易損件在連續(xù)跌落沖擊載荷作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

伍 瑾, 盧富德, 王 彪, 滑廣軍, 高 德

(1. 湖南工業(yè)大學(xué) 包裝與材料工程學(xué)院,湖南 株洲 412007; 2. 浙江大學(xué) 寧波理工學(xué)院,浙江 寧波 315100)

聚合物泡沫材料被廣泛用作能量吸收材料[1-3],其中發(fā)泡聚乙烯(expanded polyethylene,EPE)由于質(zhì)輕及良好的緩沖效果,被廣泛應(yīng)用于緩沖包裝。針對(duì)聚合物泡沫的緩沖性能,目前已有許多研究[4-5],研究者們常利用材料的緩沖曲線進(jìn)行研究。傳統(tǒng)的緩沖曲線測(cè)定方法耗時(shí)耗力[6],研究者們則嘗試建立模型實(shí)現(xiàn)緩沖曲線的預(yù)測(cè)[7-8]或借助有限元軟件的模型進(jìn)行模擬[9-10],兩者多用于研究材料在單次沖擊下的特性。但實(shí)際情況下,產(chǎn)品在運(yùn)輸過程中會(huì)經(jīng)歷多次跌落沖擊,緩沖材料在多次沖擊下表現(xiàn)出的性能往往與僅考慮單次沖擊的情況有較大不同。目前的緩沖設(shè)計(jì)多基于緩沖曲線,但緩沖曲線不能描述材料在加載-卸載循環(huán)下的變形行為,也不能反映實(shí)際情況下沖擊響應(yīng)對(duì)產(chǎn)品內(nèi)部的易損件的影響。Mills等[12]利用有限元模擬預(yù)測(cè)了低密度閉孔EPE的壓縮沖擊響應(yīng),考慮了EPE在載荷加載再卸載過程下的響應(yīng)情況。Ozturk等[13]利用有限元模擬對(duì)聚苯乙烯泡沫(expanded polystyrene,EPS)在靜態(tài)壓縮加載-卸載循環(huán)下的變形行為進(jìn)行了研究,但他們沒有考慮聚合物泡沫在動(dòng)態(tài)壓縮下的變形行為。Lu等[14]引入了特殊函數(shù)來描述EPE在加載-卸載循環(huán)條件下的力學(xué)響應(yīng),并建立了考慮應(yīng)變率及殘余應(yīng)變的本構(gòu)模型,該模型可以描述EPE在多次動(dòng)態(tài)沖擊下的變形行為。有文獻(xiàn)[15-16]建立了易損件與產(chǎn)品主體耦合的常見模型,但目前還未見具有易損件產(chǎn)品受到連續(xù)跌落載荷下EPE緩沖性能分析與設(shè)計(jì)。

在實(shí)際情況中,包含易損件的產(chǎn)品在多次沖擊下能否保持完好,需要定量分析產(chǎn)品模型與緩沖材料之間的相互作用。本文根據(jù)EPE在加載-卸載循環(huán)條件下的一維本構(gòu)關(guān)系,建立易損件-產(chǎn)品-泡沫緩沖系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程,分析多次跌落對(duì)EPE緩沖性能及含易損件產(chǎn)品的影響。

1 聚乙烯泡沫本構(gòu)模型

基于實(shí)際結(jié)構(gòu)變形的微觀力學(xué)模型復(fù)雜且成本高。因此,在現(xiàn)象學(xué)層面建立本構(gòu)模型時(shí),沒有考慮材料實(shí)際的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和變形行為。假定泡沫體是連續(xù)體,可以用數(shù)學(xué)公式描述其力學(xué)響應(yīng)。根據(jù)Lu等的研究,選取密度是34 kg/m3的EPE(比常見的密度為28 kg/m3的EPE偏硬,應(yīng)力-應(yīng)變曲線多了一個(gè)應(yīng)力平臺(tái)),EPE在加載-卸載循環(huán)條件下的典型響應(yīng)如圖1所示,卸載過程從Q點(diǎn)開始,在R點(diǎn)結(jié)束,接著從R點(diǎn)開始下一個(gè)循環(huán)。

圖1 聚乙烯泡沫在加載-卸載循環(huán)條件下的典型響應(yīng)示意圖

以此建立的EPE的一維宏觀關(guān)系如式(1)～式(3)所示。式(1)為加載階段,式(2)為卸載階段,式(3)為再加載階段

(1)

εre=g1εme+g2

(4)

(5)

(6)

(7)

c2(εre)=J1εre+J2

(8)

因此,在式(1)～式(3)所建的本構(gòu)關(guān)系里,有σY,E,k,a1,a2,a3,a4,g1,g2,k1,k2,k3,k4,J1,J2等15個(gè)待識(shí)別參數(shù)來表征EPE加載-卸載階段以及再次加載的復(fù)雜力學(xué)行為,具體參數(shù)如表1所示。

表1 EPE一維本構(gòu)方程參數(shù)值

2 易損件-產(chǎn)品-泡沫緩沖系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于具有易損件的產(chǎn)品,產(chǎn)品可以離散為產(chǎn)品主體與易損件,根據(jù)產(chǎn)品的加速度響應(yīng)可以計(jì)算出易損件的加速度-時(shí)間曲線[17]。由于易損件的質(zhì)量遠(yuǎn)小于產(chǎn)品質(zhì)量,所以不必考慮易損件動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)產(chǎn)品主體的影響規(guī)律。由易損件、產(chǎn)品與泡沫組成的緩沖系統(tǒng)示意圖如圖2所示,分別取產(chǎn)品、易損件的中心位置為坐標(biāo)x,y原點(diǎn),規(guī)定向下為正方向。

圖2 易損件-產(chǎn)品-泡沫緩沖系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于理想的彈塑性材料,應(yīng)力、真實(shí)接觸面積和負(fù)荷的關(guān)系可用式(9)表達(dá)

F=Aσ

(9)

當(dāng)產(chǎn)品跌落后,EPE發(fā)生變形,產(chǎn)品主體產(chǎn)生位移x,易損件產(chǎn)生位移y,此時(shí)EPE的應(yīng)變和應(yīng)變率為

(10)

則產(chǎn)品主體的運(yùn)動(dòng)方程為

(11)

易損件進(jìn)行近似完整的正弦波沖擊過程,則其運(yùn)動(dòng)方程式為

(12)

根據(jù)式(11)及式(12),可得出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)振動(dòng)方程為

2.1 多次沖擊系統(tǒng)加速度響應(yīng)

為研究易損件-產(chǎn)品-泡沫緩沖系統(tǒng)在多次沖擊下的加速度響應(yīng),基于式(13),采用參數(shù)m=10 kg,fs=60 Hz,A=0.02 m2,h=0.045 m,v0=3.43 m/s。可得到系統(tǒng)進(jìn)行連續(xù)三次沖擊下的產(chǎn)品主體加速度響應(yīng)與易損件加速度響應(yīng),如圖3所示。

圖3 產(chǎn)品和易損件加速度響應(yīng)

圖3(a)中產(chǎn)品在第一次沖擊下加速度先進(jìn)行線性增加,再進(jìn)行非線性增加至及速度峰值,之后逐漸降低,最后恒定為零,但第二、第三次沖擊下未出現(xiàn)此行為,并且在第二、第三次沖下加速度峰值明顯增大,說明EPE襯墊在經(jīng)過第一次沖擊后發(fā)生軟化,導(dǎo)致緩沖性能有所下降;加速度峰值左移說明產(chǎn)品加速度更快達(dá)到峰值,緩沖時(shí)間減短,對(duì)產(chǎn)品的緩沖保護(hù)作用減小。圖3(b)中易損件在完成一個(gè)近似完整的正弦波沖擊過程后,開始進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng),后兩次沖擊下的加速度峰值是第一次沖擊下加速度峰值的兩倍。不管是產(chǎn)品還是易損件,它們?cè)诘诙螞_擊和第三次沖擊下的加速度-時(shí)間曲線幾乎重合,說明EPE襯墊在經(jīng)歷第一次沖擊后緩沖性能已經(jīng)大幅降低。

對(duì)第一次沖擊下產(chǎn)品和易損件的加速度響應(yīng)進(jìn)行比較,如圖4所示。易損件和產(chǎn)品幾乎同時(shí)到達(dá)加速度峰值,易損件的加速度峰值要高于產(chǎn)品的加速度峰值,若易損件的固有頻率選擇較小,其峰值將右移。且在產(chǎn)品加速度恒為0后,易損件依舊進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng),說明沖擊對(duì)易損件造成的影響持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)。

圖4 第一次沖擊下產(chǎn)品和易損件加速度響應(yīng)

2.2 不同頻率系統(tǒng)沖擊譜響應(yīng)

為研究易損件-產(chǎn)品-泡沫緩沖系統(tǒng)在不同頻率下的沖擊譜響應(yīng),基于式(13),采用參數(shù)m=10 kg,A=0.02 m2,h=0.045 m,v0=3.43 m/s,給定頻率f的區(qū)間10～80 Hz,得出易損件最大加速度G1m隨頻率f的變化關(guān)系,如圖5所示。根據(jù)圖5所示,G1m隨著f的增大先升高后降低,這是因?yàn)橄到y(tǒng)在特定頻率下發(fā)生共振,在共振頻率下,很小的周期振動(dòng)便可產(chǎn)生很大的振動(dòng),這是由于系統(tǒng)儲(chǔ)存了動(dòng)能。共振使G1m增大,且隨著沖擊次數(shù)的增多,共振時(shí)的頻率右移,在進(jìn)行緩沖設(shè)計(jì)時(shí)需要避免易損件-產(chǎn)品-泡沫緩沖系統(tǒng)發(fā)生共振。

圖5 不同頻率下系統(tǒng)沖擊譜

3 數(shù)值設(shè)計(jì)算例

基于減量化原則來進(jìn)行緩沖包裝設(shè)計(jì)時(shí),常需要通過多次試驗(yàn)來確定最合適的緩沖襯墊橫截面積及厚度。進(jìn)行曲線預(yù)測(cè)可以達(dá)到減少試驗(yàn)周期和試驗(yàn)成本的目的。

給定易損件固有頻率以及極限加速度信息,即可通過求解振動(dòng)方程式(13),得到合適的EPE緩沖襯墊尺寸。給定參數(shù)質(zhì)量m=10 kg,頻率fs=60 Hz,沖擊初速度v0=3.43 m/s,極限加速度aj=120 m/s2,厚度h分別為0.035 m,0.04 m,0.045 m的三種EPE緩沖襯墊?；谑?1)～式(3)及式(13),利用數(shù)值計(jì)算軟件可畫出EPE緩沖曲線圖如圖6所示,連續(xù)跌落兩次下易損件的最大加速度-襯墊面積圖如圖7所示。

圖6 緩沖曲線

圖7 易損件加速度-襯墊面積關(guān)系

基于減量化設(shè)計(jì)原則,緩沖襯墊在達(dá)到要求緩沖作用的前提下應(yīng)盡量選擇較小的尺寸。根據(jù)圖6所示:當(dāng)h=0.035 m時(shí),EPE緩沖襯墊面積為0.041 m2,體積為0.001 435 m3;當(dāng)h=0.04 m時(shí),EPE緩沖襯墊面積為0.022 m2,體積為0.000 88 m3;當(dāng)h=0.045 m時(shí),EPE緩沖襯墊面積為0.017 m2,體積為0.000 765 m3。根據(jù)減量化原則,應(yīng)選擇體積更小的EPE緩沖襯墊,即h=0.045 m,A=0.017 m2。

考慮易損件在多次跌落沖擊下的影響,根據(jù)圖7(b)所示,當(dāng)緩沖襯墊厚度h=0.035 m時(shí),易損件第二次跌落時(shí)加速度超過極限加速度aj,因此不能選擇h=0.035 m的EPE緩沖襯墊。暫擬定EPE緩沖襯墊厚度為0.04 m或0.045 m。取圖7(b)中h=0.04 m和h=0.045 m兩條曲線與G1=aj=120 m/s2的交點(diǎn)A,B。近似地取點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0.012,即橫截面積為0.012 m2,此時(shí)EPE緩沖襯墊體積為0.000 54 m3;點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為0.016,即橫截面積為0.016 m2,此時(shí)EPE緩沖襯墊體積為0.000 64 m3。根據(jù)減量化原則,應(yīng)選擇體積更小的EPE緩沖襯墊,即選擇h=0.045 m,A=0.012 m2為最終設(shè)計(jì)尺寸。根據(jù)易損件加速度-襯墊面積關(guān)系所求出來的襯墊尺寸小于緩沖曲線求出的襯墊尺寸,可以避免產(chǎn)品過度包裝。

4 結(jié) 論

(1)第一次跌落沖擊下,產(chǎn)品的加速度響應(yīng)既有線性階段又有非線性階段,而第二、第三次跌落沖擊下,產(chǎn)品未呈現(xiàn)此現(xiàn)象且加速度峰值明顯增大,說明多次沖擊下EPE緩沖性能降低,保護(hù)作用減小。

(2)系統(tǒng)在特定頻率下會(huì)發(fā)生共振,導(dǎo)致易損件響應(yīng)增大,且該特定頻率會(huì)隨著跌落次數(shù)的增多而增大。

(3)緩沖曲線沒有描述沖擊對(duì)易損件造成的影響,建立易損件-產(chǎn)品-泡沫緩沖系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,利用本構(gòu)關(guān)系可以算出連續(xù)多次載荷下的緩沖設(shè)計(jì)。

(4)在進(jìn)行緩沖設(shè)計(jì)時(shí),結(jié)合不同厚度的易損件加速度-襯墊面積關(guān)系曲線,與緩沖曲線進(jìn)行對(duì)比,能夠避免過度包裝。