踐行新課標?凸顯一致性

翟雪皎

【摘 要】就分數(shù)乘除法的學習而言，學生往往容易掌握算法而難以說清算理。本文從數(shù)運算的一致性出發(fā)，以計數(shù)單位為統(tǒng)領，溝通算法和算理，引導學生將分數(shù)除法納入數(shù)運算的一致性框架體系中，感悟方法的可遷移性，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】數(shù)的運算 計數(shù)單位 一致性 算理與算法的融通

一、緣起：運算的一致性讓算理和算法成為有根之木

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“數(shù)與運算”主題中明確指出，要讓學生感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質上的一致性，培養(yǎng)運算能力和推理意識。但就目前的教材和教學來看，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的運算法則似乎各自為政，缺乏本質的關聯(lián)性和內在的一致性。

事實上，數(shù)的認識與數(shù)的運算并不是割裂開來的兩個部分，而是以“計數(shù)單位”為統(tǒng)領，具有邏輯關聯(lián)性、內在一致性、前后承接性。相對于整數(shù)和小數(shù)而言，學生對分數(shù)的認知更有距離感，原因在于整數(shù)和小數(shù)都是以十進制計數(shù)法為基礎的，分數(shù)的計數(shù)方法則是基于沒有明確倍數(shù)關系的“分數(shù)單位”構建的。這種距離感在分數(shù)的運算中表現(xiàn)得尤為明顯。在整數(shù)和小數(shù)的加減運算中，我們可以把相同數(shù)位上的數(shù)字進行加減，但在分數(shù)加減法的運算中，卻不能把同為分母或分子的數(shù)字直接進行加減，而要通過轉化成相同的“分數(shù)單位”再進行加減。此外，現(xiàn)有的教材在分數(shù)乘法的編寫上，以畫圖直觀法和對分數(shù)意義理解的方法展開教學，弱化了“分數(shù)單位”的作用。這些都對學生理解分數(shù)乘除法的算理產生了負向的遷移，導致學生會用“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”以及“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”來進行分數(shù)乘除法的運算，卻不知為何要這樣計算。算法得不到算理的有效支撐，知識點呈散狀分布，不利于學生構建“鋼筋鐵骨”的知識結構。

基于《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中數(shù)運算一致性的理念，本文以“分數(shù)乘除法”為例，從統(tǒng)整視角出發(fā)，探討以計數(shù)單位（分數(shù)單位）來統(tǒng)領分數(shù)乘除法算法的可行性、有效性和必要性。

二、構建：重視計數(shù)單位，讓分數(shù)乘除法的運算有根可依

要探尋計數(shù)單位對分數(shù)乘除法運算的可操作性，有必要從計數(shù)單位基于分數(shù)的加減法說起。

（一）分數(shù)的加減法

分數(shù)的加減法在算法上雖與整數(shù)、小數(shù)的加減法表述不同，但剝去算法的外衣由表及里，我們發(fā)現(xiàn)它們在算理上保持著高度的一致。這也為我們探索以計數(shù)單位為核心的分數(shù)乘除法運算指明了方向。

（二）分數(shù)的乘法

要把學生熟知的分數(shù)乘法算法即“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”講出道理來，就需要教師明確分子相乘的積與分母相乘的積各表示什么含義。我們向下尋根，先來找找整數(shù)乘法與小數(shù)乘法在算理上的相同點。

整數(shù)乘法：如20×3=（2×10）×（3×1）=（2×3）×（10×1）=6×10=60，這也就能解釋在算法上先算2×3的積，表示的是計數(shù)單位上的數(shù)與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘，即計數(shù)單位的個數(shù)；再在積的末尾添0，表示計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘。

小數(shù)乘法：如1.2×0.3=（12×3）×（0.1×0.1）=36×0.01=0.36，在算法上我們先算12×3的積，表示的也是計數(shù)單位上的數(shù)與計數(shù)單位上的數(shù)相乘，即計數(shù)單位的個數(shù)；再根據(jù)乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)一共有兩位，就從積的右邊起數(shù)出兩位，這一步實際上就是在算計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘。

需要注意的是：在對整數(shù)乘法和小數(shù)乘法展開說理的時候，并沒有因為兩個乘數(shù)的計數(shù)單位相同或不同而有不同的處理，都是在用計數(shù)單位上的數(shù)與計數(shù)單位上的數(shù)相乘，再乘計數(shù)單位與計數(shù)單位的乘積。分數(shù)的乘法是否有相同的推論呢？

（三）分數(shù)的除法

除法運算的一致性體現(xiàn)為計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相除。我們以整數(shù)除法和小數(shù)除法來分別舉例。

整數(shù)除法60÷2=（6÷2）×（10÷1）=3×10=30，小數(shù)除法0.6÷0.2=（6÷2）×（0.1÷0.1）=3×1=3。我們試著來驗證分數(shù)除法。

我們進一步梳理、完善上面的計算過程得到：

推廣到用字母表示的分數(shù)除法算式得到：

據(jù)此，不難得出“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”的結論。我們還能發(fā)現(xiàn)分數(shù)除法也同樣適用整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的基本規(guī)律，即計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位上的數(shù)與計數(shù)單位上的數(shù)相除。這也體現(xiàn)了分數(shù)除法的運算與整數(shù)除法和小數(shù)除法的運算的一致性。

三、建議：數(shù)運算的教學要整體設計扎根串連

分數(shù)的乘除法作為小學階段運算教學的收尾部分，有必要撐起數(shù)運算的鋼架結構，而計數(shù)單位作為綱舉目張的存在也同樣需要滲透到日常運算的教學中。

為了達成以上目標，教師應該以整體教學的視角把握教學內容，注重知識的“生長點”和“延伸點”，幫助學生感悟數(shù)運算的一致性，讓學生學會用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，讓數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根。