基于CPFS結(jié)構(gòu)理論探討數(shù)學(xué)解題前的“理解題目”
——探索通過“理解題目”來提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的方法

馮亞芳, 李書海

(1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000;2.赤峰學(xué)院民族數(shù)學(xué)教育研究所,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

0 引言

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題,學(xué)生的解題能力既是所學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及其體系的綜合表現(xiàn),又是學(xué)生數(shù)學(xué)基本技能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的外在體現(xiàn).高中生已經(jīng)具備基本的數(shù)學(xué)閱讀能力,但對于材料閱讀仍然缺乏精準、有效地提取數(shù)學(xué)相關(guān)知識的能力.因此,在解題時不能很好地理解題目、解決問題.數(shù)學(xué)閱讀是課程標準提出的一種重要學(xué)習(xí)方式,而在高中數(shù)學(xué)課堂中,教師對于數(shù)學(xué)解題前“理解題目”的教學(xué)較為隨意,缺乏系統(tǒng)性和組織性,在一定程度上阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.波利亞在《怎樣解題》中為人們提供了一套系統(tǒng)的解題途徑,解題過程主要包括4個階段:理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧[1].當(dāng)前,數(shù)學(xué)解題及其教學(xué)大多關(guān)注如何利用波利亞解題思想找到相應(yīng)的解題思路和方法,卻忽視了“理解題目”這一階段的教育價值.因此,這是一項有待深入探討和研究的課題.

由喻平教授提出的CPFS結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中特有的認知結(jié)構(gòu)[2].它集知識與方法于一體,不僅為培養(yǎng)學(xué)生“理解題目”這一步驟提供了理論支撐,而且可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和關(guān)鍵能力.目前,國內(nèi)結(jié)合CPFS結(jié)構(gòu)理論對數(shù)學(xué)教育的研究多集中于數(shù)學(xué)概念、復(fù)習(xí)課教學(xué)研究以及對數(shù)學(xué)問題解決影響的相關(guān)性研究.

三角函數(shù)作為高考的必考內(nèi)容之一,三角函數(shù)題情境多變,靈活多樣,對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都提出了更高的要求.而基于CPFS結(jié)構(gòu)理論探討三角函數(shù)解題教學(xué)從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的研究不是很多,通過閱讀相關(guān)文獻,受文獻[2-5]的啟發(fā),筆者將基于CPFS結(jié)構(gòu)理論,結(jié)合一道三角函數(shù)高考題來探討波利亞提出的數(shù)學(xué)解題前“理解題目”這一階段,以期探索通過“理解題目”來提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的有效方法,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力,發(fā)展關(guān)鍵能力.

1 CPFS結(jié)構(gòu)理論與解題前的“理解題目”

CPFS結(jié)構(gòu)理論將數(shù)學(xué)知識與思想方法有效融合,它是概念域、概念系、命題域、命題系形成的心理結(jié)構(gòu),如圖1所示.CPFS結(jié)構(gòu)理論是一種結(jié)點之間具有邏輯意義、聯(lián)系緊密的結(jié)構(gòu),是“層次網(wǎng)絡(luò)”與“激活擴散”的整合[6].它可以幫助學(xué)生有效掌握系統(tǒng)完善的數(shù)學(xué)知識,進而使得“理解題目”這一階段可以順利進行.

圖1

“理解題目”是波利亞“怎樣解題”表中的第一個階段.這一階段對解題者提出如“已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么?求證什么?”等許多問題,可以幫助學(xué)生構(gòu)建審題框架,有效提取相關(guān)數(shù)學(xué)知識.理解題目是解題的必要前提,而在此階段學(xué)生能夠有效提取個體頭腦中原有的相關(guān)知識是十分重要的.這一階段其實就是數(shù)學(xué)理解的一個過程,理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的.說一個數(shù)學(xué)的概念、方法或事實徹底地理解了,是指它和現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)是由更強的或更多的聯(lián)系聯(lián)結(jié)著[7].

基于此,發(fā)現(xiàn)CPFS結(jié)構(gòu)理論可以更加清晰地認識到“理解題目”中提取的相關(guān)知識各部分內(nèi)部之間以及與題目當(dāng)中的條件、結(jié)論外部之間的聯(lián)系.事實上,“理解題目”的過程也是數(shù)學(xué)理解水平層次不斷深化和個體CPFS結(jié)構(gòu)不斷完善的過程,研究者李渺給出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中個體CPFS結(jié)構(gòu)變化與數(shù)學(xué)理解的關(guān)系圖,將其整理如圖2所示.

圖2

根據(jù)上述分析,“理解題目”這一階段可以分為兩個層次:第一層次是表層理解,理解題目的文字敘述;第二層次是深層理解,分離主要部分,弄清細節(jié),將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.可以看出在“理解題目”的過程中,一方面,如果學(xué)生可以從原有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識出發(fā),逐漸從表層理解過渡到深層理解,那么個體CPFS結(jié)構(gòu)也會相應(yīng)地發(fā)生變化,并逐漸趨于完善,反之,個體CPFS結(jié)構(gòu)會反過來影響學(xué)生審題,進而影響解題;另一方面,如果個體CPFS結(jié)構(gòu)優(yōu)良,那么學(xué)生對于題目涉及的相關(guān)知識就可以有效、精準提取,進而順利解題,反之,學(xué)生對于題目信息涉及的相關(guān)知識是缺失、不完整的,就會妨礙解題.

2 個體CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)閱讀能力

不同的學(xué)者對于數(shù)學(xué)閱讀能力有不同的看法,胡理華認為數(shù)學(xué)閱讀能力主要指:準確理解原文;較快的閱讀速度;提出問題、分析問題和解決問題的能力,并指出數(shù)學(xué)閱讀能力可以分為6個水平,分別是:認讀水平、概述水平、辨析水平、串聯(lián)水平、領(lǐng)悟水平、研究水平.這6個水平相互關(guān)聯(lián),是一個“螺旋式上升”的過程.同時,這6個不斷進階的水平也與個體CPFS結(jié)構(gòu)發(fā)展的過程相一致,當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力處于第一、二水平時,相當(dāng)于表層閱讀,也就是學(xué)生在原有認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上形成新的認知結(jié)構(gòu),那么新的個體CPFS結(jié)構(gòu)初步形成;當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力處于第三、四水平時,相當(dāng)于深層閱讀的第一層次,也就是學(xué)生在初步形成的認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上逐漸完善認知結(jié)構(gòu),那么初步形成的個體CPFS結(jié)構(gòu)得到完善;當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力處于第五、六水平時,相當(dāng)于深層閱讀的第二層次,也就是學(xué)生在趨于完善的認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上形成最終的認知結(jié)構(gòu),那么新的個體CPFS結(jié)構(gòu)最終形成.

楊紅萍、喻平認為個體CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)閱讀成績之間有密切聯(lián)系[8].通過閱讀相關(guān)文獻,發(fā)現(xiàn)個體CPFS結(jié)構(gòu)完善與否直接影響學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的效果.學(xué)生擁有良好的個體CPFS結(jié)構(gòu),在數(shù)學(xué)閱讀時將會取得較好的閱讀效果.而在此過程中學(xué)生的閱讀能力水平將不斷從低層次水平向高層次水平過渡,這也有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.反之,如果學(xué)生個體CPFS結(jié)構(gòu)不完善,那么就會取得較差的效果.因此,教師在進行教學(xué)時,應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識與思想方法的體系,使學(xué)生形成較為完善的個體CPFS結(jié)構(gòu),進而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力.

3 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論下“理解題目”的案例分析

為了更好地理解和體現(xiàn)基于CPFS結(jié)構(gòu)理論來探討“理解題目”這一步驟,筆者以2022年一道三角函數(shù)高考題為例,說明如何基于CPFS結(jié)構(gòu)理論來探討“理解題目”這一步驟,以期引起教師重視這一步驟的教學(xué),從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力.通過對這個案例詳盡的描述和分析,從中提出通過探索解題前的“理解題目”來提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的方法,以期幫助學(xué)生更好地解題.

例1記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

1)若A=2B,求C;

2)證明:2a2=b2+c2.

(2022年全國數(shù)學(xué)高考乙卷文科試題第17題)

4.1 基于相關(guān)提示語,表層閱讀與深層閱讀相結(jié)合

結(jié)合以上分析,我們不妨深入研究,設(shè)計以下問題組,助力學(xué)生基于相關(guān)提示語、表層閱讀與深層閱讀相結(jié)合的教學(xué).

題組1基于“表層閱讀”與“深層閱讀”.

1)這是一個什么問題?已知數(shù)據(jù)是什么?

2)條件是什么?求證什么?哪些是關(guān)鍵點?

3)條件是否足以確定未知量?是否需要借助直觀圖輔助求解?

分析首先,確定范圍:通過審題初步發(fā)現(xiàn),這是一道有關(guān)三角函數(shù)的求解證明題.其次,明確條件和要求:題目中的已給條件是△ABC的內(nèi)角A,B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,且sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),第1)小題已知條件是A=2B,需要求解的目標是角C的大小和證明2a2=b2+c2成立,第1)小題的關(guān)鍵是找出三角形中3個內(nèi)角之間的關(guān)系,借助A=2B對已知條件sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)進行化簡,從而確定另一組關(guān)于角的等式;第2)小題的關(guān)鍵是找出三角形三邊的關(guān)系,對已知條件sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)進行化簡,從而確定三邊的關(guān)系.接著,可以將數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化為圖形(草圖),如圖3所示.另外,通過審題發(fā)現(xiàn),條件1是一組直接關(guān)于角的等式A=2B,條件2是一組“變形”的關(guān)于角的等式sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),想要借助這兩個條件確定角C的大小,是不夠的.因此,需要再找一組關(guān)于角的等式,3個變量、3個方程即可確定角的大小.最后,結(jié)合前3步提取個體頭腦中的數(shù)學(xué)相關(guān)知識.

圖3

4.2 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論,構(gòu)建題目的概念系

例1與三角函數(shù)有關(guān),根據(jù)人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(必修第一冊)中與三角函數(shù)有關(guān)的概念與命題、思想方法進行歸納整理,可以形成基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的三角函數(shù)知識結(jié)構(gòu).基于此,可以將三角函數(shù)所涉及的相關(guān)知識點賦予符號代稱,形成三角函數(shù)的概念系(如圖4).根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》對此部分教學(xué)內(nèi)容的要求,可以明確學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識之前,已經(jīng)具備一定的認知基礎(chǔ),而且,這部分知識也為人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(必修第二冊)第6.4節(jié)中“解三角形的相關(guān)知識”做鋪墊,為解決一些實際問題提供了條件.

圖4

基于該理論,構(gòu)建題目的概念系,其實就是一個對題目進行補充、選擇的過程.基于此,教師可以設(shè)計以下問題組,幫助學(xué)生構(gòu)建有關(guān)三角函數(shù)的概念系.

題組2構(gòu)建三角函數(shù)的概念系.

1)在三角形中共有幾個未知量,要想求出角C的大小,需要幾個方程?

2)在三角形中求角的大小,我們應(yīng)當(dāng)注意什么?

3)針對條件2“sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)”,可以借助條件1“A=2B”進行化簡嗎?

4)在化簡條件2時,需要用到什么知識點?

5)針對條件2還可以借助其他知識點進行化簡嗎?

分析首先,學(xué)生通過問題1)可以想到題目中共有3個未知量,因此想求出角C的大小,需要3個方程;其次,根據(jù)問題2)可以想到3個角之和為180°,即A+B+C=π,此時,學(xué)生就找到了3個方程;接著,問題3)和問題4)的目的是用學(xué)生已有的知識點對等式進行化簡,借助條件1,等式可以化簡為sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),那么接下來根據(jù)已知條件,再借助兩個角的正弦值相等,即可推斷出兩角相等或兩角互補,根據(jù)已知進行判斷,然后聯(lián)立3個方程即可求出角C;最后,問題5)是進一步拓展,可以引導(dǎo)學(xué)生進一步思考,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,盡可能多地幫助學(xué)生提取頭腦中已有的知識結(jié)構(gòu).

4.3 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論,構(gòu)建題目的方法體系

數(shù)學(xué)命題是CPFS結(jié)構(gòu)的另一個出發(fā)點,是由典型問題引發(fā)出來的命題域中的一個.學(xué)生可以在自己原有的認知結(jié)構(gòu)中提取遷移已有的知識、思想和方法.這個提取遷移的過程實則就是個體認知結(jié)構(gòu)不斷完善的過程,這不僅有利于精準審題、順利挖掘隱含的數(shù)學(xué)信息,而且也有利于解題的順利進行.根據(jù)以上分析可以形成解三角形的方法結(jié)構(gòu)圖(如圖5).

圖5

基于該理論,構(gòu)建題目的方法體系其實就是對題目進行綜合的過程.基于此,教師可以設(shè)計以下問題組,幫助學(xué)生構(gòu)建有關(guān)解三角形的方法體系.

題組3構(gòu)建解三角形的方法體系.

1)在三角形中,求證2a2=b2+c2這樣的等式,你之前見過嗎?

2)求證2a2=b2+c2,我們應(yīng)該用什么方法?

3)題目中給出的三角形是直角三角形嗎?

4)解任意三角形應(yīng)當(dāng)借助什么知識點?

5)題目中哪個已知條件出現(xiàn)了3條邊或3個角的等量關(guān)系?

6)觀察已知條件有什么結(jié)構(gòu)特征?如何將已知條件向求證目標轉(zhuǎn)化?

分析首先,學(xué)生通過問題1)和問題2),可以回憶出在三角形中求證邊之間的關(guān)系應(yīng)當(dāng)利用解三角形的方法;其次,根據(jù)問題3)和問題4),學(xué)生可以進一步縮小范圍,確定求任意三角形的邊長關(guān)系可以借助正弦定理、余弦定理;接著,根據(jù)問題5),學(xué)生會發(fā)現(xiàn)條件2出現(xiàn)了3個角之間的關(guān)系,還可以根據(jù)題意,畫出草圖協(xié)助解題;最后,根據(jù)問題6),學(xué)生通過觀察條件2,發(fā)現(xiàn)等式內(nèi)出現(xiàn)sin(A-B),sin(C-A),要想出現(xiàn)3條邊的關(guān)系應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)3個內(nèi)角A,B,C的關(guān)系.

4.4 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論,助力“理解題目”達成目標

基于以上分析,學(xué)生可以基于個體CPFS結(jié)構(gòu)對原題目進行推測、分析、補充、選擇,最終順利完成“理解題目”這一階段.筆者將這道題的審題分析過程,整理成圖6.

圖6

通過設(shè)計以上3個題組,教師提出引導(dǎo)性的問題,幫助學(xué)生有目的地進行“理解題目”,設(shè)置的問題層層遞進,符合學(xué)生認知發(fā)展的規(guī)律,有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣.題組1需要學(xué)生對題目給出的文本信息進行閱讀,理解文字敘述,通過第一步表層閱讀,可以鍛煉學(xué)生認讀和概述的閱讀水平;題組2和題組3不僅需要學(xué)生分離主要部分,弄清細節(jié),通過明確條件和要求進一步鍛煉學(xué)生辨析、串聯(lián)的閱讀水平,而且需要學(xué)生對文本語言進行轉(zhuǎn)化或化簡,可以將例1中的數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形;最后,結(jié)合以上分析提取個體頭腦中的相關(guān)知識,通過深層閱讀鍛煉學(xué)生領(lǐng)悟、研究的閱讀水平.在這樣一個“理解題目”的過程中,學(xué)生的閱讀能力不僅會呈現(xiàn)“階梯式”進步,而且個體頭腦中的CPFS結(jié)構(gòu)也會越來越趨于完善.

5 結(jié)語

訓(xùn)練學(xué)生理解題目的能力不僅是對他們數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng),而且也是對個體CPFS結(jié)構(gòu)的發(fā)展和完善.那么在課堂教學(xué)中,教師如何在解題前的“理解題目”這一階段,提升學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的能力呢?通過以上分析,可以得出以下幾點建議:

第一,表層閱讀與深層閱讀相結(jié)合,助力學(xué)生理解題目.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,數(shù)學(xué)解題是一種重要的學(xué)習(xí)方式,如果學(xué)生可以抓住“題目”這種現(xiàn)有的“閱讀材料”,重視對題目的閱讀和分析,不僅可以有效利用已有的學(xué)習(xí)資源,而且可以幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣.教師在培養(yǎng)學(xué)生“理解題目”的過程中,逐漸做到“潤物細無聲”的教育.

第二,有效教學(xué)與自發(fā)學(xué)習(xí)相統(tǒng)一,有效開展“理解題目”的教學(xué),使學(xué)生重視“理解題目”這一階段.在審題教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)設(shè)置層層遞進的問題,引導(dǎo)學(xué)生深度思考、挖掘題目中的關(guān)鍵點和隱含信息,充分激活個體CPFS結(jié)構(gòu),久而久之,學(xué)生自然會養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣,在學(xué)習(xí)和解題時就會自發(fā)注重審題,充分利用現(xiàn)有的閱讀材料.

第三,夯實學(xué)科基礎(chǔ)與完善個體CPFS結(jié)構(gòu)相促進.教師應(yīng)當(dāng)注重基礎(chǔ)概念、命題的講解,完善學(xué)生個體CPFS結(jié)構(gòu).在教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)從多角度揭示概念的內(nèi)涵,深層次講解命題,抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì),注重突出概念、命題之間的聯(lián)系,這樣才有利于幫助學(xué)生形成較為完善的個體CPFS結(jié)構(gòu),促進學(xué)生的學(xué)習(xí)與解題.