相控陣測(cè)控技術(shù)(三):相控陣連續(xù)閉環(huán)角跟蹤的隨機(jī)誤差*

劉嘉興

(中國(guó)西南電子技術(shù)研究所,成都 610036)

0 引 言

相控陣的連續(xù)閉環(huán)角跟蹤是一個(gè)新的課題,筆者已在文獻(xiàn)[1]中對(duì)此進(jìn)行了綜述,并在文獻(xiàn)[2]中對(duì)其進(jìn)行了分析,但目前尚未見到分析其隨機(jī)誤差的資料,是一個(gè)需要彌補(bǔ)的空白,本文將對(duì)其進(jìn)行分析。連續(xù)閉環(huán)角跟蹤的角誤差提取方案主要有相位和差單脈沖和幅度和差單脈沖兩種。兩者的隨機(jī)誤差相差不多,但后者需要形成4個(gè)指向相互偏離的波束,設(shè)備較為復(fù)雜;前者則不需要這個(gè)四波束形成部件,設(shè)備較為簡(jiǎn)單,特別是在要求同時(shí)形成多個(gè)波束來跟蹤多目標(biāo)時(shí),其設(shè)備將大大簡(jiǎn)化,使成本大大降低。鑒于降低相控陣的成本是一個(gè)永恒的重要課題,因此本文將主要介紹相控陣相位和差單脈沖的隨機(jī)誤差。

相比于機(jī)掃天線的角跟蹤,相控陣角跟蹤的隨機(jī)誤差存在一些特殊的誤差源,包括電掃描的增益特性引起的天線增益降低使相控陣的輸出信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)下降、電掃描使相位和差單脈沖系統(tǒng)的基線變短導(dǎo)致角跟蹤的靈敏度降低、相控陣多陣元通道幅相不一致性導(dǎo)致的合成信噪比下降、數(shù)字化帶來的量化隨機(jī)誤差、相控陣的全電子遞歸累加環(huán)對(duì)動(dòng)態(tài)滯后變化的影響等。本文將在筆者已連載發(fā)表的文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上,對(duì)這些特殊問題進(jìn)行分析。

1 熱噪聲引入的隨機(jī)誤差

下面分析接收系統(tǒng)內(nèi)部熱噪聲引入的隨機(jī)誤差。

相控陣相位和差單脈沖角跟蹤系統(tǒng)角誤差提取的原理框圖如圖1所示,其中子陣I和子陣II是相位中心相距為D的兩個(gè)測(cè)角子陣,它們構(gòu)成一個(gè)相位干涉儀。兩測(cè)角子陣的信號(hào)合成器輸出端有功率為S的信號(hào)和功率為N的熱噪聲,該噪聲是引入熱噪聲隨機(jī)誤差的誤差源。合成器輸出的合成信號(hào)經(jīng)移相、放大等處理后送至和差器,將兩測(cè)角子陣的相位差變換成了差路信號(hào)的幅度。和路與差路信號(hào)經(jīng)放大、π/2移相和角誤差檢測(cè)器后輸出角誤差信號(hào),其中的隨機(jī)信號(hào)分量會(huì)使波束抖動(dòng)形成角跟蹤隨機(jī)誤差。

圖1 相控陣角跟蹤隨機(jī)誤差信號(hào)形成的原理

圖1中,對(duì)于合成器輸出的熱噪聲,當(dāng)中頻帶寬遠(yuǎn)小于中頻頻率時(shí),這種窄帶噪聲可表示為

N(t)=Vn(t)sin[ω0t+φn(t)]。

(1)

式中:Vn(t)為幅度隨機(jī)變量;φn(t)為在0～2π內(nèi)取值的相位隨機(jī)變量。上式可展開為下列兩個(gè)正交分量:

N(t)=x(t)cosω0t+y(t)sinω0t。

(2)

中頻載波信號(hào)可以表示為

(3)

窄帶噪聲為加性噪聲,它與信號(hào)相加為

R(t)sin[ω0t+φ(t)]。

(4)

式中:

(5)

相位噪聲的方差為

(6)

根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)字特征的定理:常量與隨機(jī)變量乘積的方差等于該常量的平方與隨機(jī)變量方差的乘積[3],故當(dāng)式(6)的N用方差量度時(shí),相位噪聲也是方差。

式(6)給出了相位噪聲方差與S/N的關(guān)系,據(jù)此,對(duì)于圖1中的測(cè)角子陣I,當(dāng)它在中頻帶寬BI中的輸出信噪比為(S/N)1時(shí),則中頻載波的相位抖動(dòng)均方根誤差值為

(7)

同理,對(duì)測(cè)角子陣II有

(8)

(9)

相位檢波檢測(cè)出上式的相位噪聲,它是一個(gè)低頻噪聲,其基帶帶寬為BI/2,經(jīng)過角跟蹤環(huán)路濾波后的輸出為

(10)

式中:BI為中頻等效噪聲帶寬;BA為角跟蹤環(huán)路等效噪聲帶寬。

角跟蹤環(huán)路跟蹤時(shí),會(huì)使相控陣天線偏離基準(zhǔn)軸σθ1角度以抵消上式的相位誤差值,使角誤差檢測(cè)器輸出為零,從而使環(huán)路工作到新的穩(wěn)定點(diǎn)。由于角跟蹤誤差的角度很小,熱噪聲引起的相控陣角跟蹤隨機(jī)誤差可近似為

(11)

上式為目標(biāo)在陣面法線方向時(shí)的角跟蹤熱噪聲誤差,D為相位干涉儀的基線長(zhǎng)度,這里是陣面上兩個(gè)測(cè)角子陣相位中心點(diǎn)間的距離,它等于相控陣全口徑長(zhǎng)度L的一半。當(dāng)目標(biāo)偏離陣面法線θ時(shí),角跟蹤的作用等效為投影面轉(zhuǎn)動(dòng)θ[1],在投影面上的基線長(zhǎng)度將變?yōu)镈(cosθ),式(11)中的D也要相應(yīng)變?yōu)镈(cosθ)。

同樣的情況,式中的(N/S)Σ1和(N/S)Σ2也為目標(biāo)在陣面法線方向時(shí),兩個(gè)測(cè)角子陣各自輸出的合成噪信比。當(dāng)目標(biāo)偏離法線θ時(shí),相控陣存在增益掃描損失,其增益掃描因子為(cosθ)n,其中n的典型值為1～1.3,理想值為1[4],故(S/N)Σ將按cosθ減小,這時(shí)式(11)中的(N/S)Σ1也相應(yīng)變?yōu)?N/S)Σ1(1/cosθ),同理(N/S)Σ2變?yōu)?N/S)Σ2(1/cosθ)。

另外,目標(biāo)偏離指向軸也會(huì)使S/N下降,這是因?yàn)橛霉?11)計(jì)算時(shí),式中的S/N是天線方向圖中增益最高的指向軸方向所接收的S/N,而跟蹤目標(biāo)時(shí)是電軸指向目標(biāo)的,由于指向軸與基準(zhǔn)軸的偏差以及基準(zhǔn)軸與電軸間的跟蹤誤差導(dǎo)致電軸偏離指向軸,從而使接收到的S/N下降,下降值與偏移角Δθ有關(guān),下降因子為G(θ+Δθ)/G(θ),G(θ)為指向軸方向的天線增益。這時(shí)式(11)中的[(N/S)Σ1+(N/S)Σ2]要相應(yīng)地乘以[G(θ)/G(θ+Δθ)]。

將上述對(duì)基線和N/S的討論結(jié)果代入式(11)可得到熱噪聲引起的角跟蹤隨機(jī)誤差的表達(dá)式如下:

(12)

式中:D為陣面上的基線長(zhǎng)度;θ為目標(biāo)偏離陣面法線的角度;Δθ為電軸與指向軸之間的偏離角;G(θ)為指向軸方向的天線增益;G(θ+Δθ)為偏離Δθ方向時(shí)的天線增益。公式(12)是相控陣角跟蹤熱噪聲誤差的一個(gè)較完整的表達(dá)式,可用作工程設(shè)計(jì)計(jì)算。

需要指出的是,式(12)中的S/N是有了合成損失后的S/N,合成損失包括:各T/R通道間和陣元間的相移和增益不一致性,可用提高穩(wěn)定性和校相、校增益以及數(shù)字化來予以改善;增益不一致還可在各T/R通道增加自動(dòng)增益控制(Automatic Gain Control,AGC)來解決,但會(huì)使系統(tǒng)復(fù)雜。測(cè)角子陣中各陣元的增益不一致時(shí)(例如曲面陣中各陣元的指向不同),它引起各陣元通道的輸出信噪比不同,致使合成信噪比不是最佳。為使合成信噪比為最大,可采用最大比值合成,即在各陣元通道中根據(jù)各自的信噪比設(shè)置不同的最大比值加權(quán)系數(shù),使信噪比大的陣元通道對(duì)合成信噪比的貢獻(xiàn)大(加權(quán)衰減小),而信噪比小的通道的貢獻(xiàn)小(加權(quán)衰減大),從而獲得最大的合成信噪比[5]。

在得出上述相控陣相位和差單脈沖的熱噪聲跟蹤誤差表達(dá)式后,可以與相控陣幅度和差單脈沖進(jìn)行比較。

對(duì)于幅度和差單脈沖體制,其熱噪聲引起的角跟蹤誤差為[6]

(13)

式中:Km為角誤差檢測(cè)斜率,對(duì)于比幅單脈沖四喇叭拋物面天線,目前工程實(shí)踐中給出的實(shí)際值在1.2～1.57之間[6-7];(S/N)Σ為全陣合成信噪比。

當(dāng)采用口徑為L(zhǎng)=2D的相控陣天線時(shí),波束寬度為

(14)

將式(14)代入式(13)得

(15)

為便于比較,在兩個(gè)測(cè)角子陣輸出S/N相同的條件下進(jìn)行討論,這對(duì)于理解其物理實(shí)質(zhì)有指導(dǎo)意義。這時(shí)相位和差單脈沖的角跟蹤熱噪聲誤差可由公式(11)得到,即

(16)

式中:(S/N)Σ1為子陣I和子陣Ⅱ的合成信噪比;(S/N)Σ為全陣合成信噪比。

根據(jù)上述,就可以在相同天線口徑L=2D、λ、BA、BI和(S/N)Σ的條件下,對(duì)公式(15)和公式(16)進(jìn)行比較。用1.2～1.57之間的Km對(duì)比式(15)和式(16)可見,如比幅單脈沖的Km能達(dá)到1.57,則它的熱噪聲角跟蹤誤差均方根值將比相位和差單脈沖要小13%;若為1.2,則其誤差將要大16%,所以這兩種方案的熱噪聲角跟蹤誤差是差不多的。這是因?yàn)殡m然相位和差單脈沖只用了半個(gè)陣面的S/N,但相位干涉儀的角靈敏度高,抵消了S/N的損失。但相位和差單脈沖方案大大簡(jiǎn)化了多波束形成設(shè)備,從而降低了成本,而降低成本,歷來就是相控陣的一個(gè)重大課題。而且相位和差單脈沖的誤差信號(hào)是由信號(hào)的空間時(shí)延形成的,而幅度和差單脈沖的誤差信號(hào)是由設(shè)備的差波束形成的,并隨掃描角而變,因此設(shè)備制造引入的誤差源較多,所以相控陣角跟蹤多采用相位和差單脈沖方案。

除此之外,噪聲中還有信號(hào)的相位噪聲(短穩(wěn))。由于兩個(gè)測(cè)角子陣輸出信號(hào)的短穩(wěn)是相干的,在跟蹤對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)時(shí),這兩個(gè)相干信號(hào)相差90°,它們相乘的輸出為零,不會(huì)產(chǎn)生誤差信號(hào),因此理想情況時(shí)不會(huì)產(chǎn)生角跟蹤誤差。

2 隨機(jī)誤差分析

2.1 動(dòng)態(tài)滯后變化引入的隨機(jī)誤差

當(dāng)目標(biāo)的角速度、角加速度變化時(shí)引起相應(yīng)的誤差隨時(shí)間變化,它表現(xiàn)為一種隨機(jī)誤差。角速度變化和角加速度引起的誤差變化由下式確定:

(17)

(18)

它們總的誤差為

ΔθΣ(t2)=Δθv(t2)+Δθa(t2)。

(19)

由公式(17)～(19)可求得在給定的目標(biāo)動(dòng)態(tài)下(即角速度、角加速度隨時(shí)間的變化值)動(dòng)態(tài)誤差變化值ΔθΣ與時(shí)間的關(guān)系,如表1所示。

表1 動(dòng)態(tài)滯后變化與時(shí)間的關(guān)系

從表1可知,由于目標(biāo)的動(dòng)態(tài)是隨機(jī)變化的,使ΔθΣ值隨時(shí)間的變化是一個(gè)隨機(jī)變量。在已給定目標(biāo)速度和加速度變化值的條件下可計(jì)算得出上表,據(jù)它求出它的數(shù)學(xué)期望、方差、最大值、最小值,從而得到該隨機(jī)誤差的表征數(shù)字。

需要指出的是,由于相控陣角跟蹤環(huán)路是一個(gè)全電子環(huán)路,沒有機(jī)械諧振頻率和機(jī)電慣性環(huán)節(jié)的限制,其K和ωn可以做得較大,動(dòng)態(tài)誤差可以做得較小,從而動(dòng)態(tài)誤差的變化也較小,它引入的隨機(jī)誤差也就較小。

相控陣角跟蹤系統(tǒng)是一個(gè)離散自動(dòng)控制系統(tǒng),它對(duì)移相器的控制信號(hào)是離散采樣的,采樣間隔為T,對(duì)移相器的控制時(shí)間為τ,在隨后的(T-τ)時(shí)間段內(nèi)移相值不變。離散自動(dòng)控制系統(tǒng)的理論指出,當(dāng)采樣頻率1/T大于自動(dòng)調(diào)節(jié)環(huán)路帶寬的10倍以上時(shí),離散自動(dòng)控制系統(tǒng)可按連續(xù)自動(dòng)控制系統(tǒng)分析[8]。但是,它們的跟蹤誤差是有區(qū)別的,如圖2所示。

圖2為二階II型角跟蹤環(huán)路的角跟蹤誤差曲線近似圖,圖中實(shí)例為跟蹤一個(gè)角度勻速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)θi(t),當(dāng)τ?T時(shí),宏觀表現(xiàn)為如圖所示的階梯狀跟蹤,與連續(xù)自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)比較是一個(gè)階梯式的逼近,從而引入了圖示的附加角跟蹤誤差Δθm,它是一個(gè)隨時(shí)間變化的周期性的波動(dòng)信號(hào),波動(dòng)的周期為采樣周期,波動(dòng)的幅度隨目標(biāo)的動(dòng)態(tài)變化而變化。對(duì)于圖2所示情況,當(dāng)T?τ時(shí),有

(20)

平均值為

(21)

由式(20)和式(21)可以求出當(dāng)目標(biāo)角速度和角加速度隨時(shí)間變化時(shí)Δθ隨時(shí)間變化的值,可以列出類似表1的表格。從式(20)可見,減小T(即提高采樣1/T)可以減小這項(xiàng)角跟蹤離散誤差。

2.2 移相器量化誤差引入的隨機(jī)誤差

由于各移相器的量化相位噪聲互相獨(dú)立,由文獻(xiàn)[2]的公式(19)可得測(cè)角子陣I輸出的合成量化相位噪聲的均方差為

(22)

同理,測(cè)角子陣II輸出的合成量化相位噪聲為

(23)

式中:n1和n2為兩測(cè)角子陣的陣元數(shù)。φ1Σ和φ2Σ相互獨(dú)立,兩者之差為其均方和,故兩測(cè)角子陣輸出信號(hào)相位差的方差為

(24)

(25)

由文獻(xiàn)[2]中的公式(12)可得它引起的測(cè)角隨機(jī)誤差為

(26)

2.3 多徑反射引入的隨機(jī)誤差

當(dāng)反射信號(hào)由副瓣進(jìn)入時(shí),多徑誤差信號(hào)是一個(gè)隨仰角變化的波動(dòng)信號(hào),其均方根值可用下式估算[6]:

(27)

式中:ρ為反射系數(shù);GSL為主瓣增益與反射信號(hào)方向副瓣增益的比值;θ0.5為主瓣寬度。

當(dāng)反射信號(hào)是由主瓣進(jìn)入時(shí),其跟蹤誤差主要是目標(biāo)信號(hào)和反射信號(hào)相互干涉引起的閃爍誤差,其誤差較難計(jì)算,可用下式估算[6]:

(28)

式中:h為目標(biāo)高度;φ為直達(dá)波與反射波的相對(duì)相位。

關(guān)于多徑干擾信號(hào)的詳細(xì)分析請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[6]。

減少多徑干擾的有效方法是降低多徑方向的天線增益。相控陣天線比較特殊的是,它可采用波達(dá)方向估計(jì)(Direction of Arrival,DOA)技術(shù)估測(cè)出多徑干擾的方向(即空間譜分析),然后用數(shù)字波束形成(Digital Beam Forming,DBF)技術(shù)形成波束啞點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)多徑干擾方向(即空域?yàn)V波),使GSL加大,從而減小多徑干擾引入的跟蹤誤差。

2.4 角度信號(hào)的量化誤差

它由數(shù)字處理過程中的角度信號(hào)的量化引起。例如當(dāng)采用摸擬與數(shù)字混合的角跟蹤環(huán)路時(shí),對(duì)其中的角信號(hào)進(jìn)行量化將引入角度量化誤差,它由下式估算[6]:

(29)

式中:LΔ為量化的最小有效位的值(單位:rad)。

如方案中不存在單獨(dú)的角度量化單元時(shí),該誤差也就不存在。

2.5 陣風(fēng)引起的隨機(jī)誤差

陣風(fēng)是在穩(wěn)態(tài)風(fēng)上的起伏分量,它在天線陣面上產(chǎn)生變動(dòng)力矩,使天線擺動(dòng),導(dǎo)致波束擺動(dòng),從而產(chǎn)生角跟蹤隨機(jī)誤差。風(fēng)力矩與風(fēng)力、風(fēng)速、風(fēng)向、陣面大小及天線的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、框架結(jié)構(gòu)等有關(guān),它的計(jì)算是很復(fù)雜的問題,有時(shí)還要通過風(fēng)洞試驗(yàn)確定,其詳細(xì)分析計(jì)算可參閱資料文獻(xiàn)[6]。

相控陣角跟蹤系統(tǒng)比較特殊的是,它沒有機(jī)械傳動(dòng)結(jié)構(gòu),天線不轉(zhuǎn)動(dòng),很多情況下還有天線罩,所以陣風(fēng)引起的隨機(jī)誤差較小。

6 結(jié)束語

從以上分析結(jié)果可歸納出相控陣相位和差單脈沖角跟蹤隨機(jī)誤差的下列特點(diǎn):

1)相控陣的增益電掃描特性、電軸與指向軸間的偏差、信道的相位和幅度不一致性將引起輸出的合成S/N下降,從而導(dǎo)致熱噪聲隨機(jī)誤差的加大;

2)相控陣電掃描將引起相位干涉儀基線縮短,引起相位干涉儀測(cè)角靈敏度下降,從而導(dǎo)致熱噪聲隨機(jī)誤差的加大;

3)相控陣的數(shù)字化將引起量化噪聲誤差;

4)相控陣角跟蹤是一個(gè)全電子自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng),與機(jī)掃天線系統(tǒng)比較,其動(dòng)態(tài)特性較好,故動(dòng)態(tài)滯后變化引起的隨機(jī)誤差較小,一般可不予考慮;

5)相控陣沒有機(jī)電傳動(dòng)環(huán)節(jié),所以比機(jī)掃天線系統(tǒng)抗風(fēng)能力強(qiáng),故陣風(fēng)引起的隨機(jī)誤差也較小。

除上述特別的誤差項(xiàng)外,相控陣相位和差單脈沖跟蹤的其它隨機(jī)誤差項(xiàng)與機(jī)掃天線幅度單脈沖相當(dāng),可應(yīng)用相關(guān)公式計(jì)算[6,9]。

文獻(xiàn)[1-2]和本文對(duì)相控陣測(cè)控系統(tǒng)的角跟蹤誤差進(jìn)行了分析,下一步將對(duì)其測(cè)速、測(cè)距誤差進(jìn)行討論。