生本理念下高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)

游華秀

(上杭縣第一中學(xué),福建 上杭 364200)

教師的課堂教學(xué)要能為學(xué)生搭建一個適宜學(xué)習(xí)的方式和平臺.基于學(xué)情、站在學(xué)生學(xué)習(xí)立場的精心設(shè)計,對學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成、學(xué)習(xí)方式的優(yōu)化、學(xué)習(xí)方法的掌握、學(xué)習(xí)能力的提升和思維品質(zhì)的優(yōu)化大有裨益．然而,在解題教學(xué)中,筆者發(fā)現(xiàn)不少教師將教學(xué)設(shè)計的重心放在展示自己的解題能力上,不斷地拋出不同解法,強(qiáng)化解題技巧和套路的訓(xùn)練,忽視思路的分析和解法的形成過程,忽略學(xué)生內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維活動.數(shù)學(xué)解題教學(xué)的關(guān)鍵應(yīng)落實到何處?怎樣落實才能更好地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)?筆者談?wù)勛约旱囊恍┧伎迹?/p>

1 著眼點:點撥疑難,幫助學(xué)生擺脫學(xué)習(xí)困境

學(xué)生解題障礙主要體現(xiàn)在已有知識和經(jīng)驗無法與所求問題成功對接,解題過程出現(xiàn)思維短路．解題教學(xué)設(shè)計要切實以生為本,關(guān)注學(xué)生的所思所想,弄清學(xué)生“困”在何處?為什么會“困”?怎樣想方設(shè)法突出重圍?真正幫助學(xué)生釋疑解惑,引導(dǎo)學(xué)生在探究破解問題的方法上下足功夫,讓其擺脫學(xué)習(xí)困境才是解題教學(xué)設(shè)計的著眼點.

1)將C和l化為直角坐標(biāo)方程;

2)求C上的點到l距離的最小值．

條件給出的橢圓參數(shù)方程和教材中以離心角為變量的形式不同,這是學(xué)生解題的受困之處．教師在解題教學(xué)設(shè)計時,可依托問題鏈驅(qū)動學(xué)生逐步破解:

問題1消元主要有哪些手段?怎樣操作?

上述問題鏈循序漸進(jìn),慢慢地讓學(xué)生找到平方相加消元法,即

(1+t2)2=(1-t2)2+(2t)2;

2 著力點:深挖本質(zhì),幫助學(xué)生實現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移

能否抓住問題的本質(zhì)決定了能否正確解決問題或解題方法是否簡潔.解題教學(xué)的設(shè)計應(yīng)著力幫助學(xué)生揭示概念、原理的相同或相通之處,深入探尋問題本源,指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題方法的普遍性與特殊性,讓學(xué)生懂得各種方法的來龍去脈,清楚不同方法之間的區(qū)別與聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生觸類旁通的遷移能力.

例2已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

2)若f(x)≥1,求a的取值范圍．

(2020年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題)

lna+x0-1=-lnx0.

易知x0與a的大小有關(guān),當(dāng)x∈(0,x0)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,從而

f(x)≥f(x0)=aex0-1-lnx0+lna

即

lna=1-x0-lnx0≥1-1-ln 1=0,

故a≥1.

解法2易證不等式ex>x-1,x-1≥lnx成立,可得

aex-1≥ax, -lnx≥-x+1.

當(dāng)x=1時,上面兩式取到等號,從而

aex-1-lnx+lna≥ax-x+lna+1,

只需要證

ax-x≥-lna,

即證

x(a-1)≥-lna.

當(dāng)a≥1時,x(a-1)≥0≥-lna恒成立;當(dāng)0

解法3由f(x)≥1,可得

aex-1-lnx+lna≥1,

即

ex-1+ln a-lnx+lna≥1,

亦即

ex-1+ln a+lna+x-1≥lnx+x=eln x+lnx.

令g(t)=et+t,則

g′(t)=et+1>0,

從而g(t)在R上單調(diào)遞增,得

g(lna+x-1)≥g(lnx),

從而

lna+x-1≥lnx,

即lna≥lnx-x+1恒成立.令h(x)=lnx-x+1,得

當(dāng)00,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減,從而

h(x)≤h(1)=0,

即

lna≤0,

故a≥1．

解法4aex-1-lnx+lna≥1,即aex-1≥lnx-lna+1.又函數(shù)g(x)=lnx-lna+1與h(x)=aex-1互為反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對稱,兩個圖象均與y=x相切,且相切時a取最小值.設(shè)切點橫坐標(biāo)為x0,則

g(x0)=lnx0-lna+1=x0,

且

求得a=1,故a≥1．

經(jīng)過探究,教師要讓學(xué)生明白:解法1根據(jù)f(x)的最小值去尋找x0的范圍,再從中求得a的取值范圍,分類討論及隱零點的運(yùn)用是常見思路;解法2通過放縮,將超越不等式轉(zhuǎn)化為易解的不等式,這也是基本方法,不等式ex≥x-1和x-1≥lnx是學(xué)生必須熟記的重要結(jié)論,比解法1少了繁雜的討論;解法3抓住了函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,需要理解求解的思路,才能領(lǐng)會如此巧妙的做法;解法4在解法3的基礎(chǔ)上,更進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性,其實質(zhì)是兩個凹凸性不同的函數(shù)相切.讓學(xué)生在探究中獲得知識與方法的本源,不斷修正錯誤思路,拓展創(chuàng)新優(yōu)秀解法,實現(xiàn)由一題到一類的遷移.

3 著重點:經(jīng)歷過程,幫助學(xué)生獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗

教學(xué)是一項雙向活動,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師的解題教學(xué)不能只給出問題的答案,而應(yīng)讓學(xué)生深度參與解題方案形成的全過程,包括隱含條件的挖掘、關(guān)鍵信息的轉(zhuǎn)換、重要的計算步驟等,不斷強(qiáng)化才能將課堂所學(xué)內(nèi)化為自己的基本經(jīng)驗,提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

例3直線l過點P(-4,0),與⊙C:(x-1)2+y2=5交于點A,B,A是線段PB的中點,求直線l的方程.

以下是某教師高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)片段:

方法1設(shè)直線l的方程為y=k(x+4),點A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l與圓方程聯(lián)立,可得

又A是線段PB的中點,則

2x1=x2-4,

得

故所求方程為

x±3y+4=0.

方法2設(shè)直線l的方程為x=my-4,與圓聯(lián)立(下同方法1,略).

這是一題多解教學(xué)的常見誤區(qū),該教師只是拋出各種解法,沒有幫助學(xué)生揭示不同解題方法的“源”與“流”.“方程思想”是解決解析幾何題的基本思想方法,方法1“怎樣解出k的值”是學(xué)生的一個難點,缺乏計算的過程,一步跨過學(xué)生未必能真正獲解;方法3的實質(zhì)是“方程思想”下的簡解,精準(zhǔn)點評才能讓學(xué)生積累經(jīng)驗,才能避免讓學(xué)生形成“總是用根與系數(shù)的關(guān)系”的錯覺.

4 落腳點:啟迪智慧,幫助學(xué)生學(xué)會理性思考

解題教學(xué)是啟迪學(xué)生心智的重要途徑.其教學(xué)設(shè)計不能只關(guān)注問題的模式識別、解題技巧的歸納、求解套路的訓(xùn)練,應(yīng)該通過典型問題的分析,將思維的啟迪落到實處,讓學(xué)生學(xué)會深入分析題目所給的各個信息之間的關(guān)聯(lián),特別是在所求問題的目標(biāo)引領(lǐng)下如何合理選擇問題的求解策略,掌握理性思考問題的方法.

( )

(2022年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第8題)

分析此題的目標(biāo)是求棱錐體積V,已知側(cè)棱長l,自然會想到建立V與l的函數(shù)關(guān)系.如圖1,設(shè)正四棱錐的底面邊長為a,高為h,由題意可知球的半徑R=3,又

圖1

從而

l2=6h.

由l的取值范圍可得

找出h,l,a之間的關(guān)系是求解此題的關(guān)鍵．

解法1(統(tǒng)一化為l)正四棱錐的體積為

設(shè)x=l2∈[9,27],則

利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性可得

故選C．

解法2(統(tǒng)一化為h)正四棱錐體積為

利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性可得

故選C．

解法3(統(tǒng)一成角)設(shè)正四棱錐高與側(cè)棱的夾角為θ,AE=m,則在△AEP中,

y=sinθcos2θ=-x3+x,

以上解法自然順暢,學(xué)生的自然想法與數(shù)學(xué)思維方式的融合是啟迪學(xué)生智慧的有效路徑.解題教學(xué)需基于學(xué)科的整體高度,設(shè)計的關(guān)鍵要落在知識的交匯處,關(guān)注知識的整體關(guān)聯(lián),才能通過解題教學(xué)讓學(xué)生實現(xiàn)知識內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、求解方法系統(tǒng)化、遷移能力自動化.上述設(shè)計讓學(xué)生充分經(jīng)歷了必備知識與關(guān)鍵能力的研習(xí)與運(yùn)用,體現(xiàn)了目標(biāo)引領(lǐng)下邏輯地思考數(shù)學(xué)問題的過程,展現(xiàn)了在情境活動思路探尋中“理性思維”的統(tǒng)領(lǐng)價值,對提升學(xué)生的思維能力大有裨益.

5 關(guān)鍵點:反思總結(jié),幫助學(xué)生優(yōu)化學(xué)習(xí)習(xí)慣

對解題過程的反思與總結(jié)是學(xué)生能力提升不可或缺的環(huán)節(jié),這也是一種優(yōu)秀的學(xué)習(xí)習(xí)慣.解題教學(xué)不可解完即止,應(yīng)將“反思”與“解題”相互融合,包括知識的歸納、方法的提煉、錯誤的探源、思路的優(yōu)化及對題目的再審視、再探索,不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

1)求a的值;

于是

聯(lián)結(jié)PP1,BB1,AA1,不難發(fā)現(xiàn)PP1∥BB1∥AA1.

解題教學(xué)與解后總結(jié)反思密不可分,并非相互獨立,更不是相互對立,而是互補(bǔ)地存在于教學(xué)過程之中.合理必要的反思有助于日后更好地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,對師生都能起到極大的幫助.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計既要深入研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)本身的規(guī)律,理解學(xué)生的學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)習(xí)慣和認(rèn)知特點,還要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的基本思想和方法、解決問題的常用策略、課堂操作的基本路徑,準(zhǔn)確把握教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵點,抓實學(xué)生外顯的學(xué)習(xí)過程,抓牢學(xué)生內(nèi)在思維品質(zhì)的優(yōu)化,才能將數(shù)學(xué)能力的發(fā)展真正落到實處.