通過不變子群的誘導(dǎo)表示構(gòu)造有限群的不可約表示

胡嘉航,季峻儀,向紅軍,李新征

(1. 北京大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100871;2. 復(fù)旦大學(xué) 物理系,上海 200438)

群論在物理學(xué)中的應(yīng)用主要圍繞求群的所有不等價不可約表示展開[1,2].誘導(dǎo)表示法作為一種求相對復(fù)雜一些的群的表示的重要方法,在群論教學(xué)中多被提及.在現(xiàn)有群論教材中[3-5],關(guān)于誘導(dǎo)表示的說明一般停留在它并不保證其是不可約這個層面.對如何從誘導(dǎo)表示中求不可約表示,往往沒有進一步討論.在凝聚態(tài)物理學(xué)關(guān)心的晶體點群特征標(biāo)表的求解中,教材往往通過Burnside定理、正交性等求出難求的表示.在一些例子中,比如O群不可約表示的求解,有用到誘導(dǎo)表示,但并不是系統(tǒng)的應(yīng)用.實際上,誘導(dǎo)表示方法在系統(tǒng)地求解一個有限群的不可約表示方面是有潛力的[6].

本文介紹一種通過有限群的不變子群的誘導(dǎo)表示構(gòu)造出這個有限群的所有不等價不可約表示的方法.該方法最初由Zak提出[6],被用于含有指數(shù)為2或3不變子群的情況.本文將指出其證明過程中的一點小問題.在此基礎(chǔ)上,我們會將此證明方法推廣到含有任意指數(shù)不變子群的情況.最后,我們會以第一類晶體點群的特征標(biāo)表的求解為例,說明該方法的系統(tǒng)性和簡捷性.

1 子群H的誘導(dǎo)表示可包含群G的所有不可約表示

設(shè)群G有子群H,已知群H的所有不可約表示γj,每個γj可以通過誘導(dǎo)表示構(gòu)造出群G的表示Γj.

首先證明這些誘導(dǎo)表示包含群G的所有不可約表示.根據(jù)Frobenius定理[3],群G的不可約表示Γ在誘導(dǎo)表示Γj中的重復(fù)度,等于群H的不可約表示γj在Γ對H的縮小中的重復(fù)度.由于Γ對H的縮小至少包含群H的某個不可約表示γj,因此這個γj對應(yīng)的誘導(dǎo)表示Γj一定包含Γ.此關(guān)系具體可用圖1描述.也就是說,群G的任意一個不可約表示,都可以通過這種關(guān)系,由其子群的不可約表示推出的誘導(dǎo)表示來包含.

2 子群H為不變子群時其誘導(dǎo)表示特征標(biāo)

接下來考察這些誘導(dǎo)表示中所包含的具體的不可約表示的情況,計算特征標(biāo)是最有效的方法.設(shè)子群H為不變子群,群G階為n,H階為m.這時,可以將群G按H進行陪集分解為{v0H,v1H,…,vl-1H},其中l(wèi)=n/m.記Γj和γj對應(yīng)的特征標(biāo)分別為χj和ξj,則Γj對應(yīng)群G元素g的特征標(biāo)為[3]

(1)

其中

(2)

從這里開始需要用到不變子群的性質(zhì).在群G里,由于不變子群H的所有同類元素都屬于群H,因此式(1)可以寫成

(3)

3 不變子群H指數(shù)為2時其不可約表示與群G不可約表示的關(guān)系

由式(3)可知,要分析誘導(dǎo)表示包含不可約表示的情況,需要根據(jù)陪集分解(即商群)的結(jié)構(gòu)進行分類討論.首先討論不變子群指數(shù)為2,即l=2的情況,這種情況下能得到簡單的結(jié)論.

l=2的情況下,設(shè)群G陪集分解為{H,vH},γj對應(yīng)的誘導(dǎo)表示Γj的特征標(biāo)為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中d為表示的的維數(shù).相應(yīng)的其他群元可以表示成sh,其中h∈H,其表示矩陣為A(s)A(h),對應(yīng)的特征標(biāo)為

(9)

圖2 不變子群H指數(shù)為2時群H和群G表示的對應(yīng)關(guān)系

4 不變子群H指數(shù)更高時其不可約表示與群G不可約表示的關(guān)系

(10)

(11)

我們還希望知道商群G/H中其它元素對應(yīng)表示的等價關(guān)系.可以看到對任意wkH∈G/H,uiH∈P,ujH∈P,都有

(12)

即(uiH)(wkH)和(ujH)(wkH)對應(yīng)同一個表示.因此,將商群G/H對群P作陪集分解{P(wkH)},每個陪集內(nèi)的元素給出等價的表示.設(shè)群P階為p,其陪集的個數(shù)為o=l/p,記第k個陪集第i項的元素為vkiH=(uiH)(wkH),可用圖3歸納商群G/H陪集分解結(jié)構(gòu)及其和表示之間等價關(guān)系的聯(lián)系.

圖3 群G/H陪集分解結(jié)構(gòu)及其和表示之間等價關(guān)系的聯(lián)系

(13)

因此,Γj包含可約表示的情況取決于p.上一節(jié)討論的2種情況即分別對應(yīng)p=1和p=2.

如果p>1,則Γj可能包含多個不可約表示.設(shè)Γj含Nj個不可約表示,其中含第a個表示ta次,則

(14)

如果p=2或3,則存在唯一一種平方和分解方法ta=1,Nj=2或3,即Γj包含2或3個不等價不可約表示,每個包含一次,結(jié)論是確定的.這也是Zak討論l=2或3的情況取得成功的原因,在那里p至多為3(實際上這已經(jīng)覆蓋了凝聚態(tài)物理學(xué)中絕大部分的情況).對于p>3的情況,有多種平方和分解方式,則需要結(jié)合其他方法(如Burnside定理,不等價不可約表示個數(shù)等于類個數(shù))推出包含不等價不可約表示的情況.

(15)

對于其他群元的表示則需要結(jié)合χj(g)=0以及其他條件得出.

圖4 不變子群H指數(shù)更高時群H和群G表示的對應(yīng)關(guān)系

5 晶體第一類點群特征標(biāo)表的求解

晶體點群特征標(biāo)表的求解是物理專業(yè)群論教學(xué)中的一個關(guān)鍵內(nèi)容,而第一類點群的特征標(biāo)表可以直接導(dǎo)出第二類點群的特征標(biāo)表[3].因此,以下以第一類點群特征標(biāo)表的求解為例,展示本文所述方法的應(yīng)用.這個方法可以讓我們從簡單群開始遞進地構(gòu)建出所有點群的不可約表示,同時展現(xiàn)出群和不變子群不可約表示之間的緊密聯(lián)系,在應(yīng)用上也非常簡便.

第一類點群中的Cn群表示是平凡的,我們從Dn群開始求解.

D2群:不變子群為C2群,l=2,特征標(biāo)如表1.

表1 C2群特征標(biāo)表

表2 D2群特征標(biāo)表

D3群:不變子群為C3群,l=2,特征標(biāo)如表3.

表3 C3群特征標(biāo)表

表4 D3群特征標(biāo)表

D4群:不變子群為C4群,l=2,特征標(biāo)如表5.

表5 C4群特征標(biāo)表

表6 D4群特征標(biāo)表

D6群的求法和D4群幾乎相同,不再贅述.(實際上D2n群,D2n+1群各自結(jié)構(gòu)都相似,用本文所述方法可類似地求出)

表7 T群特征標(biāo)表

表8 O群特征標(biāo)表

至此我們已遞進地求得所有第一類點群的特征標(biāo)表.從求解的過程中可以看到,對每個點群,僅僅知道其不變子群特征標(biāo)表以及類的對應(yīng)關(guān)系,就可以直截了當(dāng)?shù)貙懗銎涮卣鳂?biāo)表,且除最后求O群時用了正交性關(guān)系外,其他點群的求解都沒有用到其他技巧.

6 結(jié)論

我們給出了通過不變子群所有不等價不可約表示的誘導(dǎo)表示求有限群所有不等價不可約表示的一般性方法,該方法對于不變子群p=2或3的表示能得到很好的結(jié)果,對于更復(fù)雜的表示也能對不變子群誘導(dǎo)表示和群不可約表示的關(guān)系給出一定的預(yù)言.通過求解第一類點群特征標(biāo)表的例子可以看出,該方法具有充分的系統(tǒng)性和簡捷性,且有助于進一步認(rèn)識誘導(dǎo)表示的可約性情況,在群論課程的教學(xué)中有應(yīng)用的空間.