例談三角形中線長最小值問題的求解方法

胡厚松

(重慶市巫山縣第二中學(xué))

在知識點交會處設(shè)置問題,考查學(xué)生對多個知識點的靈活、綜合運用能力,這是近年高考試題命制的一個突出特點.基于此,關(guān)注三角形中線長最小值問題的常用解法,有利于幫助我們厘清解題思維,提升相關(guān)數(shù)學(xué)知識點在解題中的靈活、綜合運用能力,進而提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算以及邏輯推理等方面的核心素養(yǎng).

解三角形是新課標高考數(shù)學(xué)必考知識,而且此類問題的考查經(jīng)常與其他知識緊密聯(lián)系起來,側(cè)重考查學(xué)生靈活運用所學(xué)知識分析、解決問題的能力,同時能夠較好地考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、運算求解以及邏輯推理等能力.本文以多解探究的形式對三角形中線長最小值問題進行剖析,旨在幫助同學(xué)們逐步提高處理此類問題的能力.

題目 已知等腰△ABC中,AB＝AC,且△ABC的面積為2,則邊AC上的中線BD的最小值為____.

思路1 設(shè)出等腰△ABC的腰長和底邊長,則利用余弦定理可得到BD2的表達式;另外,根據(jù)△ABC的面積為2,可得到腰長和底邊長滿足的關(guān)系式.據(jù)此綜合分析,并靈活運用基本不等式即可順利求解目標問題.

解法1 如圖1 所示,作AE⊥BC于點E,設(shè)AB＝AC＝2m,BC＝n,則AD＝CD＝m,BE＝.

圖1

圖2

在△ABD中,由 余 弦 定 理 得BD2＝5m2－4m2cosA.在△ABC中,由 余 弦 定 理 得cosA＝.于是,可得

解法2 同解法1作輔助線并設(shè)元,則在△ABD中,由余弦定理得

在△BCD中,由余弦定理得

又注意到∠ADB＋∠BDC＝180°,所以cos∠BDC＝－cos∠ADB,從而由①＋②可得4m2＋n2＝2m2＋2BD2,化簡得.下同解法1.

1)解法1 靈活運用余弦定理的出發(fā)點是△ABD和△ABC具有公共角,而解法2靈活運用余弦定理的出發(fā)點是∠ADB和∠BDC的余弦值互為相反數(shù).

2)借助基本不等式,巧求最小值的關(guān)鍵在于先消去“m2”,再活用基本不等式的變形結(jié)論“若a＞0,b＞0,則有,當且僅當a＝b時,等號成立”巧求最小值.

思路2 根據(jù)三角形第二面積公式可知△ABC的面積可與sinA緊密聯(lián)系起來,而且根據(jù)余弦定理可知BD2可與cosA緊密聯(lián)系起來,據(jù)此可考慮靈活運用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性解題.

解法3 設(shè)AB＝AC＝2m,BC＝n,則AD＝m.因為△ABC的面積為2,所以,化簡得msinA＝1.于是,在△ABD中,由余弦定理得

變形得BD2sinA＋4cosA＝5.易知存在角φ,使得

該解法的關(guān)鍵是先消去“m2”,再利用角A的正弦、余弦靈活表示BD2的表達式,然后借助輔助角公式以及正弦函數(shù)值的有界性構(gòu)建不等式,最后通過化簡不等式使問題獲解.

思路3 由于本題涉及三角形的中線,所以可考慮三角形的中線向量公式,并對該式子兩邊取平方可得到BD2的表達式,然后借助余弦定理、基本不等式使問題順利獲解.

該解法與解法1和解法2類似,不同點在于先以平面向量的線性表示作為解題切入點,再靈活運用余弦定理和基本不等式求解,突出體現(xiàn)了對所學(xué)知識的綜合運用能力.

思路4 由于本題涉及等腰三角形,顯然圖形具有一定的特殊性,又因為目標是求中線長的最小值,所以考慮采用坐標法求解.該解法適當建系并靈活設(shè)出點A的坐標,有利于結(jié)合圖形特征迅速獲得BD2的表達式,然后利用基本不等式即可巧妙使問題獲解.

牛刀小試 已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足

(a－c)(sinA＋sinC)－sinB?(a－b)＝0.

(1)求C;

本文分析了三角形中線長最小值問題的幾種常用解題思路,有效溝通了解三角形、基本不等式、三角函數(shù)、平面向量、解析幾何等知識的緊密聯(lián)系,拓寬了學(xué)生的解題思維及視野,強化了學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法和知識的靈活、綜合運用能力.

(完)