基于變密度胞元的熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)層級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化*

王 欽, 劉利陽(yáng), 強(qiáng) 博, 魏衍強(qiáng)

(沈陽(yáng)飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所, 沈陽(yáng) 110035)

0 引 言

低溫環(huán)境是確保電子設(shè)備、發(fā)動(dòng)機(jī)、航天飛機(jī)和衛(wèi)星等系統(tǒng)安全工作的必要條件之一．因此,結(jié)構(gòu)散熱一直以來(lái)都是學(xué)者和工程師研究和設(shè)計(jì)的熱點(diǎn)[1]．其中,熱傳導(dǎo)系統(tǒng)具有加工簡(jiǎn)單、不依賴(lài)其他電子系統(tǒng)、無(wú)噪聲等優(yōu)點(diǎn),在工業(yè)應(yīng)用中最為廣泛．隨著設(shè)備精度的不斷提升,研究微型化、輕量化、高效化的散熱系統(tǒng)至關(guān)重要．

拓?fù)鋬?yōu)化是一種新型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,其不依賴(lài)于工程經(jīng)驗(yàn)就能得到意想不到的創(chuàng)新構(gòu)型,被廣泛應(yīng)用于基于熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和共軛傳熱的熱系統(tǒng)優(yōu)化[2-3]．然而,這些研究大多只是在宏觀尺度上進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化,設(shè)計(jì)空間有限．在自然界中,植物莖和動(dòng)物骨骼等生物結(jié)構(gòu)多是由胞元結(jié)構(gòu)組成,具有高剛度、耐腐蝕、多功能和輕量化等優(yōu)越的性能[4]．受這一現(xiàn)象的啟發(fā),結(jié)構(gòu)的宏觀和微觀一體化拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)受到了研究者們的關(guān)注．

多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)可以追溯到Rodrigues等[5]提出的宏觀尺度材料分布和微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)協(xié)同優(yōu)化的層級(jí)算法．Xia和Breitkopf[6-7]將非線性FE2框架應(yīng)用于多尺度設(shè)計(jì)．然而,這些設(shè)計(jì)中每個(gè)單元的微結(jié)構(gòu)都不同,計(jì)算成本高,且難以制造．為此,Liu和Cheng等[8-9]提出了一種并行拓?fù)鋬?yōu)化方法來(lái)設(shè)計(jì)周期胞元結(jié)構(gòu),只需求解一個(gè)簡(jiǎn)單的優(yōu)化公式,大幅縮減了計(jì)算成本．Long等[10]將這種方法應(yīng)用于考慮承載能力和保溫性能的結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)．Yan和Huang等[11]解決了以宏觀結(jié)構(gòu)剛度和材料導(dǎo)熱系數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)多尺度結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題．Yan等[12]證實(shí),對(duì)于熱彈性問(wèn)題,周期胞元結(jié)構(gòu)比宏觀結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出更好的性能．但由于微觀結(jié)構(gòu)相同,設(shè)計(jì)空間有限,只能獲得很小的性能改進(jìn)．

變密度胞元結(jié)構(gòu)[13]是另一種特殊類(lèi)型的多尺度結(jié)構(gòu),其微結(jié)構(gòu)具有相似的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),僅一個(gè)或多個(gè)幾何參數(shù)在宏觀設(shè)計(jì)域內(nèi)變化．通過(guò)優(yōu)化這些幾何參數(shù),可以將不同密度的微結(jié)構(gòu)置于最佳宏觀位置．Wang等[14]通過(guò)優(yōu)化不同六邊形單胞的厚度,使結(jié)構(gòu)的散熱效率提高一倍．Cheng等[15-16]開(kāi)發(fā)了一種網(wǎng)格密度填充和與設(shè)計(jì)相關(guān)的動(dòng)態(tài)特征的并行優(yōu)化方法．Wu等[17]開(kāi)發(fā)了一種考慮尺度效應(yīng)的帶懲罰的簡(jiǎn)化子結(jié)構(gòu)近似(ARSP)模型．然而,在這些工作中,微觀結(jié)構(gòu)拓?fù)涫且?guī)定的,而不是優(yōu)化得到的．

在微觀結(jié)構(gòu)拓?fù)渑c宏觀密度并行優(yōu)化中,最困難的是如何提取一個(gè)參數(shù)來(lái)改變微結(jié)構(gòu)的密度．特別是在拓?fù)鋬?yōu)化框架中,用元素密度或水平集函數(shù)描述微觀結(jié)構(gòu)拓?fù)?很難提取一個(gè)顯式的參數(shù),如半徑或厚度．最近,基于水平集框架,Wang等[18-19]提出了一種在不同位置切割帶符號(hào)的距離函數(shù)的參數(shù)化方法．在此基礎(chǔ)上,Zong等[20]為保證相鄰單元之間完美的幾何連接,通過(guò)插值一組位于節(jié)點(diǎn)上的高度變量,構(gòu)造了一個(gè)可變切割函數(shù)．而后,一種類(lèi)似的形狀插值技術(shù)被提出來(lái)生成一系列基于參數(shù)水平集方法優(yōu)化的微結(jié)構(gòu)[21-22]．

本文提出了一種實(shí)現(xiàn)微觀結(jié)構(gòu)拓?fù)渑c宏觀密度并行拓?fù)湓O(shè)計(jì)的有效方法．首先,在密度框架下優(yōu)化具有不同體積分?jǐn)?shù)的單一或有限種微結(jié)構(gòu);然后應(yīng)用腐蝕-擴(kuò)散算子構(gòu)建準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù);最后,解決宏觀熱柔順度最小問(wèn)題,并將這些微結(jié)構(gòu)置于宏觀設(shè)計(jì)域．

1 優(yōu) 化 模 型

1.1 變密度胞元結(jié)構(gòu)

圖1為典型的變密度胞元結(jié)構(gòu),其微結(jié)構(gòu)密度ρ由內(nèi)孔半徑R控制．由于微結(jié)構(gòu)拓?fù)涫穷A(yù)定的,性能改進(jìn)有限．文獻(xiàn)中有很多性能優(yōu)異的微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型[23-27],但其復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)導(dǎo)致很難提取一個(gè)顯式的幾何參數(shù)來(lái)改變密度．

圖1 變密度胞元結(jié)構(gòu)及其幾何參數(shù)與密度的關(guān)系Fig. 1 Illustration of the variable density cellular structure

(1)

(2)

圖2 腐蝕-擴(kuò)散算子Fig. 2 The process of the “erode” and “dilate” operators

1.2 優(yōu)化流程

為了更清楚地說(shuō)明本文提出的算法,本小節(jié)給出了熱對(duì)流問(wèn)題微觀結(jié)構(gòu)拓?fù)渑c宏觀密度分布并行拓?fù)湓O(shè)計(jì)的具體優(yōu)化流程,如圖3所示．

圖3 提出算法的優(yōu)化流程圖Fig. 3 The optimization flowchart of the proposed method

Step 1: 優(yōu)化得到有限個(gè)體積分?jǐn)?shù)不同的微結(jié)構(gòu);

Step 2: 基于腐蝕-擴(kuò)散算子,建立準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù);

Step 3: 利用漸近均勻化方法計(jì)算微結(jié)構(gòu)等效材料屬性,及其B樣條代理模型;

Step 4: 優(yōu)化宏觀單元的密度分布;

Step 5: 基于MMA 優(yōu)化算法更新設(shè)計(jì)變量,完成結(jié)構(gòu)優(yōu)化并進(jìn)行后處理及驗(yàn)證．

2 問(wèn) 題 描 述

本節(jié)針對(duì)熱傳導(dǎo)問(wèn)題驗(yàn)證本文算法的有效性,測(cè)試模型設(shè)計(jì)域?yàn)檫呴L(zhǎng)L=1 m的正方形,均布熱載荷Q=1 W/m2．規(guī)定左側(cè)中部長(zhǎng)度為L(zhǎng)/10的邊界T=0 K,其他邊界對(duì)流系數(shù)為0(圖4)．

圖4 設(shè)計(jì)域及邊界條件Fig. 4 The design domain and boundary conditions

網(wǎng)格劃分規(guī)模為100×100．為提高結(jié)構(gòu)熱導(dǎo)率,優(yōu)化采用雙材料,其導(dǎo)熱系數(shù)分別為k1=1 W/(m2·K)和k2=0.001 W/(m2·K)．

在穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,結(jié)構(gòu)熱柔順度被廣泛用于性能評(píng)估．結(jié)構(gòu)的熱柔順度值越小,說(shuō)明結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱性越好．因此,本文考慮了體積約束下結(jié)構(gòu)熱柔順度最小的優(yōu)化問(wèn)題:

J=TTKT,

(3)

其中,K和T分別表示全局熱傳導(dǎo)矩陣和溫度向量,滿(mǎn)足方程KT=Q,Q為熱載荷向量．矩陣K可由下式計(jì)算得到:

(4)

其中,Ωe和Nma分別表示單元積分域和單元個(gè)數(shù),B是單元應(yīng)變矩陣,De是位于第e個(gè)宏觀單元的微結(jié)構(gòu)的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)矩陣．

本文基于漸近均勻化方法[29]計(jì)算微結(jié)構(gòu)的等效矩陣:

(5)

其中,D(y)是微觀材料插值得到的熱傳導(dǎo)系數(shù)矩陣,y代表微觀積分域,εy(·)是應(yīng)變算子,φ=[φ11,φ22,φ12] 代表求解施加周期性邊界條件的均勻化問(wèn)題得到的三個(gè)特征位移場(chǎng):

(6)

其中,Vy={uy(y)|y∈Y,uy(y+Y)=uy(y)}表示單元Y中定義的周期函數(shù)的函數(shù)空間,v表示虛位移場(chǎng)．

3 微觀尺度設(shè)計(jì)

3.1 微觀尺度優(yōu)化模型

基于密度的拓?fù)鋬?yōu)化方法,采用均勻化方法和MMA優(yōu)化方法進(jìn)行微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì):

(7)

(8)

(9)

其中

(10)

且

(11)

3.2 微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

1) 策略1:不考慮微結(jié)構(gòu)之間的連通性

對(duì)體積分?jǐn)?shù)分別為0.2,0.4,0.6,0.8的優(yōu)化公式(7)求解,可以得到如圖5所示的4種微觀結(jié)構(gòu)．本文將這些微觀結(jié)構(gòu)稱(chēng)為“基礎(chǔ)微結(jié)構(gòu)”．

圖5 基礎(chǔ)微結(jié)構(gòu)(策略1)Fig. 5 The elementary microstructure for strategy 1

為保證經(jīng)腐蝕和擴(kuò)散后的微結(jié)構(gòu)具有光滑邊界,對(duì)微結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化,將每個(gè)微觀單元?jiǎng)澐譃閚c×nc的細(xì)網(wǎng)格,如圖6所示．本文選擇nc=3,將微結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格細(xì)化為240×240．

圖6 網(wǎng)格細(xì)化示意圖Fig. 6 Mesh refinement

利用腐蝕-擴(kuò)散算子,可以得到一系列密度從0至1變化的微結(jié)構(gòu),參數(shù)設(shè)置如下:過(guò)濾半徑設(shè)為rmin=8.6,β值固定為128,微結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)從0.05至1變化,間隔為0.05(共20步),從而得到4×20個(gè)微結(jié)構(gòu),并選擇若干體積分?jǐn)?shù)均勻增大的微結(jié)構(gòu)作為準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)①,用于后續(xù)的計(jì)算和優(yōu)化,如圖7所示．

圖7 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)①Fig. 7 The microstructural library ①

2) 策略2: 考慮微結(jié)構(gòu)之間的連通性

由于策略1中不同體積分?jǐn)?shù)的微結(jié)構(gòu)拓?fù)涫仟?dú)立計(jì)算的,微結(jié)構(gòu)間的連通性較差．本文將體積分?jǐn)?shù)較小的微結(jié)構(gòu)作為不可設(shè)計(jì)域,依次優(yōu)化獲取體積分?jǐn)?shù)較大的微結(jié)構(gòu)．首先,優(yōu)化得到體積分?jǐn)?shù)為0.2的微結(jié)構(gòu),并作為不可設(shè)計(jì)域優(yōu)化體積分?jǐn)?shù)為0.4的微結(jié)構(gòu),同理,優(yōu)化得到體積分?jǐn)?shù)為0.6和0.8的微結(jié)構(gòu)．從而得到4個(gè)連通性較好的基礎(chǔ)微結(jié)構(gòu),如圖8所示．應(yīng)用策略1中的腐蝕-擴(kuò)散算子,得到準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)②,如圖9所示．

圖8 基礎(chǔ)微結(jié)構(gòu)(策略2)Fig. 8 The elementary microstructure for strategy 2

圖9 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)②Fig. 9 Microstructural library ②

4 宏觀尺度設(shè)計(jì)

4.1 等效材料屬性

基于漸進(jìn)均勻化法計(jì)算兩組準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)等效矩陣DH,

(12)

(a) 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)① (b) 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)②(a) Microstructural library ① (b) Microstructural library ②圖10 等效熱傳導(dǎo)系數(shù)曲線Fig. 10 Fitting curves of D11 and D22 with the variation of

4.2 宏觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果

(13)

(14)

其中,下標(biāo)e=1,2,…,Nma．迭代過(guò)程如圖11所示．準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)①和準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)②的優(yōu)化結(jié)構(gòu)熱柔順度分別為31.279 3和30.252 6．考慮連通性的結(jié)果值略小于不考慮連通性的結(jié)果值．

(a) 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)① (b) 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)②(a) Microstructural library ① (b) Microstructural library ②圖11 迭代過(guò)程Fig. 11 The iteration process of example 1

4.3 變密度胞元結(jié)構(gòu)組裝

宏觀優(yōu)化完成后,利用體積分?jǐn)?shù)最接近的微結(jié)構(gòu)對(duì)各個(gè)宏觀單元進(jìn)行組裝,得到變密度胞元結(jié)構(gòu),如圖12所示．

(a) 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)① (b) 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)②(a) Microstructural library ①(b) Microstructural library ②圖12 優(yōu)化結(jié)果Fig. 12 The optimized structures for different methods

5 比較與驗(yàn)證

在本節(jié)中,引入了另外兩個(gè)方案驗(yàn)證方法的有效性．方案一選擇體積分?jǐn)?shù)0.2的微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果作為唯一的基礎(chǔ)微觀結(jié)構(gòu),方案二為單一宏觀尺度設(shè)計(jì)．為了消除均勻化帶來(lái)的誤差,驗(yàn)證4種設(shè)計(jì)的性能,建立了4種設(shè)計(jì)的細(xì)網(wǎng)格模型,并計(jì)算了溫度場(chǎng)．

5.1 兩種對(duì)照方案

1) 單一基礎(chǔ)微結(jié)構(gòu)

方案一 選擇體積分?jǐn)?shù)為0.2的微結(jié)構(gòu)作為單一基礎(chǔ)微結(jié)構(gòu),經(jīng)腐蝕、擴(kuò)散,得到一個(gè)微結(jié)構(gòu)族．由于只有一個(gè)基礎(chǔ)微結(jié)構(gòu),需要大的過(guò)濾半徑來(lái)獲得具有大體積分?jǐn)?shù)的微結(jié)構(gòu),產(chǎn)生高額計(jì)算成本．因此,我們調(diào)整了腐蝕-擴(kuò)散策略:過(guò)濾半徑設(shè)置為8.5,η=0.8和η=0.2分別實(shí)現(xiàn)腐蝕和擴(kuò)散過(guò)程,從而得到兩種微結(jié)構(gòu)．對(duì)新的微結(jié)構(gòu)繼續(xù)應(yīng)用腐蝕-擴(kuò)散,重復(fù)這個(gè)過(guò)程,建立準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)③,如圖13所示．圖14為等效材料屬性擬合曲線,圖15為宏觀區(qū)域密度分布．優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的熱柔順度為31.393 1．

圖13 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)③Fig. 13 Microstructural library ③

圖14 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)③的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)曲線Fig. 14 Fitting curves of D11 and D22 with the variation of in library ③

圖15 準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)③的優(yōu)化結(jié)果Fig. 15 The optimized structures for library ③

2) 宏觀單尺度設(shè)計(jì)

方案二 給出了宏觀單尺度設(shè)計(jì),以說(shuō)明引入雙尺度設(shè)計(jì)對(duì)結(jié)構(gòu)性能的提升．優(yōu)化模型及參數(shù)與文獻(xiàn)[32]相同．拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖16所示,熱柔順度為48.162 9．

圖16 宏觀單尺度拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig. 16 The topology optimization result of the single macro-scale design

5.2 方案驗(yàn)證

在拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中,采用漸近均勻化方法計(jì)算等效材料性質(zhì),并假定周期邊界,忽略非均勻性和非連通性．為了準(zhǔn)確評(píng)定4種結(jié)果的散熱性能,采用8 000×8 000的精細(xì)網(wǎng)格離散優(yōu)化結(jié)果．優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的溫度場(chǎng)如圖17所示．計(jì)算溫度場(chǎng)的一系列參數(shù),用于后續(xù)對(duì)比,如表1所示．

表1 不同策略?xún)?yōu)化結(jié)果的結(jié)構(gòu)散熱性能

圖17 精細(xì)網(wǎng)格下的溫度場(chǎng)優(yōu)化結(jié)果Fig. 17 Temperature fields of the 4 optimization results with the fine mesh

結(jié)果表明,變密度胞元結(jié)構(gòu)比傳統(tǒng)的宏觀優(yōu)化結(jié)構(gòu)具有更好的熱性能．相比之下,其熱柔順度等參數(shù)明顯降低．在準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)①中,由于在微結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)沒(méi)有加入不可設(shè)計(jì)域,導(dǎo)致一些微結(jié)構(gòu)之間的連通性較弱,結(jié)構(gòu)性能下降．準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)③的構(gòu)建只使用了體積分?jǐn)?shù)為0.2的微結(jié)構(gòu),擴(kuò)散得到體積分?jǐn)?shù)較大的微結(jié)構(gòu)與最佳微結(jié)構(gòu)存在偏差,其散熱性能也降低了．此外,4種優(yōu)化方案的最終結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)分別為0.202 5,0.201 7,0.200 4和0.200 7．體積分?jǐn)?shù)偏差小,在允許范圍內(nèi)．因此,本文提出的變密度多尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法是合理的,優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)散熱性能優(yōu)異．

6 結(jié) 論

本文將變密度多尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用于散熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化．基于腐蝕-擴(kuò)散算子處理基礎(chǔ)微結(jié)構(gòu)生成準(zhǔn)周期微結(jié)構(gòu)庫(kù)．采用漸進(jìn)均勻化方法計(jì)算微結(jié)構(gòu)的等效熱傳導(dǎo)系數(shù),得到擬合曲線,用于宏觀優(yōu)化,并組裝變密度胞元結(jié)構(gòu)．此外,由于相鄰微結(jié)構(gòu)共享相似的微結(jié)構(gòu)拓?fù)?具有較好的連通性．?dāng)?shù)值算例表明,與傳統(tǒng)的宏觀尺度設(shè)計(jì)相比,變密度結(jié)構(gòu)具有更好的散熱性能．