“計(jì)數(shù)方法”內(nèi)容的教材學(xué)習(xí)進(jìn)階研究
——以北師大版教材為例

廣東省深圳市寶安區(qū)寶安小學(xué) 陳瑞華

在北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材體系中，涉及“計(jì)數(shù)方法”的內(nèi)容主要有四年級(jí)上冊(cè)的“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”和六年級(jí)上冊(cè)的“比賽場(chǎng)次”，這兩個(gè)內(nèi)容都編寫在“數(shù)學(xué)好玩”板塊中，同屬于“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，教學(xué)內(nèi)容的編排遵循“由易到難”“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜”的原則。同時(shí)，這兩個(gè)內(nèi)容的編排體系都具有“模型化”的特點(diǎn)，即以“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用模型”的方式進(jìn)行課程教學(xué)。

一、教材中學(xué)習(xí)目標(biāo)的學(xué)習(xí)進(jìn)階

學(xué)習(xí)進(jìn)階（learning progressions，簡(jiǎn)稱LPs）也稱學(xué)習(xí)進(jìn)程，是美國(guó)科學(xué)教育改革中的一個(gè)新興的概念，是對(duì)學(xué)生在各學(xué)段學(xué)習(xí)同一主題的概念時(shí)所遵循的連貫的、典型的學(xué)習(xí)路徑的描述，一般呈現(xiàn)為圍繞核心概念展開的一系列由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、相互關(guān)聯(lián)的概念序列。美國(guó)國(guó)家研究理事會(huì)（NRC）將學(xué)習(xí)進(jìn)階定義：學(xué)習(xí)進(jìn)階是對(duì)學(xué)生連貫且逐漸深入的思維方式的假定描述，在一個(gè)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間跨度下，學(xué)生學(xué)習(xí)和探究某一重要的知識(shí)或者實(shí)踐領(lǐng)域時(shí)，其思維方式會(huì)逐漸進(jìn)階。教師要利用學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，找到“計(jì)數(shù)方法”內(nèi)容，在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，把學(xué)生的學(xué)習(xí)劃分成一些階段或步驟，更清晰地認(rèn)識(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)律和思維的層次，從而能夠更好地引導(dǎo)學(xué)生由低到高的學(xué)習(xí)進(jìn)程。

筆者從會(huì)抽象、會(huì)推理、會(huì)應(yīng)用這三個(gè)方面對(duì)小學(xué)階段“計(jì)數(shù)方法”內(nèi)容的目標(biāo)進(jìn)行研究。

會(huì)抽象，主要是要求學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中通過(guò)畫圖、列表等形式將內(nèi)容抽象出來(lái)，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的表征、抽象使思維得以提升。

會(huì)推理，包括歸納推理和演繹推理，小學(xué)階段的會(huì)推理一般指歸納推理，也叫合情推理，指通過(guò)觀察、歸納、類比、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、矯正與調(diào)控等方法，為猜想提供依據(jù)。

會(huì)應(yīng)用，主要包括解決問(wèn)題的特質(zhì)與策略。應(yīng)用的策略具有多樣性，如畫圖、列表、從特殊到一般等。

根據(jù)這些目標(biāo)的描述，筆者將這兩個(gè)內(nèi)容的目標(biāo)列舉如下，通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行研究，找到“計(jì)數(shù)方法”中這一內(nèi)容在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)的學(xué)習(xí)進(jìn)階。

（一）會(huì)抽象

“會(huì)抽象”內(nèi)容和目標(biāo)見表1。

表1 “會(huì)抽象”內(nèi)容和目標(biāo)統(tǒng)計(jì)

這兩個(gè)內(nèi)容中“會(huì)抽象”的目標(biāo)學(xué)習(xí)進(jìn)階：“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”要將鼴鼠鉆洞的問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再把洞抽象成點(diǎn)，把鉆洞問(wèn)題抽象成數(shù)線段的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后通過(guò)有序數(shù)線段的策略來(lái)解決線段計(jì)數(shù)的問(wèn)題；“比賽場(chǎng)次”要將體育中的比賽場(chǎng)次問(wèn)題，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后通過(guò)線段圖、連線圖、表格等多種策略，解決比賽場(chǎng)次問(wèn)題。

（二）會(huì)推理

“會(huì)推理”內(nèi)容和目標(biāo)見表2。

表2 “會(huì)推理”內(nèi)容和目標(biāo)統(tǒng)計(jì)

“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”主要通過(guò)畫圖的方式，從簡(jiǎn)單的四個(gè)點(diǎn)入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有序思考，做到不重復(fù)、不遺漏，通過(guò)數(shù)線段，推理出線段計(jì)數(shù)的規(guī)律?！氨荣悎?chǎng)次”主要是讓學(xué)生運(yùn)用從簡(jiǎn)單到一般的策略來(lái)解決問(wèn)題，運(yùn)用畫圖、列表、連線的策略，找到遞推的方法，推理出比賽場(chǎng)次的規(guī)律，并找到其中的聯(lián)系。

（三）會(huì)應(yīng)用

“會(huì)應(yīng)用”內(nèi)容和目標(biāo)見表3。

表3 “會(huì)應(yīng)用”內(nèi)容和目標(biāo)統(tǒng)計(jì)

“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”將生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，有序地?cái)?shù)出線段的條數(shù)，建立數(shù)線段的模型，然后解決生活中的單程車票的問(wèn)題。“比賽場(chǎng)次”通過(guò)不同的策略來(lái)解決問(wèn)題，體驗(yàn)從簡(jiǎn)單到一般的數(shù)學(xué)思想，并建立模型，然后解決聯(lián)絡(luò)方式的問(wèn)題。

（四）研究結(jié)果

根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)的學(xué)習(xí)進(jìn)階分析，這兩個(gè)內(nèi)容的根本目標(biāo)就是要讓學(xué)生做到“三會(huì)”，也就是會(huì)抽象、會(huì)推理、會(huì)應(yīng)用。而這些目標(biāo)不是通過(guò)教師的教實(shí)現(xiàn)的，而是要求學(xué)生在操作、體驗(yàn)的過(guò)程中，通過(guò)自我體驗(yàn)和感悟得到的。學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、計(jì)算、推理、應(yīng)用等具有數(shù)學(xué)特征的活動(dòng)后使學(xué)習(xí)目標(biāo)更加深入。這三個(gè)目標(biāo)在這兩個(gè)內(nèi)容中都體現(xiàn)了由易到難的過(guò)程，是一個(gè)明顯的進(jìn)階過(guò)程。

二、教材中學(xué)習(xí)路徑的學(xué)習(xí)進(jìn)階

兩個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)路徑相似，具體如圖1：

圖1

（一）情境不同

“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”創(chuàng)設(shè)了鼴鼠鉆洞的情境，教材利用鼴鼠卡通的形象，創(chuàng)設(shè)了“鉆四個(gè)洞，任選一個(gè)洞口進(jìn)入，向前走，再任選一個(gè)洞口鉆出來(lái)”這樣一個(gè)情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但是，鼴鼠鉆洞的情境雖然以卡通的方式呈現(xiàn)，卻離學(xué)生的生活較遠(yuǎn)，學(xué)生需要將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度。

“比賽場(chǎng)次”以學(xué)生喜聞樂(lè)見的乒乓球比賽作為情境，教材創(chuàng)設(shè)了“六（1）班十名同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，每?jī)擅麑W(xué)生之間要進(jìn)行一場(chǎng)比賽”這一體育賽事的情境，比較符合學(xué)生的實(shí)際，可以快速地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。解決這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以比較容易地將其遷移到數(shù)學(xué)問(wèn)題中。

（二）問(wèn)題的起點(diǎn)不同

“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”從四個(gè)端點(diǎn)開始研究，讓學(xué)生數(shù)出有多少條線段，比較符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)。

“比賽場(chǎng)次”從十個(gè)人參加比賽開始研究，讓學(xué)生感受從特例開始尋找規(guī)律的必要性。

（三）問(wèn)題串的設(shè)計(jì)不同

在問(wèn)題串的設(shè)計(jì)上，“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”設(shè)計(jì)了兩個(gè)核心任務(wù)：（1）有四個(gè)點(diǎn)，數(shù)一數(shù)有多少條不同的路線；（2）想辦法按順序數(shù)出有多少條不同的路線，要做到不重復(fù)、不遺漏。通過(guò)兩個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)，學(xué)生可以感受到有序列舉的價(jià)值。

“比賽場(chǎng)次”呈現(xiàn)了三個(gè)核心學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）十名學(xué)生參加乒乓球比賽，每?jī)擅麑W(xué)生之間要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，一共要比賽多少場(chǎng)？（2）找找有什么規(guī)律？（3）你知道一共要比賽多少場(chǎng)嗎？通過(guò)三個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生可以感受到從特例開始尋找規(guī)律的必要性。教師再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)列表、畫圖、連線等策略發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決比賽場(chǎng)次的計(jì)數(shù)問(wèn)題。

（四）研究結(jié)果

研究發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)內(nèi)容的教材編寫都是按“情境+問(wèn)題串”的方式來(lái)編排的，每個(gè)內(nèi)容都創(chuàng)設(shè)了基于學(xué)生特征的情境，讓學(xué)生圍繞情境提出問(wèn)題、展開學(xué)習(xí)。這些問(wèn)題的提出也是基于學(xué)習(xí)目標(biāo)，按照一定的結(jié)構(gòu)精心設(shè)計(jì)的，問(wèn)題的指向性非常明確，從學(xué)生的知識(shí)、方法、思想等方面進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，最后實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)。但是，情境的創(chuàng)設(shè)、問(wèn)題的起點(diǎn)、問(wèn)題串的設(shè)計(jì)上都體現(xiàn)了一定的學(xué)習(xí)進(jìn)階。

三、教材中解決問(wèn)題策略的學(xué)習(xí)進(jìn)階

策略就是為了實(shí)現(xiàn)某一個(gè)目標(biāo)，首先，預(yù)先根據(jù)可能出現(xiàn)的問(wèn)題制訂若干對(duì)應(yīng)的方案，并且，在實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過(guò)程中，根據(jù)形勢(shì)的發(fā)展和變化制訂出新的方案，或者根據(jù)形勢(shì)的發(fā)展和變化選擇相應(yīng)的方案，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

（一）解決問(wèn)題的策略

解決問(wèn)題的策略具體見表4。

表4 解決問(wèn)題的策略

（二）研究結(jié)果

這兩個(gè)內(nèi)容在學(xué)習(xí)策略的選擇上是一脈相承的，有明顯的學(xué)習(xí)進(jìn)階，在“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”中是運(yùn)用畫圖的策略發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步感受從特例尋找規(guī)律的解決問(wèn)題的策略。在“比賽場(chǎng)次”中，運(yùn)用畫圖、連線和列表等多種方式，運(yùn)用從特例尋找規(guī)律的策略，解決比賽場(chǎng)次的問(wèn)題。兩個(gè)內(nèi)容從特例尋找規(guī)律的解決問(wèn)題的策略的要求都是逐步螺旋上升的。

四、對(duì)教學(xué)實(shí)施的建議

通過(guò)研究，我們發(fā)現(xiàn)，解決此類問(wèn)題時(shí)，在學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計(jì)上有著較為相同的路徑，在教學(xué)實(shí)施的過(guò)程中，我們要注意以下幾點(diǎn)：

（一）要注重過(guò)程性

這兩個(gè)內(nèi)容都是從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，提出問(wèn)題，確定任務(wù)后就要組織學(xué)生開展活動(dòng)，讓學(xué)生去嘗試做一做，在做一做的過(guò)程中去交流想法、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律。學(xué)生在整個(gè)活動(dòng)的過(guò)程中要從頭到尾地去思考問(wèn)題，要參與到整個(gè)知識(shí)形成的過(guò)程中，經(jīng)歷一個(gè)完整的學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程。

（二）要注重趣味性

這兩個(gè)內(nèi)容都是從解決學(xué)生感興趣的生活問(wèn)題入手，例如，“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”要解決鼴鼠鉆洞的問(wèn)題，“比賽場(chǎng)次”要解決乒乓球比賽的場(chǎng)次問(wèn)題。這些問(wèn)題與學(xué)生的生活密切相關(guān)，在解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生有著濃厚的興趣。而且，這些問(wèn)題的解決一般可以通過(guò)合作學(xué)習(xí)更好地完成，所有的這些知識(shí)都體現(xiàn)了學(xué)生的合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生的合作能力。

（三）要注重實(shí)用性

這兩個(gè)內(nèi)容的解決都可以在生活中進(jìn)行應(yīng)用，例如，“數(shù)圖形的學(xué)問(wèn)”可以解決生活中的車票問(wèn)題，“比賽場(chǎng)次”可以解決體育運(yùn)動(dòng)中的比賽場(chǎng)次問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并應(yīng)用于生活。

注：本文系深圳市2022年度規(guī)劃課題“北師大版‘計(jì)數(shù)方法’的教材學(xué)習(xí)進(jìn)階實(shí)踐研究”（編號(hào)：dw22071）的階段性成果。