促進數(shù)學(xué)新授課新知生成的課例研究

盧 勇

中學(xué)教學(xué)應(yīng)進一步強化基礎(chǔ)概念的教學(xué)，強調(diào)對于知識、概念的本質(zhì)的深入理解，夯實學(xué)生的知識地基，使學(xué)生能夠做到真懂會用，掌握進一步學(xué)習(xí)的工具。［1］中學(xué)教學(xué)要在培養(yǎng)學(xué)生的知識見識上下功夫，在數(shù)學(xué)知識方法應(yīng)用的靈活性和創(chuàng)造性上下功夫，在培養(yǎng)關(guān)鍵能力上下功夫。［2］因此，在高中數(shù)學(xué)新授課教學(xué)中，教師要讓學(xué)生明晰新知的來龍去脈，讓新知的生成有理有據(jù)，在知識生成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。

學(xué)習(xí)即研究，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)按研究的思維過程與思維方式展開，通過創(chuàng)設(shè)符合數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律（數(shù)學(xué)的邏輯）和學(xué)生思維規(guī)律及認(rèn)知特點（心理的邏輯）的系列化情境與問題，引導(dǎo)學(xué)生開展高質(zhì)量的數(shù)學(xué)研究活動。這種以培養(yǎng)學(xué)生理性思維為目標(biāo)的數(shù)學(xué)研究活動，要努力做到情境適切、方案科學(xué)、細(xì)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn)、學(xué)以致用。

一、情境適切彰顯研究的必要性

在教學(xué)活動中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題。設(shè)計合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題是有挑戰(zhàn)性的，但也為教師的實踐創(chuàng)新提供了平臺。

教師依托具體的情境，提出學(xué)生力所能及又富于挑戰(zhàn)性的問題，有助于學(xué)生理性思維的提升。教師提出的問題要具有以下特征：（1）目的明確，即所提出的問題要緊緊圍繞當(dāng)前的教學(xué)任務(wù)，使學(xué)生的注意力集中在教學(xué)任務(wù)上；（2）反映本質(zhì)，即問題要直接反映所學(xué)新知識的本質(zhì)特征，要能引導(dǎo)學(xué)生的思維指向教學(xué)任務(wù)；（3）簡明易懂，即學(xué)生不會因為問題的字面意思難懂而發(fā)生理解困難；（4）系統(tǒng)連貫，問題應(yīng)按數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，以相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法為主線，組成一個循序漸進的、具有內(nèi)在聯(lián)系的問題體系。

案例1：“有限樣本空間與隨機事件”（情境創(chuàng)設(shè)部分）

師：如果拋一次硬幣，觀察正面向上的結(jié)果有幾種可能？結(jié)果確定嗎？如果重復(fù)拋100次，并統(tǒng)計它們的結(jié)果，又會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？

教師播放一段由GeoGebra 制作的拋硬幣100 次模擬試驗動畫，學(xué)生從中體會一次試驗結(jié)果的偶然性和多次重復(fù)試驗結(jié)果的規(guī)律性。

師：我們再來看一個更為有趣的情境。教師先介紹隨機數(shù)與隨機點構(gòu)建的規(guī)則，有一個正三角形，三個頂點分別標(biāo)作A1，A2，A3，準(zhǔn)備一個骰子，只有1、2、3 三種點數(shù)，在正三角形內(nèi)部任取一點，記作P0。第一步，拋擲骰子一次，1、2、3 中產(chǎn)生一個隨機數(shù)i（i=1，2，3），連接P0Ai，取P0Ai的中點記作P1。第二步，再次拋擲骰子一次，1、2、3 中產(chǎn)生一個隨機數(shù)i（i=1，2，3），連接P1Ai，取P1Ai的中點記作P2，以此類推，得到點P3，P4，…，Pn。這些點的產(chǎn)生具有隨機性嗎？你看出這些點的分布有什么規(guī)律性嗎？

教師播放一段由Matlab編程制作的三千余個隨機點分布規(guī)律的視頻，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)隨機點的分布具有明顯的規(guī)律性，呈著名的謝爾賓斯基三角形的形狀。（如圖1）

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)以上現(xiàn)象的共同特征：就一次觀測而言，出現(xiàn)哪種結(jié)果具有偶然性；但在大量重復(fù)觀測下，結(jié)果又具有一定規(guī)律性的現(xiàn)象，我們稱之為隨機現(xiàn)象。

師：初中時，你們對隨機事件的認(rèn)識更多是一些感性的認(rèn)識。高中階段，我們將結(jié)合實例，從理性的角度刻畫和研究隨機現(xiàn)象。（引出本節(jié)課的課題“有限樣本空間與隨機事件”）

【設(shè)計意圖】概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，為人們提供了從不確定角度認(rèn)識客觀世界的思維模式和解決問題的方法。概率課程承擔(dān)的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機現(xiàn)象的能力?；谡w單元化教學(xué)的需要，本節(jié)課作為高中概率單元的起始課，兼具知識預(yù)備和單元導(dǎo)引的雙重價值。上述教學(xué)片段教師分別選擇熟悉和有趣的兩個情境，引導(dǎo)學(xué)生歸納獲得隨機現(xiàn)象的共同特征，有利于提升學(xué)生進一步研究隨機現(xiàn)象的好奇心，體會隨機思想，明確研究對象。

二、方案科學(xué)彰顯研究的合理性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思維方法的學(xué)習(xí)。但在教學(xué)實踐中，不少課堂教學(xué)過程雜亂無序，沒有貫穿課堂始終的教學(xué)主線，缺乏有結(jié)構(gòu)的、邏輯關(guān)聯(lián)、層層遞進且能啟迪學(xué)生思維的問題引領(lǐng)，教學(xué)隨意性很大，“思維的教學(xué)”更是奢談。教師應(yīng)對數(shù)學(xué)知識的背景、抽象、推理過程進行“本源性”思考，設(shè)計科學(xué)的研究方案，用高觀點、思想性去引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建課堂教學(xué)主線，讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中，領(lǐng)悟思考方法進而學(xué)會學(xué)習(xí)。案例2：“斐波那契數(shù)列”（性質(zhì)探究部分）

問題1：等差、等比數(shù)列的研究路徑是什么？

問題2：你認(rèn)為應(yīng)該怎樣研究斐波那契數(shù)列的項與和的性質(zhì)？

【設(shè)計意圖】從數(shù)列大單元的角度，讓學(xué)生回顧等差數(shù)列、等比數(shù)列的研究過程，探尋數(shù)列研究的一般路徑，為接下來研究斐波那契數(shù)列找準(zhǔn)方向。

學(xué)生活動：自主探究斐波那契數(shù)列中的項的特征、項的性質(zhì)、和的性質(zhì)。

活動方式：小組討論，合作探究，自主展示，小組糾錯，自我完善。

【設(shè)計意圖】一是讓學(xué)生掌握研究的方法：特殊到一般，歸納證明猜想；二是從數(shù)列大單元的角度，熟練運用研究數(shù)列的一般方法：迭代法、定義法、累加法、錯位相減法等探究斐波那契數(shù)列的性質(zhì)；三是讓學(xué)生感受相比等差、等比數(shù)列，斐波那契數(shù)列所具有的性質(zhì)更加豐富，其推導(dǎo)和研究的路徑也更為多樣。

三、細(xì)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn)彰顯研究的完備性

細(xì)節(jié)決定成敗。數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)當(dāng)安排概念的“精致過程”，對概念內(nèi)涵進行“深加工”，對概念要素作具體界定，讓學(xué)生在對概念的正例、反例作判斷的過程中，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié)。［3］這樣不僅能讓學(xué)生深入理解當(dāng)前知識，還能為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，更能培養(yǎng)學(xué)生思維縝密、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的理性精神。

案例3：“數(shù)列的概念及表示”（數(shù)列概念理解部分）

師：我們以數(shù)列1，2，4，8，16，…為例，來檢驗下同學(xué)們是否掌握了數(shù)列的有關(guān)概念。

問題1：該數(shù)列的首項是什么？對應(yīng)的序號呢？2，4，8，16 對應(yīng)的序號呢？序號n對應(yīng)的就是第n項an，具體an是什么呢？

師：顯然an=2n-1反映了這個數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系。一般地，如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式。

追問：如何求a101呢？你是如何認(rèn)識符號“an”的？

【設(shè)計意圖】在師生交流的基礎(chǔ)上，學(xué)生認(rèn)識到符號“an”既是“確定的”又是“任意的”，即an表示的是數(shù)列的第n項，同時作為通項公式an意味著對數(shù)列中的每一項都是適用的。

師：通過前面的分析，序號1 與數(shù)列中的項“1”對應(yīng)，序號2 與數(shù)列中的項“2”對應(yīng)，序號3與數(shù)列中的項“4”對應(yīng)……這種對應(yīng)關(guān)系同學(xué)們熟悉嗎？之前的學(xué)習(xí)中同學(xué)們接觸過嗎？

為了分析IGBT的開路對電路造成的影響我們假設(shè)圖2中的In方向為電流的正向,首先分析T1的開路故障(如圖2所示)。當(dāng)電流In為正方向時,T1發(fā)生了斷路故障,為了保證Ln的電流連續(xù)性,電流In只能通過D1流向直流側(cè)。那么由以上的分析可知在電流In為正向極性時,如果T1發(fā)生了斷路故障并不會影響In。然而,當(dāng)電流In的極性變成負(fù)極性時,電流In不再能夠通過D1進行續(xù)流,那么必然會對In產(chǎn)生影響。綜合單相PWM的開關(guān)指令,判斷如下3種開關(guān)指令:(1010),(1001),(1000)符合上面的分析。

生：這種對應(yīng)關(guān)系應(yīng)該是函數(shù)。

問題2：數(shù)列是函數(shù)嗎？（小組討論）

學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)：數(shù)列中，每一個序號n都有唯一的項an與之對應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，所以數(shù)列是函數(shù)。

問題3：通項 公式為an=2n-1的數(shù)列{an}與f（x）=2x-1是否為同一個函數(shù)？

生：兩者的對應(yīng)關(guān)系是一致的，但定義域不同，an=2n-1中的n只能取正整數(shù)，而f（x）=2x-1的定義域為R，所以它們不是同一個函數(shù)。

問題4：那數(shù)列是一個什么樣的函數(shù)呢？從函數(shù)的觀點，談?wù)勀愕恼J(rèn)識。

教師在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上總結(jié)完善，得到數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)。從定義域上看，數(shù)列的定義域是正整數(shù)集或其有限子集{1，2，…，k}；就對應(yīng)關(guān)系而言，數(shù)列的通項公式就是數(shù)列（函數(shù)）的解析式，即an=f（n）；函數(shù)值相應(yīng)的是數(shù)列中的項f（1），f（2），…，f（n），…。

【設(shè)計意圖】辨析數(shù)列的本質(zhì)，厘清數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系是本課的難點，也是后續(xù)學(xué)習(xí)中運用函數(shù)觀點解決數(shù)列問題的基礎(chǔ)。在處理方式上，由特殊到一般、由具體到抽象的方法貫穿始終。教師首先以具體數(shù)列為研究抓手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到所學(xué)函數(shù)知識，感悟數(shù)列的函數(shù)特征，進而開展一般性探究，根據(jù)函數(shù)概念，明晰數(shù)列的本質(zhì)就是函數(shù)。

四、學(xué)以致用彰顯研究的有效性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強調(diào)學(xué)以致用，數(shù)學(xué)應(yīng)用既包含數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識之間的關(guān)聯(lián)與交互，也包含以數(shù)學(xué)作為工具，在自然科學(xué)乃至人文社會科學(xué)中的交叉應(yīng)用。通過數(shù)學(xué)應(yīng)用可以鞏固新知識的學(xué)習(xí)，檢查新概念的掌握程度，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，促進真懂真會。例如，天文觀測、歷法推算和航海的發(fā)展推動人們對球面進行研究，從而產(chǎn)生了球面三角學(xué)，出于間接測量、測繪工作的需要又出現(xiàn)了平面三角學(xué)。正余弦定理的出現(xiàn)更是人類文明發(fā)展數(shù)學(xué)文化中的一顆耀眼的寶石，既解決了很多實際問題，又在數(shù)學(xué)文化中展現(xiàn)了迷人的魅力。

案例4：“正余弦定理的應(yīng)用——測量距離問題”（主問題設(shè)計）

問題：解三角形在測量上有著廣泛的應(yīng)用。你能設(shè)計出圖2 中三種實際情況下測量A、B 兩點間距離的方案嗎？

解決方案圖示：

（圖3）

【設(shè)計意圖】前兩種情況相對比較基礎(chǔ)，學(xué)生直接構(gòu)造三角形，運用正弦定理和余弦定理可以直接解決。對于第三種情況A，B兩地均不可到達(dá)，借助前兩個問題的求解經(jīng)驗、建立的基本模型，我們需要學(xué)生明白這種情況求解的過程，讓學(xué)生感悟內(nèi)蘊于其中的化歸數(shù)學(xué)思想方法。

章建躍先生指出，要努力提高數(shù)學(xué)教學(xué)的品位。這就要求教師在日常教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)新知為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷明確研究的問題、獲得研究的對象、確定研究的內(nèi)容、選取研究的方法、建構(gòu)研究的過程、獲得研究的結(jié)論等完整的數(shù)學(xué)思考過程，讓新知生成有理有據(jù)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展理性思維。