考慮開關矩陣的綜合化航電系統(tǒng)任務可靠性分析

王道震，李翼瀚，劉紅波，馬玉柱，王鋒

（天津七一二通信廣播股份有限公司，天津 300462）

引言

在航電綜合射頻系統(tǒng)中，涉及到多路信號的綜合集成設計，需要進行通道切換。因此，綜合射頻架構設計需要用到開關矩陣以實現(xiàn)功能重構。開關矩陣不僅重要而且復雜，因此在任務可靠性建模時不能將其忽略。當開關矩陣的失效率增大到一定程度時，旁聯(lián)模型的優(yōu)勢就不復存在。本文研究重點在于研究任務可靠度的比例門限，它跟系統(tǒng)任務時間有關系。求解開關矩陣與通道失效率的比例門限，并證明小于等于這個比例門限時，在任何系統(tǒng)任務時間內(nèi)旁聯(lián)模型的任務可靠性總是大于等于并聯(lián)模型。

1 綜合系統(tǒng)架構中通用激勵模塊設計

射頻綜合采用模塊化、標準化的設計方法，對各個子系統(tǒng)的各種功能進行重新劃分、組合，將傳感器前端組件和數(shù)據(jù)處理組件進行資源共享，可重構的新型系統(tǒng)。射頻綜合架構是新型航電系統(tǒng)綜合的架構（圖1），將融合雷達、電子戰(zhàn)、通信、導航識別等多個傳感器系統(tǒng)的射頻部分。由此可見，開關矩陣對射頻通道選擇起到很重要的作用，而且其組成復雜，不能忽略。

圖1 射頻綜合架構示意圖

下面我們將通用資源里的通用激勵模塊進行說明。通用激勵模塊內(nèi)有4個通道，實現(xiàn)上變頻及快跳本振產(chǎn)生功能。

2 旁聯(lián)模型與并聯(lián)模型的對比分析

2.1 考慮開關矩陣失效的馬爾科夫過程分析

某綜合射頻系統(tǒng)中有3個模塊，每個模塊中有4路相同的通道，且4路通道都正常才能工作，其任務可靠性框圖如2所示。因此λ1=λ2=λ3=λ11+λ12+λ13+λ14=λ21+λ22+λ23+λ24=λ31+λ32+λ33+λ34。

圖2 考慮開關失效率的旁聯(lián)模型任務可靠性框圖

圖3 通用激勵模塊狀態(tài)轉移圖

當考慮開關失效率時，我們研究一下開關的失效率與通道失效率之間滿足一定條件時，旁聯(lián)的任務可靠性優(yōu)于并聯(lián)的任務可靠性。

馬爾科夫過程是一類隨機過程，它最早由俄國數(shù)學家馬爾科夫在1907年提出。它假設這個模型的每個狀態(tài)只依賴之前的狀態(tài)。

利用馬爾科夫過程建立可靠性模型有以下幾點假設：

1）系統(tǒng)的各個單位壽命和維修時間服從指數(shù)分布；

2）在時間區(qū)間（t，t+Δt）內(nèi)，發(fā)生故障的概率為λΔt；

3）在時間區(qū)間Δt內(nèi)出現(xiàn)2次以上的概率或修復的概率為0，因為Δt足夠小且三個模塊之間相互獨立。

S1: 三個激勵模塊均正常，第一通路檢測及轉換開關正常且第一個激勵模塊工作。

S2：第一個激勵模塊故障或該通路檢測及轉換開關失效，第二通路檢測及轉換開關正常且第二個模塊工作。

S3：第一個激勵模塊故障，第二個激勵模塊故障或該通路檢測及轉換開關故障，第三通路檢測及轉換開關正常且第三個模塊正常工作。

S4:三個激勵模塊均故障。

第一個模塊的故障率為：λ1，第二個模塊的故障率為：λ2，第三個模塊的故障率為λ3。由于三者模塊是相同的，因此失效率相同設為λ，每路檢測及轉換開關的失效率為λk。

P(t)為處于各個狀態(tài)概率的列矩陣：

微系數(shù)矩陣P(?t)為連續(xù)型馬爾科夫過程，其轉移概率為t和t+?t之間極小的?t時間內(nèi)的概率。

根據(jù)導數(shù)定義得：

借鑒現(xiàn)代控制理論中狀態(tài)方程的求解方法，將時域轉換到復頻，將上式進行拉普拉斯變換得：

然后再將上式進行反拉普拉斯變換得：

系統(tǒng)初始狀態(tài)為S1即：

狀態(tài)轉移矩陣P：

每一行的概率和為1。

A=P-I；

計算S1、S2、S3狀態(tài)下的概率：

2.2 并聯(lián)模型的任務可靠性分析

并聯(lián)系統(tǒng)沒有開關矩陣時，其可靠度模型及MTBF求解公式如圖4所示。

圖4 通用激勵模塊并聯(lián)任務可靠性框圖

令λk=k*λ（k>0）

當MTBF旁=MTBF并，求解方程得k=1.4。

顯然k<1.4時，則?MTBF大于0，即旁聯(lián)的平均嚴重故障間隔時間大于并聯(lián)。下面我們討論任務可靠度，兩種模型的差值。

如圖5所示，橫軸取任務時間零到十萬小時，縱軸取旁聯(lián)模型的任務可靠度減去并聯(lián)模型的任務可靠度得到的曲線。

圖5 開關矩陣失效率為通道的1.4倍時任務可靠度差值

由圖5可知，根據(jù)不同的失效率迭代仿真計算，在開關矩陣的失效率為通道失效率的1.4倍時，得到如下結論。

任務可靠度：在考慮開關矩陣失效率為通道失效率的1.4倍時。由上圖可知當系統(tǒng)任務時間t大于1.81e4時，旁聯(lián)的任務可靠度大于等于并聯(lián)的任務可靠度。大于等于1.81e4之后旁聯(lián)的任務可靠度小于并聯(lián)的任務可靠度。

下面我們探索在一個適當?shù)谋戎迪?，無論系統(tǒng)任務時間t取何值，總能使得帶開關的旁聯(lián)系統(tǒng)的任務可靠度總大于等于并聯(lián)系統(tǒng)的任務可靠度。

將R旁-R并消掉e-λt的系數(shù)部分，則有（k+1）2/k2=3，因此得到k=（√3+1）/2，此時有如下等式：

為方便比較大小，將其轉為以下分式形式：

設分子部分為m，分母部分為n則，

當λt>0時，

分別對m和n求解二階導數(shù)：

當λt→0+時，依據(jù)洛必達法則

綜上所述：將分子分母分別求二階導數(shù)則有m"≥n"且在λt趨近0+時,m'=n',因此在定義域上有m'≥n'。由于λt趨近于0+時，分子分母m=n，因此在定義域上總有m≥n，即R旁≥R并。

根據(jù)不同的失效率迭代計算，只要開關矩陣的失效率為通道失效率的倍，總能得到如下結論，即隨著任務時間t增大，旁聯(lián)部分與并聯(lián)部分的任務可靠度差值越來越趨近于0，并且旁聯(lián)模型的任務可靠度不小于并聯(lián)模型的任務可靠度。為嚴謹起見，為證明其為比例系數(shù)門限，取其兩側的1.366和1.367為例進行數(shù)值模擬。由于兩個數(shù)非常相近，二維圖像上不便于區(qū)分，因此建立了三維圖像模型，X軸為任務時間t，Y軸為比例系數(shù)K，Z軸為任務可靠度的差值。如圖6所示，當取k值為1.366時，Z軸全為非負數(shù)。當取k值為1.367時，在系統(tǒng)任務時間取7e4時Z軸為負值,進一步證明了k=作為比例門限的正確性。

圖6 取比例門限兩側K值時旁聯(lián)與并聯(lián)的任務可靠度差值

3 結論

在航電系統(tǒng)中通過任務可靠度和平均嚴重故障間隔時間的計算，比較旁聯(lián)和并聯(lián)模型的優(yōu)勢。

當開關矩陣失效率小于等于通道失效率的1.4倍時，旁聯(lián)模型的平均嚴重故障間隔時間（MTBCF）大于等于并聯(lián)模型；同理，當開關矩陣失效率大于通道失效率的1.4倍時，旁聯(lián)模型的平均嚴重故障間隔時間（MTBCF）小于并聯(lián)模型。當開關矩陣失效率小于等于通道失效率的（）/2倍時，旁聯(lián)模型在任何系統(tǒng)任務時間內(nèi)的任務可靠度大于均大于等于并聯(lián)模型。這個結論對于方案設計決策提供依據(jù)，即要不要加開關矩陣，在任務可靠性角度上來講，需要考慮開關矩陣與通道的失效率比例關系，否則旁聯(lián)模型的任務可靠性反而會降低。