,θmax=[θ1max,…,θ6max]T;fmax,da,max,db,max為已知的正值。

2 不連續(xù)的參數(shù)映射

(10)

i=1,2,…,6

給出如下自適應(yīng)率:

(11)

式中:Γ>0為正定對(duì)角矩陣;τ為參數(shù)自適應(yīng)函數(shù),

τ=φ2e2+φ3e3[21],φ2、φ3、e2、e3具體在后續(xù)控制器的設(shè)計(jì)中給出。對(duì)于任意的自適應(yīng)函數(shù)τ,不連續(xù)映射(11)具有如下性質(zhì)[22]:

(12)

3 自適應(yīng)魯棒控制器

3.1 步驟1

定義一個(gè)類似滑模面的變量為:

(13)

(14)

式中:e1為軌跡跟蹤誤差,e1=x1-xd;K1為正的反饋增益。式(13)與式(8)中的第二個(gè)方程結(jié)合得到

(15)

在此步的控制器設(shè)計(jì)中我們使用雙觀測器來估計(jì)z的不同特性,即:

(16)

為了保證觀測器是穩(wěn)定的,我們使用映射函數(shù)保證觀測器的估計(jì)是有界的,即:

(17)

式中:zmax,zmin分別為摩擦狀態(tài)的上下界。

上述觀測器具有如下特性:

(18)

(19)

由于參數(shù)M、σ0、σ0、B均是正數(shù),可定義如下半正定函數(shù)

(20)

將式(20)微分,然后將式(15)和式(19)代入其中得到

(21)

設(shè)PL=x3Aa-x4Ab為壓力層的虛擬控制輸入,并令設(shè)壓力層的期望虛擬控制輸入為:

PLd=PLda+PLds,PLds=PLds1+PLds2

(22)

(23)

PLds1=-K2e2,K2>0

(24)

(25)

(26)

設(shè)PLds2滿足以下兩個(gè)條件:

(27)

式中η2>0是可以任意小的正數(shù)。

滿足上述條件的PLds2可表達(dá)為

(28)

將式(27)代入式(25)得到

(29)

3.2 步驟2

由式(29)可知,當(dāng)e3=0時(shí),e2、z0、z1有界,所以步驟2的目的是使e3趨近于0。將e3求導(dǎo)得

(30)

其中:

(31)

(32)

(33)

(34)

定義一個(gè)半正定函數(shù)

(35)

對(duì)V3求導(dǎo)并且?guī)胧?25)和式(30)得

(36)

設(shè)qLd為步驟2流量層虛擬控制輸入,給出如下流量層期望虛擬控制輸入:

qLd=qLda+qLds,qLds=qLds1+qLds2

(37)

(38)

qLds1=-K3e3,K3>0

(39)

假設(shè)流量公式是精確的,將式(37)～式(39)代入式(36)得:

(40)

φ3=[0,0,0,0,-1,1]T

設(shè)qLds2滿足如下兩個(gè)條件:

(41)

式中η3>0是可以任意小的正數(shù)。

滿足上述條件的qLds2可表達(dá)為

(42)

將式(41)中的第一個(gè)式子帶入式(40)得

(43)

解微分方程不等式(43)得

(44)

(45)

由此可以得出系統(tǒng)的中的所有誤差都是有界的,且e2,e3將指數(shù)收斂于一個(gè)球域,球域大小可以通過調(diào)整K2,K3,η2,η3來調(diào)整,所以位置跟蹤誤差e1有界。

3.3 步驟3

上文計(jì)算出qLd后,可以通過前文提到的比例閥流量模型的得到望閥口軸向開度。

當(dāng)qLd>0時(shí),有:

(46)

當(dāng)qLd≤0時(shí),有:

(47)

式中p0為大氣壓力。根據(jù)式(7)得到閥的期望控制電壓。

自適應(yīng)魯棒控制器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 閥口自適應(yīng)魯棒控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Diagram of the adaptive robust controller structure of a valve port

4 系統(tǒng)仿真

本文采用Amesim和MATLAB Simulink聯(lián)合仿真,在Amesim中用圖形化的建模方式建立氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的模型,在MATLAB Simulink中編寫控制算法,然后聯(lián)合仿真。聯(lián)合仿真的模型如圖2和圖3所示。聯(lián)合仿真的參數(shù)如表1所示。

表1 聯(lián)合仿真系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of joint simulation system

圖2 AMESIM模型圖Fig.2 AMESIM model diagram

圖3 Simulink模型圖Fig.3 Simulink model diagram

給定階躍信號(hào)xd=140 mm時(shí),圖4為采用自適應(yīng)魯棒控制的單閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)階躍響應(yīng),圖5為采用自適應(yīng)魯棒控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)階躍響應(yīng),對(duì)比圖4和圖5可看出,單閥系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)間約為0.56 s,這是因?yàn)椴捎脝伍y的氣動(dòng)伺服系統(tǒng)控制自由度較低能量損失較大,而采用雙閥控制的氣動(dòng)伺服系統(tǒng)控制自由度較高,系統(tǒng)響應(yīng)較快,進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)間為0.38 s。

圖4 自適應(yīng)魯棒控制的單閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)階躍響應(yīng)Fig.4 Step response of an adaptive robustly controlled single-valve pneumatic servo system

圖5 自適應(yīng)魯棒控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of an adaptive robustly controlled two-valve pneumatic servo system

令輸入信號(hào)為xd=60sin(0.4πt+1.5π)+60,圖6和圖7分別為用傳統(tǒng)PID控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤曲線及誤差曲線。

圖6 PID控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤Fig.6 Position tracking of a PID-controlled two-valve pneumatic servo system

圖8和圖9分別為采用魯棒自適應(yīng)控制的單閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤曲線及誤差曲線。圖10和圖11分別為用自適應(yīng)魯棒控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤曲線及誤差曲線。

圖8 自適應(yīng)魯棒控制的單閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤Fig.8 Position tracking of an adaptive robustly controlled single-valve pneumatic servo system

圖9 自適應(yīng)魯棒控制的單閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤誤差Fig.9 Position tracking error of an adaptive robustly controlled single-valve pneumatic servo system

圖10 自適應(yīng)魯棒控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤Fig.10 Position tracking of an adaptive robustly controlled two-valve pneumatic servo system

圖11 自適應(yīng)魯棒控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤誤差Fig.11 Position tracking error of an adaptive robustly controlled double-valve pneumatic servo system

可以看出:采用PID算法的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)在零速度處由于摩擦而出現(xiàn)動(dòng)態(tài)滯后現(xiàn)象為明顯,其穩(wěn)態(tài)誤差在±9.4 mm;采用自適應(yīng)魯棒控制的單閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)在零速度的動(dòng)態(tài)滯后現(xiàn)象大幅減小,但是仍然存在一定的滯后,其穩(wěn)態(tài)誤差為±4.3 mm;采用自適應(yīng)魯棒控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)雖然在初始很短的時(shí)間內(nèi)會(huì)有一個(gè)波動(dòng),但很快就進(jìn)入了穩(wěn)定狀態(tài),進(jìn)入穩(wěn)定后不僅克服了摩擦帶來的動(dòng)態(tài)滯后且系統(tǒng)響應(yīng)更快,其穩(wěn)態(tài)誤差在±1.2 mm。由此可見采用雙閥控制的氣動(dòng)伺服系統(tǒng)控制自由度更高,響應(yīng)更快。同時(shí)本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒控制算法能夠有效減小摩擦帶來的動(dòng)態(tài)滯后,使系統(tǒng)獲得良好的軌跡跟蹤性能。

5 結(jié)論

1) 建立了基于LuGre摩擦模型的氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,并采兩個(gè)三位四通比例閥控制氣缸,在此基礎(chǔ)上提出了一種自適應(yīng)魯棒控制策略進(jìn)行摩擦補(bǔ)償。

2) 采用對(duì)比實(shí)驗(yàn)的方法,分析了單閥控制與雙閥控制的氣動(dòng)系統(tǒng)的階躍響應(yīng),對(duì)比了采用PID控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)、采用自適應(yīng)魯棒控制的單閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)以及采用自適應(yīng)魯棒控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的跟蹤誤差,仿真結(jié)果表明本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒控制的雙閥氣動(dòng)伺服系統(tǒng)可以提高系統(tǒng)控制自由度減小能量損失,降低系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間與穩(wěn)態(tài)誤差,有效解決摩擦引起的動(dòng)態(tài)滯后。