一種內(nèi)蘊基線漂移校正的人工地震波反應(yīng)譜擬合方法

張樹翠, 夏宏升, 張欣剛,, 姚文莉, 齊朝暉, 劉大強

(1. 青島理工大學(xué)理學(xué)院, 山東 青島 266525; 2. 上海中聯(lián)重科樁工機械有限公司, 上海 201613;3. 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024;4. 大連華銳重工集團股份有限公司, 遼寧 大連 116022)

0 引言

擬合匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震波是開展重大工程結(jié)構(gòu)非線性時程分析的重要依據(jù)之一[1],特別是在對核電樓層反應(yīng)譜進行擬合時,其“峰多谷深”的特點進一步增大了收斂難度[2-3]。因此,快速高精度擬合真實、合理且匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震動仍然面臨很大的挑戰(zhàn)[4]。

目前相關(guān)地震動模擬方法主要有時域法和頻域法[5]。以三角級數(shù)法[6-7]等為代表的頻域方法能夠保留初始地震動的相位譜[8],且不需要以自然波作為必須條件,因此仍然具有時域方法不可替代的作用。為了提高人工波擬合效率,李建波等[9]提出了一種人工波初篩策略來避免迭代過程陷入某些特定隨機狀況。由于這些擬合算法僅考慮了加速度時程的非平穩(wěn)性特征,且較少考慮其對速度、位移時程的影響[10],因此在通過兩次積分得到速度、位移時程曲線后還需采用基線校正[11]的手段來消除基線漂移問題。陳三紅等[12]提出在每次迭代時都對所得加速度時程進行基線校正處理,從而避免了時程積分時的基線漂移。Hancock等[13]通過調(diào)整小波函數(shù)消除了速度和位移時程的漂移,但無法得到封閉的小波系數(shù)解。LA Atik等[14]提出了不含位移和速度時程漂移的調(diào)整小波函數(shù)來得到小波系數(shù)的封閉解。張郁山等[15]構(gòu)造了一種用于校正的增量加速度小波函數(shù),采用該函數(shù)積分得到的增量速度和增量位移曲線不出現(xiàn)基線漂移。王體強等[16]提出一種自適應(yīng)魯棒加速度積分方法并進行可靠度分析,該文獻綜述了10種代表性的加速度積分方法,例如周寶峰等[17]提出的基于Hermit插值和平坦度為判據(jù)的加速度積分方法,以及被美國地質(zhì)調(diào)查局(United States Geological Survey,USGS)采用的USGS法[18]等,并對各算法的基線校正原理和特點進行了總結(jié)評述。

上述研究的共同特點是:在獲得加速度時程后通常需要進行基線校正處理才能消除位移、速度時程中的基線漂移問題。 既然基線漂移問題在擬合完成后也要被消除,那么如何在擬合過程中就使其自然滿足基線歸零條件是非常值得研究的課題。

結(jié)合該研究思路,提出一種內(nèi)蘊基線漂移校正且匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震波直接擬合方法。該方法采用與傳統(tǒng)頻域法相反的思路:首先構(gòu)造非平穩(wěn)位移時程表達式,其次求導(dǎo)得到速度與加速度時程表達式,進一步確定使其同時滿足歸零條件的包絡(luò)函數(shù),隨后利用單自由度系統(tǒng)諧波響應(yīng)解析式將目標(biāo)反應(yīng)譜匹配問題轉(zhuǎn)化為與之等價的非線性方程組,利用高效的非線性方程求解算法快速迭代期望幅值,對隨機相位譜的修正來進一步提高擬合精度,最終同時給出滿足歸零條件的位移、速度及加速度時程。數(shù)值算例驗證了所提方法的擬合效率和精度。

1 頻域法擬合人工地震波

采用三角級數(shù)法擬合人工地震波,并對幅值譜進行迭代使其匹配目標(biāo)反應(yīng)譜。該過程簡述如下:

(1) 利用一組具有隨機相位的三角函數(shù)構(gòu)造近似高斯平穩(wěn)隨機過程:

(1)

式中:Ck為傅里葉幅值譜;φk為隨機相位譜;a(t)是具有零均值和(單邊)功率譜密度函數(shù)的高斯平穩(wěn)隨機過程。傅里葉幅值譜可表示為:

(2)

式中:S(ωk)為功率譜密度函數(shù);Δω為頻域采樣間隔。

標(biāo)準(zhǔn)加速度反應(yīng)譜與功率譜密度函數(shù)的關(guān)系為:

(3)

(2) 將平穩(wěn)隨機過程和考慮非平穩(wěn)特性的外包線函數(shù)做乘積:

(4)

(5)

(6)

2 內(nèi)蘊基線校正的直接擬合方法

為使加速度、速度及位移時程自然滿足歸零條件,提出一種與傳統(tǒng)頻域法相反的思路,將非平穩(wěn)的位移時程u(t)表示為:

(7)

式中各參數(shù)的意義與式(4)一致。對上式求兩次時間導(dǎo)數(shù),得到:

(8)

(9)

為了使位移、速度與加速度時程自然滿足歸零條件,可構(gòu)造在上升段、平穩(wěn)段以及衰減段平滑過渡的包絡(luò)函數(shù),例如:式(7)～式(9)中的強度包絡(luò)函數(shù)f(t)應(yīng)當(dāng)具備或滿足如下條件:(1) 在起始和終止時刻保證位移、速度及加速度函數(shù)值為0;(2) 在平穩(wěn)段包絡(luò)函數(shù)值為1;(3) 在平穩(wěn)段的開始和結(jié)束時刻應(yīng)當(dāng)具備二階連續(xù)性。 亦即滿足如下條件:

(10)

為滿足上述光滑條件,在上升段和衰減段,強度包絡(luò)函數(shù)可以由5次多項式進行表示:

(11)

將式(11)代入式(10)可得:

(12)

(13)

式中:m=T-t2。由此可以解出式(11)中的待定系數(shù),由此得到的包絡(luò)函數(shù)為光滑的連續(xù)函數(shù)。強度包絡(luò)函數(shù)的選擇不唯一,例如式(5)給出的經(jīng)典包絡(luò)函數(shù)也可以作為式(7)～(9)中的包絡(luò)函數(shù)。

結(jié)合上述條件,加速度時程函數(shù)式(9)在平穩(wěn)段的表達式可寫為:

(14)

為求解人工地震波反應(yīng)譜引入如下假設(shè):單自由度系統(tǒng)在人工地震波作用下的最大地震響應(yīng)發(fā)生在強震階段,故可由式(14)求解其最大地震響應(yīng),進而獲得人工地震波反應(yīng)譜。

依據(jù)式(14),可將圓頻率為ωj的單自由度系統(tǒng)諧波響應(yīng)表達式寫為:

(15)

式中:ξ為單自由度系統(tǒng)阻尼比:ωj為第j個單自由度系統(tǒng)的圓頻率。

求出式(15)的復(fù)數(shù)解可得到單自由度系統(tǒng)的相對位移解xj為:

(16)

(17)

(18)

(19)

式中:符號“Imag”表示對復(fù)數(shù)取虛部。

依據(jù)反應(yīng)譜縱軸的意義,擬合設(shè)計反應(yīng)譜的目標(biāo)是使下式成立:

(20)

(21)

至此,就可將以匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震波擬合問題轉(zhuǎn)化為求解一組以待求幅值譜為迭代目標(biāo)的非線性方程組[式(20)～(21)]。利用成熟高效的非線性方程求解器,例如MATLAB “fsolve”求解器可快速迭代滿足要求的幅值譜Ak。

上述人工波擬合算法的流程如圖1所示。所提算法具有如下優(yōu)勢:

圖1 人工波擬合流程圖Fig.1 Flow diagram for artificial seismic wave fitting

(1) 能夠快速擬合自然滿足基線歸零條件的人工地震波,直接得到位移、速度以及加速度時程;

(2) 不必在得到加速度時程后再構(gòu)造基線校正算法處理基線漂移問題;

(3) 將匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合問題轉(zhuǎn)化為以待求幅值譜為迭代目標(biāo)的非線性方程,結(jié)合高效的非線性方程求解器進行求解,具有編程難度低,收斂精度高的特點,可成為人工波擬合的新途徑。

3 反應(yīng)譜擬合算例

為驗證所提人工地震波擬合方法的有效性,選擇核電站抗震設(shè)計中的Rg1.60標(biāo)準(zhǔn)譜、某核島內(nèi)41.68 m高度的水平、豎向樓層譜以及《建筑抗震設(shè)計規(guī)范(GB 50011—2010)》中的設(shè)計譜分別作為目標(biāo)反應(yīng)譜,并對分析結(jié)果的擬合精度、迭代殘差以及擬合效率進行分析。

采用MATLAB “fsolve”求解器進行迭代時,對最大迭代步數(shù)“MaxIterations”進行限制以提高迭代效率。具體迭代步驟如下:首先仍然依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)加速度反應(yīng)譜與功率譜密度函數(shù)的近似關(guān)系得到一組幅值譜作為迭代初值帶入求解器迭代15次;隨后以相位譜為目標(biāo)迭代3次;最后再以幅值譜為目標(biāo)迭代7次。由于所提方法與考慮迭代相關(guān)的擬合方法不同,因此不開展兩者之間的精度對比。

表1給出了擬合精度和收斂耗時情況,圖2給出了3組隨機相位譜下采用Rg1.60標(biāo)準(zhǔn)譜擬合的人工波反應(yīng)譜,圖2(d)～(f)給出了非線性方程求解器迭代過程中的迭代殘差趨勢。

表1 精度與效率比較

圖2 Rg1.60目標(biāo)譜擬合結(jié)果Fig.2 Fitting results of Rg1.60 target spectrum

由表1可知,所提方法對于3組隨機相位譜均能達到3%以內(nèi)的高精度要求(70個擬合點),且收斂時間均在5 min以內(nèi)。在精度和效率方面都達到了預(yù)期的擬合要求。

分析圖2結(jié)果可見,圖2(a)中第10個迭代步已達到較好的收斂精度。而圖2(b)結(jié)果則顯示,在對隨機相位譜進行修正后,繼續(xù)對幅值譜進行迭代也達到了預(yù)期的精度效果。圖2(c)中的結(jié)果表明在最后幾個迭代步達到收斂精度。所提算法在3組隨機相位譜下均達到理想的擬合效果。

從擬合難度來看,Rg1.60反應(yīng)譜幅值呈線性分布,擬合效果較好。為了驗證所提方法能夠處理目標(biāo)曲線更為復(fù)雜的反應(yīng)譜擬合問題的能力,采用相對復(fù)雜的核電廠樓層譜,采用3組隨機相位譜,所得結(jié)果如圖3所示(RRS表示目標(biāo)反應(yīng)譜)。核電廠樓層譜曲線在局部具有諸多復(fù)雜的“轉(zhuǎn)折”之處,本文選擇50～60個目標(biāo)點進行擬合,目標(biāo)曲線“轉(zhuǎn)折”的細節(jié)有所弱化。圖中結(jié)果可見,對于核電廠樓層譜,所提方法在20個迭代步內(nèi)達到合理的擬合效果。特別是在核廠房基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)放大效果的影響下,2%、5%阻尼比的水平方向樓層譜的峰值可達6g～10g,因此在相應(yīng)的頻段采用加密的頻率點參與擬合后可進一步提高求解器的收斂效果。

圖3 核電廠樓層譜擬合結(jié)果Fig.3 Fitting results of floor spectrum of nuclear power plant

進一步分析不同阻尼比下的擬合結(jié)果:采用相同的傅里葉幅值譜初值條件時,2%和10%阻尼比下的擬合效率要比5%阻尼比要高,其原因尚不明確。同時還需說明的是,圖中所示目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合點數(shù)目均在50～60之間,與原反應(yīng)譜相比復(fù)雜程度有所降低。若要充分考慮原反應(yīng)譜的細節(jié),則擬合點的數(shù)目將顯著增大,頑固點相應(yīng)增多,所提方法的擬合能力需要后續(xù)進一步的檢驗和優(yōu)化。另一方面,圖3采用的核電樓層譜雖然局部細節(jié)復(fù)雜,但僅有兩個“高峰”,尚不能完全體現(xiàn)“峰多谷深”的特點,后續(xù)將開展進一步的相關(guān)研究。

最后,采用《建筑抗震設(shè)計規(guī)范(GB 50011—2010)》規(guī)定的反應(yīng)譜進行擬合,參數(shù)為:設(shè)防烈度8度,Ⅰ類場地,設(shè)計地震分組為2組,特征周期Tg=0.2 s,地震影響系數(shù)取αmax=1.06。

圖4同樣給出了3組隨機相位譜下的擬合結(jié)果對比。圖中每一列對應(yīng)一組相同的隨機相位譜,圖4(d)～(f)為高頻部分的局部細節(jié)圖,圖4(g)～(i)對應(yīng)低頻部分的局部細節(jié)圖。

圖4 3組隨機相位譜擬合結(jié)果對比Fig.4 Comparison between fitting results of three groups of random phase spectra

由于擬合點的分布較為復(fù)雜,因此第一次迭代次數(shù)調(diào)整為30次,后兩次迭代次數(shù)不變。分析結(jié)果表明,初次迭代時人工波反應(yīng)譜和目標(biāo)反應(yīng)譜差距較大,但很快趨近目標(biāo)值。第一次迭代結(jié)束時,第一組的高頻段末端仍存在誤差為4%的頑固點,隨后在對相位譜進行5次迭代調(diào)整后,頑固點的相對誤差迅速降低到0.82%,達到了較好的收斂效果。

在高頻段,單自由度系統(tǒng)的地震響應(yīng)近乎剛體運動,一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)采用傳統(tǒng)頻域法在一些特定情況下有時面臨擬合困難的問題[4]。例如對核電站樓層譜進行擬合時,25～100 Hz的頻率段就存在大量的頑固點。所提方法依據(jù)單自由度系統(tǒng)諧波響應(yīng)的解析解,同時采用成熟的非線性方程求解器并結(jié)合高效的L-M算法進行迭代,在低頻和高頻段都得到了較好的收斂精度。

圖5給出了采用所提方法得到的人工地震波加速度、速度以及位移時程。由于算法內(nèi)蘊基線歸零條件,因此各時程曲線均不存在基線漂移問題。

圖5 基線歸零的人工地震波時程Fig.5 Time history of artificial seismic wave with zero baseline

4 結(jié)論

在傳統(tǒng)頻域法的基礎(chǔ)上提出一種人工地震波反應(yīng)譜直接擬合方法,采用多組設(shè)計反應(yīng)譜驗證了所提方法的匹配精度。本方法內(nèi)蘊基線歸零條件,將匹配目標(biāo)反應(yīng)譜問題轉(zhuǎn)化為以幅值譜為目標(biāo)的非線性方程進行快速迭代求解,具有編程友好、收斂精度高的特點?？偨Y(jié)本文可得如下結(jié)論:

(1) 所提方法以求導(dǎo)代替積分為總體思路,在快速擬合算法中內(nèi)蘊基線歸零條件,能夠同時給出滿足歸零條件的位移、速度和加速度時程,避免了傳統(tǒng)方法加速度積分過程中的基線漂移問題。

(2) 以單自由度系統(tǒng)諧波響應(yīng)解析解為依據(jù),將匹配目標(biāo)譜的人工地震波擬合問題轉(zhuǎn)化為以待求幅值譜為變量的非線性方程組。采用高效的非線性方程求解器進行迭代,具有收斂速度快,低頻、高頻段擬合精度高的優(yōu)勢。

(3) 考慮了相位譜進行綜合迭代,匹配效率和匹配精度進一步提高。所提算法編程難度低,且不必構(gòu)造復(fù)雜的迭代格式。

(4) 核電樓層譜呈現(xiàn)宏觀“峰多谷深”、局部“轉(zhuǎn)折”細節(jié)較多的特點,對高精度人工波擬合提出了更高的挑戰(zhàn)。因此,所提算法對復(fù)雜樓層譜的擬合能力需要進一步改進和優(yōu)化,同時也需要給出篩選判據(jù),有效排除理論上難以匹配目標(biāo)反應(yīng)譜的人工地震波,提高整體擬合效率。