以形助數(shù) 以數(shù)解形
——談數(shù)形結(jié)合思想在小學數(shù)學教學中的應用策略

文/孔秀云

眾所周知，數(shù)學是數(shù)量關(guān)系與空間形式緊密結(jié)合的一門學科，是以研究“數(shù)”與“形”為主的學科。小學數(shù)學的四大領(lǐng)域均以“數(shù)”與“形”為基礎(chǔ)。同時，數(shù)學是由抽象、概括客觀現(xiàn)象而形成的一種語言和工具。數(shù)學學科的如此特點，證明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，驅(qū)動教師在數(shù)學教學中應用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是依據(jù)“數(shù)”（抽象的數(shù)量關(guān)系）“形”（直觀的空間形式）的對應關(guān)系與互補優(yōu)勢，通過相互轉(zhuǎn)化解決數(shù)學問題的思想方法，具體表現(xiàn)為以形助數(shù)和以數(shù)解形[1]。實踐證明，“數(shù)”與“形”的結(jié)合，可以化抽象為具體，化復雜為簡單，降低數(shù)學學習難度；使學生透過問題表述和形式，感知問題內(nèi)在含義，增強數(shù)學認知；可以使學生在互換“數(shù)”“形”的過程中，發(fā)展觀察能力、思維能力等?；诖耍谛W數(shù)學教學中，教師應從以形助數(shù)和以數(shù)解形入手，通過多樣策略應用數(shù)形結(jié)合思想，助力學生建構(gòu)數(shù)學認知，掌握數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學學習能力，提高數(shù)學學習效率。

一、以形助數(shù)

以形助數(shù)是指用“形”解決“數(shù)”的問題，促使學生直觀地認知“數(shù)”[2]。“形”的形式多種多樣，如生活實物、線段圖、數(shù)學模型等。在應用數(shù)形結(jié)合思想時，教師要依據(jù)課堂教學需要，選用不同的“形”，助力學生學習“數(shù)”。

（一）用“形”，認識“數(shù)”

數(shù)的概念是數(shù)學學科的基礎(chǔ)內(nèi)容，具有抽象性。學生借助各種“形”，如生活實物，可以直觀地認知數(shù)字，理解數(shù)字的含義，學會用數(shù)字表示事物的數(shù)量。如利用數(shù)學小棒或計算器，直觀地了解不同數(shù)位上的數(shù)字所表示的意義；借助正方形、圓形等，直觀地感受小數(shù)、分數(shù)的性質(zhì)。因此，在數(shù)學課堂上，教師要聯(lián)系教學需要，用“形”引導學生認識“數(shù)”。

例如，在“時、分、秒”的課堂教學中，為使學生認知“1 秒”，教師呈現(xiàn)時鐘，引導學生閉上眼睛，靜靜地聽。當聽到“滴嗒”一聲時，學生感受到了“1 秒”。為了使學生增強感受，教師提出要求：“在聽的過程中，一聽到‘滴答’聲就拍一下手。”于是，學生邊傾聽邊拍手，由此直觀地感受到1 秒有多長。接著，教師按照如此方式，鼓勵學生發(fā)散思維，用其他方式表示1 秒。在已有數(shù)學認知和生活經(jīng)驗的作用下，學生聯(lián)想到了多樣的表示方法，如眨眼睛、踏腳等。在應用這些方法的過程中，學生繼續(xù)直觀地感知1 秒。然后，教師沿用此方式，使用不同的“形”引導學生認識“1 分鐘”和“1 小時”。

實踐證明，在直觀的“形”的作用下，學生輕松地學習和掌握了數(shù)學知識。同時，一些學生因此感受到“數(shù)”與“形”的關(guān)系，便于自主地借助“形”認識“數(shù)”，提高數(shù)學學習效率。

（二）用“形”，運算“數(shù)”

運算是以“數(shù)”的認識為基礎(chǔ)的活動，是數(shù)學教學中不可或缺的一部分。算理是學生進行運算的“工具”。學生借助各種“形”可以理解運算背后的算理[3]。如借助小棒、紙片等進行整數(shù)運算，理解運算定律；借助正方形、圓形等進行平均分割，理解分數(shù)背后的運算法則。由此，在數(shù)學教學中，教師可用“形”引導學生探究算理。

例如，在“同分母分數(shù)加減法”的課堂教學中，教師向?qū)W生提出如此問題：“有一塊月餅，媽媽把它平均分為八份。爸爸吃了三份，媽媽吃了一份。請問，爸爸和媽媽一共吃了多少塊月餅？”借助此問題，學生遷移已有認知，列出算式。對此，教師追問：“如何計算出結(jié)果呢？”同時，為了使學生順利地解決問題，教師引導學生在紙張上畫圖，表示出。在畫圖的過程中，大部分學生將一個圓平均分為8 份，為其中的4 份涂色。此時，學生直觀地得出結(jié)果：。教師就此進行贊賞，并提問：“。為什么分母沒變？分子是如何得到的？”在問題的作用下，學生審視畫圖內(nèi)容，積極思維，有所發(fā)現(xiàn)，分母相同，可以直接用分子相加。立足于此，教師在交互式電子白板上演示計算過程，并結(jié)合此過程，歸納算理：計數(shù)單位相同的數(shù)可以直接相加。

由此可見，在“形”的助力下，學生一步步地探究到算理，便于做到知其然，知其所以然，提高運算水平。

（三）用“形”，整理“數(shù)”

整理數(shù)據(jù)是以數(shù)字為基礎(chǔ)的活動。在整理數(shù)據(jù)的過程中，學生會有規(guī)律地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，為分析數(shù)據(jù)做好準備；還會梳理、發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的邏輯關(guān)系，為認識數(shù)、運用數(shù)奠定堅實的基礎(chǔ)?！靶巍笔菍W生整理“數(shù)”的助力。如學生可以利用條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖等，清晰地展現(xiàn)雜亂的數(shù)據(jù)，由此輕松地發(fā)現(xiàn)數(shù)量多少或數(shù)量所占的比重等。因此，在數(shù)學課堂上，教師應依據(jù)教學需要，借助“形”引導學生整理“數(shù)”。

例如，在“條形統(tǒng)計圖”這節(jié)課上，教師向?qū)W生呈現(xiàn)了本地上月的天氣情況。在學生觀察時，教師提出問題：“上個月有多少種天氣？每種天氣有多少天？”在問題的作用下，學生數(shù)出天氣的種類及其對應天數(shù)，并積極思維，聯(lián)想到不同的表示方法，有的學生繪制統(tǒng)計表，有的學生繪制條形統(tǒng)計圖。然后，教師挑選統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖，并提問：“請對比這兩種統(tǒng)計方式，判斷哪一種可以更加直觀地展現(xiàn)信息？”受到任務的驅(qū)動，學生認真對比，直觀地發(fā)現(xiàn)條形統(tǒng)計圖的優(yōu)勢，并主動進行描述。立足學生的描述情況，教師做出總結(jié)：“條形統(tǒng)計圖用一個單位長度直觀地展現(xiàn)了一定的數(shù)量，并按照一定的順序排列不同長短的條形，借此表示出數(shù)量的多少?！庇纱?，學生增強了認知，增強了課堂學習效果。

實踐表明，學生通過“數(shù)據(jù)—表格—條形統(tǒng)計圖”直觀地了解了條形統(tǒng)計圖，扎實掌握了課堂所學。

（四）用“形”，解決“數(shù)”

解決“數(shù)”是指解決數(shù)的問題。數(shù)的問題具有抽象性。小學生的形象思維較為發(fā)達，但抽象思維能力不強?！靶巍笨梢灾庇^展現(xiàn)“數(shù)”，助力學生獲取解決問題的思路和方法。例如，學生在閱讀數(shù)學問題后，將問題中的條件呈現(xiàn)在線段圖上，可以直觀地厘清條件關(guān)系，由此解決問題。對此，在數(shù)學教學中，教師可借助“形”，引導學生解決“數(shù)”。

例如，在課堂上，教師向?qū)W生呈現(xiàn)以下應用題：“早上，明明和紅紅同時從家里出發(fā)上學。他們相向而行。已知，明明每分鐘走70 米，紅紅每分鐘走60 米。兩人走在3 分鐘后相遇。請問，他們兩家相距多少米？”讀題后，大部分學生陷入迷茫。于是，教師把握時機，向?qū)W生提出畫圖要求：“請根據(jù)問題條件，畫出線段圖?！痹诖艘蟮尿?qū)使下，學生積極思維，分析問題條件，精心繪制線段圖（如圖1）。

這樣的線段圖直觀地展現(xiàn)了已知條件、未知問題以及二者間的關(guān)系。在線段圖的助力下，學生歸納出其中蘊含的數(shù)量關(guān)系：紅紅家和明明家的距離=紅紅走的路程+明明走的路程。根據(jù)如此數(shù)量關(guān)系，學生輕松地列出算式，計算出結(jié)果。

由此可見，借助“形”引導學生解決數(shù)的問題，不但可以使學生直觀地理解題意，明確解題思路，獲得解題方法，還可以使學生建構(gòu)形象思維與抽象思維之間的聯(lián)系，便于向抽象思維過渡，提高抽象思維能力。

二、以數(shù)解形

以數(shù)解形是指用“數(shù)”來解釋圖形的性質(zhì)，促使學生精準地認知圖形?！皵?shù)”的形式多種多樣，如數(shù)學符號、數(shù)學語言等。在應用數(shù)形結(jié)合思想時，教師應根據(jù)教學內(nèi)容，選擇適宜的“數(shù)”，引導學生認知圖形。

（一）用“數(shù)”認識“形”

盡管圖形本身具有直觀性，但表達過于直白，學生難以了解特征與性質(zhì)。如學生無法直接借由長方形、正方形等，認知到圖形的共同特征。又如，學生無法借助直角三角形、銳角三角形等，了解底、高、角等特征，尤其難以用這些特征描述不同三角形之間的關(guān)系?！皵?shù)”具有精準性，可以輔助學生準確認知“形”的特征。所以，在課堂教學中，教師應立足“數(shù)”的優(yōu)勢，結(jié)合教學需要，引導學生利用“數(shù)”認識圖形。

例如，在“長方形的初步認識”的課堂教學中，教師為學生發(fā)放大小不同的長方形模具。接著，教師提出觀察任務：“觀察這些長方形模具，你能發(fā)現(xiàn)它是由什么構(gòu)成的？”帶著任務，學生認真觀察，積極思考，直觀地發(fā)現(xiàn)長方形由面、頂點和邊構(gòu)成。據(jù)此，教師追問：“數(shù)一數(shù)，長方形有多少個面？多少個頂點？多少條邊？”通過數(shù)數(shù)，學生進一步認知長方形的特征：“長方形有1 個面，4 個頂點，4 條邊?！痹谶@樣的特征的支撐下，學生很容易在腦海中浮現(xiàn)出一個長方形，加深記憶。為了使學生探究長方形的更多特征，教師繼續(xù)提出任務，如“量一量長方形模具，你能發(fā)現(xiàn)邊、角有什么關(guān)系？”在測量的過程中，學生獲取數(shù)據(jù)，由此精準地認知長方形的特征，如長方形的對邊相等，四個角都是直角。由此可見，學生通過觀察、測量，發(fā)現(xiàn)了一個個“數(shù)”，由此精準地認知了長方形的特征，便于形成長方形表象，為學習長方體的表面積奠定堅實的基礎(chǔ)。

（二）用“數(shù)”描述“形”

圖形的位置和運動是數(shù)學學科的基礎(chǔ)內(nèi)容。應用“數(shù)”描述圖形的位置和運動，可以使學生對圖形做出精準“定位”，由此建構(gòu)數(shù)學認知。如學生用前、后、左、右、上、下，東、西、南、北等方向進行描述，可以精準定位事物的位置。又如，學生用數(shù)學的語言描述圖形的平移、旋轉(zhuǎn)軌跡，可以對平移、旋轉(zhuǎn)建構(gòu)認知。因此，在數(shù)學課堂上，教師應聯(lián)系課堂教學內(nèi)容，引導學生用“數(shù)”描述圖形的位置和運動。

例如，在“位置與方向（二）”的課堂教學中，學生要依據(jù)參照點建立坐標系，了解事物所在角度；還要根據(jù)圖中的比例尺判斷事物的距離。了解事物角度、判斷事物距離的過程，正是學生用數(shù)學的語言描述事物位置與方向的過程。在描述的過程中，“數(shù)”是不可或缺的，否則所描述的內(nèi)容毫無意義。所以，教師以教材中的插圖為“工具”，直觀地向?qū)W生展示平面圖，呈現(xiàn)具體數(shù)據(jù)，借此引導學生用數(shù)學的語言進行描述。如教師引導學生觀察“做一做3”中的平面圖，用“臺風沿著______方向移動了______米”的句式進行描述。在描述之際，學生將視線集中在數(shù)據(jù)上，發(fā)揮思維作用，判斷臺風的移動方向和距離。如此做法，不僅使學生借助“數(shù)”，精準地了解了物體的位置和方向，認知了所學內(nèi)容，還使學生順其自然地鍛煉了數(shù)學表達能力，有利于學生學會用數(shù)學的語言表達數(shù)學，提高數(shù)學學習效率。

（三）用“數(shù)”遷移“形”

遷移“形”是學生用“數(shù)”的具體表現(xiàn)。例如，學生可以在把握數(shù)量關(guān)系的同時，遷移對“形”的認知，精準認知圖形的周長、面積，尤其是掌握具體方法。又如，學生可以應用數(shù)量，探究立體圖形的特點、概念等，由此遷移“形”，發(fā)現(xiàn)相同或不同之處，進而增強認知。由此可見，在數(shù)學課堂上，教師應立足學生“形”的學習情況，引導學生用“數(shù)”，遷移已有認知，積極探究“形”。

例如，在“三角形的面積”的課堂教學中，教師將探究三角形面積計算公式的權(quán)利還給學生。學生在此之前，早已學習了長方形、正方形、平行四邊形的面積計算公式，積累了“形”與“數(shù)”的經(jīng)驗，所以，在探究三角形面積計算公式的過程中，學生會遷移已有經(jīng)驗，動手操作，使用不同的方法，如數(shù)格子法、轉(zhuǎn)化法等，得出“數(shù)”，由此推導出面積計算公式。這樣不僅使學生成為數(shù)學課堂的“主人”，還使學生實現(xiàn)了正遷移，便于掌握數(shù)學知識與數(shù)形結(jié)合思想方法。

三、結(jié)束語

綜上所述，在應用數(shù)形結(jié)合思想時，教師可以從以形助數(shù)，以數(shù)解形入手，聯(lián)系數(shù)學教學的實際需要，運用多樣的策略，如用“形”認識“數(shù)”、用“形”運算“數(shù)”、用“形”整理“數(shù)”、用“數(shù)”認識“形”、用“數(shù)”描述“形”等，引導學生互換“數(shù)”與“形”，以此掌握數(shù)形結(jié)合的思想和方法，發(fā)展多樣能力，進而增強數(shù)學學習效果。