數學思想在三角函數問題中的應用

田 鵬 熊亞莉

(重慶市長壽中學)

數學思想是解決數學問題的方向標,在數學思想的指引下,解題方向是明確的,需要建立的目標關系是確定的.高中數學中有很多數學思想,如數形結合思想、轉化與化歸思想、函數與方程思想以及分類討論思想等.三角函數問題中蘊含的數學思想非常豐富,本文通過實例談談數學思想在三角函數問題中的應用.

1 數形結合思想

數形結合思想旨在借助圖形的直觀性解決問題,其既包含將代數問題轉化為幾何問題,又包含將幾何問題轉化為代數問題.應用數形結合思想能夠達到“以形助數,以數解形”的目的.

1.1 繪制函數的圖像解題

依據題意可判斷出ω＞0,如若不然,設ω＜0,則函數離y軸的最近的一個極值點在y軸左側,如果在(0,π)恰有三個極值點,則此時必有三個零點,與題設矛盾.根據五點畫圖法,繪制出函數f(x)的圖像如圖1所示.

圖1

例2 (2014年全國Ⅱ卷理12)設函數f(x)＝,若存在f(x)的極值點x0滿足＋[f(x0)]2＜m2,則m的取值范圍是( ).

A.(－∞,－6)∪(6,＋∞)

B.(－∞,－4)∪(4,＋∞)

C.(－∞,－2)∪(2,＋∞)

D.(－∞,－1)∪(1,＋∞)

由于存在f(x)的極值點x0滿足＋[f(x0)]2＜m2,故只需求解＋[f(x0)]2的最小值即可,此式還可以看成點(x0,f(x0))到坐標原點的距離.

由于函數f(x)為奇函數,因此只需對m＞0 時函數f(x)的圖像進行分析.如圖2所示,點A和B到坐標原點的距離相等,且是函數f(x)的所有極值點對應的點到坐標原點的距離最小值.不妨以點B為例,根據五點畫圖法可得),所以,解得m＜－2或m＞2,故選C.

圖2

1.2 繪制單位圓解題

例3 (2023年新高考Ⅰ卷15)已知函數f(x)＝cosωx－1(ω＞0)在[0,2π]上有且僅有3個零點,則ω的取值范圍是________.

設t＝ωx,則t∈[0,2ωπ],問題轉化為方程cost＝1在[0,2ωπ]上有3個零點.

如圖3 所示,設角t的終邊與單位圓交于點P,根據題意,點P從點A開始逆時針旋轉需要3 次經過點A,而旋轉一次是2π,所以有4π≤2ωπ＜6π,解得2≤ω＜3,所以ω的取值范圍為[2,3).

圖3

求函數的零點就是求對應的方程的根,本解法巧妙地構造單位圓,將有3個零點轉化為點P逆時針旋轉時需要3 次經過點A,從而構建角t＝2ωπ所滿足的不等關系.當然,本題也可以直接畫出函數f(x)的圖像或換元后再運用數形結合思想解決.若熟悉余弦函數的性質,則可以這樣解:由cosωx＝1,可得ωx＝2kπ(k∈Z),即在[0,2π]上有3個解,可得,解得2≤ω＜3.

例4 (2018 年全國Ⅰ卷理16)已知函數f(x)＝2sinx＋sin2x,則f(x)的最小值是_______.

因為f(x)＝2sinx＋2sinxcosx,f(x)為奇函數且周期為π,所以不妨設A(cosx,sinx),其中,則點A在單位圓上運動,如圖4所示.

圖4

本題的解法較為新穎,根據三角函數的定義,可將函數f(x)表達式轉化為關于點的坐標的表達式,進而應用數形結合思想將問題轉化為一條曲線和單位圓的位置關系問題,顯然當曲線與單位圓相切時取得最值.本題的解法很多,如導數法和不等式法,在此不再一一羅列,感興趣的讀者可自行求解.利用單位圓可以求解與三角函數有關的問題,如求函數f(x)＝3sinx＋4cosx的最值問題,只需要研究直線t＝4x＋3y與單位圓的位置關系問題,事實上有,解得－5≤t≤5,所以函數f(x)的最大值為5,最小值為－5.當然,運用單位圓還能解決運用導數不易求得的最值問題,如求函數f(x)＝sinx＋2cosx＋sin2x的最值.

2 齊次思想

如果一個代數式中的每一項字母的次數相等,則稱此代數式為齊次式,如果一個分式的分子和分母中每一項的次數都相等,則稱此分式為齊次分式.齊次思想指的是利用相應的關系將一個齊次的整式變成一個齊次分式,進而再轉化為方程或函數問題求解.齊次思想也是將雙變量問題轉化為單變量問題的重要思想方法,在高中數學中有很多應用,如處理導數問題中的比值換元法、解析幾何中的坐標平移法等.

由二倍角公式可知sin2θ＝2sinθcosθ,再由同角三角函數關系可知sin2θ＋cos2θ＝1,則

而

故選C.

由三角函數間的關系及tanθ＝－2可直接求解出sinθ和cosθ的值,進而再代入目標式子中求得答案,此種解法體現(xiàn)了從條件向問題的解題路徑,另外該種解法中需要注意角的象限問題,也即由tanθ＝－2的值確定sinθ和cosθ的值并不唯一,但不影響最終的答案.實際上,若tanθ的值已知,形如f(sin2θ),f(sinθcosθ),f(cos2θ)的整式都可以通過除以cos2θ＋sin2θ變成一個齊次分式,轉化為關于tanθ的代數式,進而求得答案.

3 轉化與化歸思想

轉化與化歸思想指的是將未知問題轉化為已知問題,將不熟悉問題轉化為熟悉問題,將復雜問題轉化為簡單問題.三角函數中的轉化與化歸思想重點考查利用三角函數間的各種變換關系,轉化代數式中的角度、名稱以及代數形式相關的問題.

3.1 轉化角度

例7 (2020年全國Ⅰ卷理9)已知α∈(0,π),且3cos2α－8cosα＝5,則sinα＝( ).

故選A.

本題首先轉化條件中的角度,利用二倍角公式實現(xiàn)從二倍角向單倍角的轉化,同時在利用余弦的二倍角公式轉化時要兼顧三角函數的類型.在轉化角度之后,得到一個關于cosα的方程,求出其值,再利用同角關系求得sinα的值.一般地,在三角函數中轉化角度主要運用三角函數的誘導公式、和差公式及倍角公式.值得注意的是在具體轉化時要仔細觀察式子的結構特征,選擇合適的公式進行轉化.

3.2 轉化名稱

根據題設,首先需要將正切轉化為正弦和余弦,然后運用和差公式、誘導公式以及三角函數的單調性推得角度之間的數量關系.在解題時,尤其要關注角的象限對角的取舍問題.一般地,對于“知值求角”的問題,需要靈活地選擇三角函數,再結合角所在的象限作出判斷.

求解本題時,首先關注三角函數名稱的差異,實施切化弦的思想,然后關注角度的關系,用二倍角公式統(tǒng)一角度.值得注意的是在選用余弦的二倍角公式時,要考慮到方程中還存在著其他的三角函數名稱.當然對tan2α的處理也可采用正切的二倍角公式代入,然后再實施切化弦的思想.

3.3 轉化形式

例11 (2016年全國Ⅱ卷文11)函數f(x)＝的最大值為( ).

A.4 B.5 C.6 D.7

由誘導公式和倍角公式得f(x)＝1－2sin2x＋6sinx,設t＝sinx,則t∈[－1,1],問題轉化求函數y＝－2t2＋6t＋1在t∈[－1,1]上的最大值.

由于二次函數y＝－2t2＋6t＋1的對稱軸為t＝且開口方向向下,則當t＝1時,函數y＝－2t2＋6t＋1取得最大值5,故選B.

要求函數f(x)的最大值,需要將函數f(x)的形式進行轉化,轉化為我們熟悉的函數.本題中運用誘導公式及倍角公式改變函數的形式,化為我們熟悉的二次函數問題,利用二次函數的圖像求解問題.一般地,形如

等皆可以通過改變函數形式化為二次函數求解.

例12 (2021 年浙江卷理18)設函數f(x)＝sinx＋cosx(x∈R).

在本題中,無論是求函數的周期還是求函數的值域,改變函數的形式會使得問題更加簡單.一般地,形如y＝asinx＋bcosx(ab≠0)都可以運用相應的三角函數公式變換成容易處理的代數形式.

4 小結

本文著重介紹了數形結合思想、齊次思想以及轉化與化歸思想在三角函數問題中的應用.當然,在解決三角函數問題時,往往同一個問題需要綜合應用多種思想才能順利解決,此外有很多三角函數問題能用多種方法或思想解決,具體情形留給讀者探索.

鏈接練習

鏈接練習參考答案

1.B.2.C.3.D.4.1.5.A.

(本文系2022年重慶市教育科學“十四五”規(guī)劃一般課題“大觀念理念下主題學習的實踐研究”(課題編號:K22YJ113524)的研究成果.)

(完)