基于改進粒子群算法的平面五桿機構尺寸優(yōu)化

楊智棠

（廣西機電技師學院，廣西 柳州 545005）

0 引言

平面五桿機構廣泛應用于機械制造、工程、航天航空等領域，是各種設備傳動部件的重要組成部分，由于五桿機構為兩自由度機械運動，相比起四桿單自由度運動，具有運動端點位置的不確定性以及各關節(jié)點動力學的復雜性的特點，導致機構的運動穩(wěn)定性、傳力性能、位置精度難以得到精確的保證。

針對平面五桿機構的優(yōu)化問題，目前常用的方法有多種基于智能算法的機構優(yōu)化方法，常用的機構優(yōu)化方式有性能圖譜法和目標函數(shù)法[1]。性能圖譜法[2]根據(jù)最優(yōu)目標選取設計參數(shù)，從而得到優(yōu)化的機構。目標函數(shù)法是通過目標函數(shù)、設計變量和約束條件建立數(shù)學模型，然后采用復合形法、增廣拉格朗日乘子法、智能優(yōu)化算法或Adams 優(yōu)化模塊獲得，得到最終設計參數(shù)，即得到優(yōu)質(zhì)的機構尺寸。如章永年[3]采用多目標優(yōu)化算法對五連桿足式機器人腿部機構進行了優(yōu)化設計，王洪濤[4]利用諧波-多目標遺傳優(yōu)化方法對五桿機構進行了結構的改進。李學剛[5]提出基于傅氏級數(shù)的平面五桿機構計時軌跡綜合的代數(shù)求解新方法，該方法通過機構尺寸與連桿曲線諧波參數(shù)間的函數(shù)關系獲得結構的尺寸優(yōu)化求解。但目前大多數(shù)研究都集中到采用單一的目標參數(shù)對五桿機構進行優(yōu)化，或者是以剛度和動力學為目標函數(shù)進行的多目標優(yōu)化，缺乏以桿件的運動狀態(tài)、運動學及動力學穩(wěn)定性作為目標函數(shù)的綜合多目標優(yōu)化。

鑒于此，本文提出針對平面五桿機構運動穩(wěn)定性差，位置精度難以保證的問題，構建了一套基于多目標函數(shù)的平面五桿機構結構尺寸優(yōu)化的設計模型。

1 五桿機構的運動學和動力學理論模型

圖1 為平面五桿機構的示意圖，A點為五桿機構的絕對坐標的原點，l1、l2、l3、l4、l5分別為各個桿件長度，θ1，θ4分別為原動件的夾角，ω1，ω4分別為原動件的角速度，α1，α4分別為加速度，位置C點的位置坐標為（xC，yC），速度為加速度為

圖1 為平面五桿機構示意

1.1 位置分析

根據(jù)封閉矢量法的原理得以下式子：

將各向量投射在直角坐標系上，可以得到C點的位置方程：

將式（2）移項后平方求和，得

式中：A0= 2l（2xD-xB），B0= 2l（2yD-yB），C0=l22+

解式（3）可得：

式（4）中的“+”，“-”表示在AB和DE桿處在同一個位置時，C的位置有兩種可能。

將θ2代入式（1）可求得C點的位置xC，yC，并且可以求得：

1.2 速度分析

式（2）對時間t求導得

則C點的速度,C為：

1.3 加速度分析

對式（5）求導，得

則C點的加速度、為：

2 優(yōu)化設計建模

根據(jù)五桿機構的運動學以及動力學分析，桿的長度是影響工作點運動路徑、運動速度、加速度的主要因素，為了實現(xiàn)運動的平穩(wěn)性，需要求出桿長的最佳長度。為了實現(xiàn)此目標，本文在優(yōu)化過程中，以桿長為設計變量，以速度雅克比矩陣的條件數(shù)、速度變動、加速度變動作為綜合的優(yōu)化目標函數(shù)，通過迭代到滿足設定的迭代次數(shù)作為判定標準，實現(xiàn)求解最優(yōu)桿長的目的。

2.1 設計變量

對于五桿機構，以桿長作為設計變量，在進行設計時，給出初始桿長的初值，即設計變量為，l1，l2，l3，l4，l5，各桿長的初值以及允許變化的范圍見表1。

表1 設計變量

2.2 目標函數(shù)

（1）速度雅克比矩陣的條件數(shù)

平面五桿機構的速度雅克比矩陣

令θ1、θ4分別為已知輸入變量，則式（9）中2、θ3為位置變量，于是有

由此，可以得到平面五桿機構的雅克比矩陣為：

并聯(lián)機構具有位形奇異的固有屬性，其雅克比矩陣容易呈現(xiàn)出病態(tài)特征，容易導致并聯(lián)機構的失真不可控，本文中的雅克比條件數(shù)可以定義為：

并聯(lián)機構的雅克布條件數(shù)隨著機構位形的不同而存在差異，根據(jù)雅克比條件數(shù)的大小來判斷機構的運動狀態(tài)的好壞，其取值范圍為1 到正無窮，當雅克比條件數(shù)等于1 時，其運動狀態(tài)最佳，當雅克比條件數(shù)趨于無窮大時，機構的狀態(tài)處在奇異的不可控制狀態(tài)。為了方便優(yōu)化求解，將雅克比條件數(shù)作為變量構成多目標優(yōu)化其中的一個目標g1，式子如下：

（2）速度變動

為了提高五桿機構的運動穩(wěn)定性，應降低作用點C在工作階段的速度波動，速度變化的大小可以用速度的絕對值表示，經(jīng)歸一化處理后，得到速度變動的目標函數(shù)g3的表達式為：

（3）加速度變動

為了提高五桿機構動力穩(wěn)定性，應該降低C點在工作過程中加速度的增量，使得產(chǎn)生的慣性力比較的平穩(wěn)，同時也使得傳力過程比較的穩(wěn)定。經(jīng)過歸一化處理后，可以得到加速度的變動目標函數(shù)F4的表達式為：

對五桿機構機構進行優(yōu)化，要綜合考慮其幾何約束、行程約束和性能約束等。為此建立五桿機構的目標優(yōu)化目標

式中：Wi是多目標函數(shù)gi的權值，在此次優(yōu)化中，W1=0.4，W2= 0.4，W3= 0.4。權值可以根據(jù)具體情況調(diào)整大小。

2.3 約束條件

在本文中，選用的五桿機構約束條件如下：

在式（19）中，第一個方程第二個方程的組合表示機架小于主動桿或者連桿的0.5 倍，第三個方程表示兩連桿之和大于其它3 桿之和，使得機構能做曲柄運動。

2.4 改進的粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法[6]是一種基于迭代的優(yōu)化算法。粒子群算法開始產(chǎn)生一組隨機的粒子群體，通過搜索和迭代找到最佳值。粒子群優(yōu)化算法通過迭代來更新粒子的位置和速度，其計算表達式為：

其中，xid（t+ 1）為第i個粒子在第t+1 迭代中第d維上的速度；w為慣性權重；η1，η2為加速常數(shù)；rand()為0～1 之間的隨機數(shù)。在該算法中加入了一次遞減慣性權重函數(shù)，在搜素過程中可以對w進行動態(tài)的調(diào)整，其表達式為：

根據(jù)式（20）（21）所示的改進粒子群算法原理編制程序?qū)κ剑?8）（19）進行優(yōu)化求解，為高優(yōu)化效率，本文將粒子群的維度定為5 個，即優(yōu)化變量為x= [l1，l2，l3，l4，l5]。 慣性權重最大值wmax= 0.8，慣性權重最小值wmin= 0.6，加速常數(shù)η1，η2分別等于1，最大迭代次數(shù)Tmax= 300，N粒子個數(shù)50，粒子群優(yōu)化算法的流程圖如圖2 所示。

圖2 粒子群優(yōu)化算法流程

3 優(yōu)化設計結果分析

根據(jù)上述的分析流程進行迭代計算，得到五桿機構的尺寸優(yōu)化結果，如表2 所示。

表2 優(yōu)化設計結果

根據(jù)優(yōu)化前和優(yōu)化后的平面五桿機構的尺寸，選擇10 個時刻的速度和加速度的變動分析，從圖3 可以看出，優(yōu)化后的速度曲線相對平滑，波動較少，同時從圖4 也可以看出，優(yōu)化后的加速度曲線的變動變小，說明機構的運行比優(yōu)化之前更加的平穩(wěn)可靠。

圖3 優(yōu)化前后C 點速度變化曲線

圖4 優(yōu)化前后C 點加速度速度變化曲線

4 結語

為了使平面五桿機構獲得更好的性能，本文針對平面五桿機構運動穩(wěn)定性差，位置精度難以保證的問題，構建了一套平面五桿機構的結構尺寸優(yōu)化的設計模型。通過根據(jù)封閉矢量法的原理構建五桿機構的運動學模型，獲得五桿結構工作位置點的速度和加速度模型。然后基于改進的粒子群算法對五桿機構的桿件進行了優(yōu)化，實現(xiàn)了五桿機構性能的提高，本文獲得了以下成果：

（1）建立了平面五桿機構的運動學和動力學模型，采用封閉矢量法獲得了五桿機構工作點的速度和加速度求解模型，為下一步的尺寸優(yōu)化提供基礎。

（2）根據(jù)五桿機構的運動學和動力學模型，構建速度變動，加速度變動，雅克比條件數(shù)三個優(yōu)化目標，并提出了跟全面的約束條件。

（3）利用改進的粒子群算法對五桿機構進行尺寸優(yōu)化，結果表明，該方法可以實現(xiàn)五桿機構的尺寸的多目標優(yōu)化，獲得了更好性能的五桿機構。