基于改進(jìn)平衡優(yōu)化器的電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計(jì)算

趙娟

(中國(guó)電力工程顧問(wèn)集團(tuán)西北電力設(shè)計(jì)院有限公司， 陜西 西安 710000)

最優(yōu)潮流計(jì)算主要是通過(guò)調(diào)節(jié)電力系統(tǒng)可利用的控制變量來(lái)尋找能滿足所有約束條件,使系統(tǒng)的某一性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值的潮流分布。由于最優(yōu)潮流計(jì)算與電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行密切相關(guān)，自20世紀(jì)六七十年代以來(lái)已有大量?jī)?yōu)化技術(shù)[1-7]被用于求解電力系統(tǒng)的最優(yōu)潮流計(jì)算問(wèn)題。早期電力系統(tǒng)的最優(yōu)潮流主要通過(guò)經(jīng)典的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法來(lái)求解，其優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算速度快，缺點(diǎn)主要是求解結(jié)果較依賴于初值的選取和難以處理含離散變量的最優(yōu)潮流計(jì)算問(wèn)題。智能算法一般借助多個(gè)搜索代理來(lái)進(jìn)行尋優(yōu)，有效避免了初值選取不當(dāng)帶來(lái)的問(wèn)題，計(jì)算精度一般較經(jīng)典數(shù)學(xué)方法高，且無(wú)需求取梯度，能更好地處理含離散變量的最優(yōu)潮流問(wèn)題，其主要缺點(diǎn)在于每代均需計(jì)算并比較目標(biāo)函數(shù)值以確定進(jìn)化方向，計(jì)算成本較高。隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力和計(jì)算速度的不斷提升，未來(lái)智能算法有望在求解最優(yōu)潮流問(wèn)題上得到更廣泛的應(yīng)用。

平衡優(yōu)化器(equilibrium optimizer, EO)是Afshin Faramarzi等人于2019年提出的一種新型智能算法，并在多個(gè)測(cè)試函數(shù)上相對(duì)傳統(tǒng)智能算法表現(xiàn)出較好的優(yōu)越性[8]。平衡優(yōu)化器自提出以來(lái)，現(xiàn)已在自動(dòng)電壓調(diào)節(jié)器控制參數(shù)優(yōu)化[9]、肖特基二極管最優(yōu)參數(shù)估計(jì)[10]、光伏參數(shù)估計(jì)[11]等多個(gè)工程領(lǐng)域得到了應(yīng)用，且相比多個(gè)傳統(tǒng)算法表現(xiàn)出了較好的優(yōu)化性能。目前，平衡優(yōu)化器在電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計(jì)算中的應(yīng)用仍較少，文獻(xiàn)[12]將平衡優(yōu)化器用于交直流混合電網(wǎng)的最優(yōu)潮流計(jì)算問(wèn)題，在發(fā)電成本、污染物排放、網(wǎng)損及電壓偏移等四個(gè)目標(biāo)上的計(jì)算表明，平衡優(yōu)化器較差分進(jìn)化算法、粒子群算法表現(xiàn)出了更好的優(yōu)化性能。文獻(xiàn)[13]將平衡優(yōu)化器用于含高比例風(fēng)光新能源電網(wǎng)的無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題，并提出與遺傳算法、粒子群算法、生物地理優(yōu)化算法相比，平衡優(yōu)化器能更快地收斂到更高質(zhì)量的無(wú)功優(yōu)化方案。文獻(xiàn)[14]提出群智能算法的尋優(yōu)過(guò)程可以分為搜索和利用兩個(gè)階段，搜索過(guò)程一般通過(guò)引入擾動(dòng)變量等方式使得更新過(guò)程盡可能隨機(jī)，以在整個(gè)搜索空間做全局性、大范圍的尋優(yōu)。利用過(guò)程側(cè)重于在更新過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的較有希望的部分區(qū)域進(jìn)行細(xì)致尋優(yōu)。生成概率(generation probability, GP)是平衡優(yōu)化器中引導(dǎo)算法尋優(yōu)過(guò)程的重要參數(shù)，文獻(xiàn)[8]提出該參數(shù)設(shè)置為不同值時(shí)，會(huì)導(dǎo)致算法具有不同的搜索能力。該參數(shù)設(shè)置過(guò)小易使算法陷入局部最優(yōu)，設(shè)置過(guò)大又將得到不精確的優(yōu)化解，對(duì)該參數(shù)的靈敏度分析表明，其設(shè)置為0.5時(shí)算法可以較好平衡其搜索和利用的能力，從而可獲得更好的尋優(yōu)效果。目前包括文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]在內(nèi)的多數(shù)文獻(xiàn)均采用該設(shè)置,但將生成概率取為常數(shù)會(huì)存在難以靈活地平衡及控制算法搜索和利用能力的缺點(diǎn)，因此，本文提出一種基于自適應(yīng)生成概率的改進(jìn)平衡優(yōu)化器(modified equilibrium optimizer, MEO)，通過(guò)與原平衡優(yōu)化器以及粒子群算法在求解IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)最優(yōu)潮流問(wèn)題上的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)算法表現(xiàn)出了相對(duì)更好的尋優(yōu)性能。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

1.1.1 系統(tǒng)網(wǎng)損

電力系統(tǒng)網(wǎng)損可表示為

(1)

式中:N—系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)；

Gij—節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的線路電導(dǎo)；

Ui和Uj—節(jié)點(diǎn)i、j處的電壓；

θij—節(jié)點(diǎn)i、j之間的相角差。

1.1.2 電壓偏移

電壓偏移的計(jì)算公式為

(2)

NB—負(fù)荷節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

1.1.3 發(fā)電成本

發(fā)電機(jī)的發(fā)電(燃料)成本可表述為

(3)

式中:ai、bi和ci—發(fā)電機(jī)i的成本系數(shù)；

NG—發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)數(shù)；

使用罰函數(shù)項(xiàng)處理狀態(tài)變量的不等式約束，將需要優(yōu)化的目標(biāo)值J表示如下：

(4)

式中:

(5)

(6)

式中:fk—原求解目標(biāo)；

ηU和ηQ—負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓和發(fā)電機(jī)無(wú)功出力越限的懲罰系數(shù)；

ΔUi和ΔQj—負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓和發(fā)電機(jī)無(wú)功出力越限的懲罰項(xiàng)。

1.2 等式約束

式中:Pi、Qi—節(jié)點(diǎn)i、j注入的有功和無(wú)功功率；

Bij—節(jié)點(diǎn)i、j之間的線路電納。

1.3 不等式約束

控制變量的不等式約束包括:

式中：PG、UG、T、QC—發(fā)電機(jī)有功出力、機(jī)端電壓、變壓器變比、并聯(lián)電容器補(bǔ)償容量；

max、min—變量的上下限。

狀態(tài)變量的不等式約束包括:

(9)

式中:UB、QG—負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電壓和發(fā)電機(jī)的無(wú)功出力。

2 平衡優(yōu)化器及其改進(jìn)

2.1 算法物理學(xué)背景

平衡優(yōu)化器是受到物理學(xué)中的質(zhì)量平衡方程的啟發(fā)而提出的一種新型智能算法。質(zhì)量平衡方程描述了質(zhì)量在一個(gè)控制容積內(nèi)進(jìn)入、離開(kāi)和產(chǎn)生的過(guò)程，可用一階微分方程表示為

(10)

式中：V—控制容積；

C—控制容積內(nèi)的濃度；

Q—流進(jìn)或流出控制容積的容積流速；

Ceq—控制容積處于平衡狀態(tài)時(shí)的濃度；

G—控制容積內(nèi)的質(zhì)量生成速率；

(11)

設(shè)t0和C0分別為初始的時(shí)間和濃度值，對(duì)式(11)兩邊同時(shí)積分得：

(12)

求解式(12)可得：

(13)

式中:F=exp(-λ(t-t0))。

2.2 算法模型

2.2.1 初始化

與多數(shù)啟發(fā)式算法類似，平衡優(yōu)化器的初始化過(guò)程可以表述為

(14)

Cmin和Cmax—個(gè)體的下限和上限向量；

randi—[0,1]之間的隨機(jī)向量；

n—種群中的個(gè)體數(shù)。

2.2.2 建立平衡池

平衡狀態(tài)是算法收斂到的最終狀態(tài)，在優(yōu)化過(guò)程中，平衡池的作用在于為整個(gè)尋優(yōu)過(guò)程提供候選解。由當(dāng)前初始化/迭代過(guò)程所產(chǎn)生的適應(yīng)度值相對(duì)最優(yōu)的4個(gè)個(gè)體及其平均值構(gòu)成平衡池：

(15)

平衡池中的5個(gè)個(gè)體被選中作為引導(dǎo)優(yōu)化過(guò)程的解的概率是一樣的，即均為0.2。

2.2.3 指數(shù)項(xiàng)

指數(shù)項(xiàng)是算法更新過(guò)程中的重要組成部分，可表示為

(16)

變量t被定義為一個(gè)隨著迭代次數(shù)遞減的函數(shù)，即：

(17)

式中:Iter和Max_iter—當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)；

a2—常數(shù)，一般取1。

為確保算法收斂，同時(shí)提高算法搜索和利用的能力，考慮：

(18)

式中:a1—常數(shù)，一般取2；

sign —數(shù)學(xué)符號(hào)函數(shù)；

將式(18)帶入式(16)，可得：

(19)

2.2.4 生成速率

算法生成速率定義為一個(gè)一階指數(shù)衰減過(guò)程：

(20)

為得到一個(gè)更加可控和系統(tǒng)的搜索模式，算法中設(shè)置k=λ，并引入之前導(dǎo)出的指數(shù)項(xiàng)，將生成速率描述為

(21)

(22)

r1和r2—[0,1]之間的隨機(jī)數(shù);

GP—生成概率，一般取0.5。

綜上，平衡優(yōu)化器的最終更新公式被定義為

(23)

式中:V值— 一般取為常數(shù)1。

在式(23)中:第一項(xiàng)為平衡狀態(tài)下的濃度；第二項(xiàng)和第三項(xiàng)表征濃度的變化，其中第二項(xiàng)貢獻(xiàn)算法的搜索能力，會(huì)引起個(gè)體在平衡態(tài)附近的劇烈變化;第三項(xiàng)則貢獻(xiàn)了利用能力，通過(guò)小的濃度變化使所求得的解更為精確。

2.2.5 個(gè)體記憶保存

參照粒子群算法中個(gè)體最優(yōu)的概念，平衡優(yōu)化器建立了個(gè)體記憶保存機(jī)制，在第Iter(Iter≥2)次迭代后，每個(gè)個(gè)體求得的適應(yīng)度值將與第Iter-1次迭代后所求得適應(yīng)度值進(jìn)行比較，若第Iter次迭代后個(gè)體求得適應(yīng)度值更好，則將個(gè)體位置和適應(yīng)度值進(jìn)行相應(yīng)的更新，反之則不做更新，并維持第Iter-1次迭代后求得的個(gè)體位置和適應(yīng)度值進(jìn)入下一次迭代。該機(jī)制主要是為了提高算法的利用能力。

2.3 算法改進(jìn)

文獻(xiàn)[8]提出，生成概率是影響算法搜索能力的重要參數(shù)，該參數(shù)設(shè)置過(guò)小易使算法陷入局部最優(yōu)，設(shè)置過(guò)大又將得到不精確的優(yōu)化解，對(duì)該參數(shù)的靈敏度分析表明，其值設(shè)置為0.5時(shí)算法可以較好平衡其搜索和利用的能力，從而獲得更好的尋優(yōu)效果。為通過(guò)生成概率更好的平衡算法的搜索和利用過(guò)程，本文考慮將生成概率進(jìn)行自適應(yīng)取值，即設(shè)置生成概率為

(24)

生成概率隨迭代次數(shù)的變化趨勢(shì)如圖1所示。

圖1 生成概率隨迭代次數(shù)的變化曲線

由圖1可見(jiàn)：在迭代過(guò)程初期，生成概率較大，可以使得算法側(cè)重于進(jìn)行可行域內(nèi)的大范圍搜索；隨后生成概率逐漸減小，到迭代過(guò)程進(jìn)行到一半變?yōu)?，算法側(cè)重于在局部范圍進(jìn)行細(xì)致搜索并得以逐漸收斂；然后生成概率又重新增大，并在迭代結(jié)束時(shí)重新取到最大值1，這有利于增加算法在尋優(yōu)后期的種群多樣性，不至于在尋優(yōu)后期因種群趨同而陷入局部最優(yōu)。

2.4 算法流程

(1)初始化種群及參數(shù)。按照式(14)對(duì)種群進(jìn)行初始化，設(shè)置算法所需參數(shù)a1、a2、V和GP，確定種群規(guī)模和最大迭代次數(shù)；

(2)對(duì)種群中的個(gè)體進(jìn)行潮流計(jì)算得到所有個(gè)體的適應(yīng)度值，并進(jìn)行個(gè)體記憶保存操作(Iter≥2)，根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度值的大小選擇4個(gè)個(gè)體，并計(jì)算這4個(gè)個(gè)體的平均值，從而建立平衡池；

(3)根據(jù)當(dāng)前迭代次數(shù)，按照式(19)計(jì)算算法指數(shù)項(xiàng)。由式(24)計(jì)算生成概率，并按照式(21)計(jì)算算法生成速率；

(5)檢查當(dāng)前迭代次數(shù)是否為最大迭代次數(shù)，若否則繼續(xù)重復(fù)步驟(2)—(4)，若是則退出迭代，并取平衡池中的最優(yōu)個(gè)體為最終的優(yōu)化解。

3 算例分析

本文所用算例為IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[15]，該系統(tǒng)包括54臺(tái)發(fā)電機(jī)，186條線路和9臺(tái)變壓器。取負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓的上下限約束為[0.95,1.1]，電壓越限的罰因子取為1000，不約束發(fā)電機(jī)無(wú)功[16]，該算例初始懲罰項(xiàng)為4.580?？刂谱兞咳≈等缦拢?/p>

(1)發(fā)電機(jī)有功出力。除69號(hào)機(jī)為平衡機(jī)外，其他53臺(tái)發(fā)電機(jī)的上下限按初始值的±20 MW取值，如果±20 MW后超過(guò)了對(duì)應(yīng)的上下限，則取為規(guī)定的上下限值。

(2)發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓在[0.95,1.1]范圍內(nèi)連續(xù)調(diào)節(jié)。

(3)變壓器變比在[0.9,1.1]之間分16檔，進(jìn)行分檔調(diào)節(jié)。

使用平衡優(yōu)化器(EO)、粒子群算法(PSO)及改進(jìn)平衡優(yōu)化器(MEO)分別對(duì)IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的網(wǎng)損、電壓偏移和發(fā)電成本進(jìn)行計(jì)算，設(shè)置各算法種群規(guī)模為40，迭代次數(shù)為1000。粒子群算法參數(shù)按照文獻(xiàn)[17]取為c1=c2=2,w=1。

3.1 系統(tǒng)網(wǎng)損

IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)初始系統(tǒng)網(wǎng)損為132.863 MW。三種算法對(duì)IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的網(wǎng)損目標(biāo)值優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表1，不同算法求解網(wǎng)損目標(biāo)平均值的迭代曲線見(jiàn)圖2。

圖2 三種算法求解網(wǎng)損目標(biāo)平均值的迭代曲線對(duì)比

表1 三種算法求得的IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)網(wǎng)損目標(biāo)值

3.2 電壓偏移

IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)初始電壓偏移為1.439。三種算法對(duì)IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的電壓偏移目標(biāo)值優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表2，不同算法求解電壓偏移目標(biāo)平均值的迭代曲線見(jiàn)圖3。

表2 三種算法求得的IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)電壓偏移目標(biāo)值

圖3 三種算法求解電壓偏移目標(biāo)平均值的迭代曲線對(duì)比

3.3 發(fā)電成本

圖4 三種算法求解發(fā)電成本目標(biāo)值的迭代曲線對(duì)比

表3 三種算法求得的IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)發(fā)電成本目標(biāo)值

由以上IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的最優(yōu)潮流計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)，改進(jìn)平衡優(yōu)化器和平衡優(yōu)化器計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差更小，計(jì)算魯棒性優(yōu)于粒子群算法；同時(shí)改進(jìn)平衡優(yōu)化器相較平衡優(yōu)化器以及粒子群算法，計(jì)算結(jié)果平均值更小，計(jì)算性能具有明顯進(jìn)步，在網(wǎng)損、電壓偏移和發(fā)電成本3個(gè)目標(biāo)上均取得了最好的計(jì)算效果。

4 結(jié) 論

為克服原平衡優(yōu)化器將生成概率取為常數(shù)帶來(lái)的難以平衡搜索和利用過(guò)程的缺點(diǎn)，本文提出一種基于自適應(yīng)生成概率的改進(jìn)平衡優(yōu)化器，并將其用于IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的最優(yōu)潮流計(jì)算問(wèn)題，通過(guò)與原平衡優(yōu)化器與粒子群算法在系統(tǒng)網(wǎng)損、電壓偏移和發(fā)電成本3個(gè)目標(biāo)上進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明改進(jìn)算法表現(xiàn)出了相對(duì)更好的尋優(yōu)性能，是一種很有潛力的優(yōu)化算法。