旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡牛頓環(huán)研究

徐海斌,穆成富

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的一個(gè)重要內(nèi)容,也是教學(xué)研究人員的重要研究對(duì)象,因此在實(shí)驗(yàn)測量及數(shù)據(jù)處理[1-2]、干涉仿真模擬[3]、教學(xué)[4-5]、測量[6-8]、廣義牛頓環(huán)結(jié)構(gòu)[9]等領(lǐng)域,都被進(jìn)行了廣泛而深入的研究.

在理論教學(xué)和實(shí)驗(yàn)研究過程中,通常認(rèn)為形成牛頓環(huán)的平凸透鏡是由一個(gè)平面和一個(gè)球面組成的,因此已有研究通常僅考慮凸面為球面的情況.近年來,隨著成像光學(xué)、照明光學(xué)及光束整形等領(lǐng)域的發(fā)展,光學(xué)非球面被深入研究并廣泛應(yīng)用于光學(xué)系統(tǒng)[10-13].球面是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面的一種特殊情況,因此討論具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面的非球面結(jié)構(gòu)具有更加普遍的意義,是對(duì)現(xiàn)有球面結(jié)構(gòu)牛頓環(huán)的有益拓展.本研究旨在對(duì)一般情況下的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡牛頓環(huán)進(jìn)行理論分析和仿真研究,給出描述其牛頓環(huán)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和光強(qiáng)分布曲線.

1 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡

1.1 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面包括最常見的球面、拋物面、橢球面和雙曲面,其標(biāo)準(zhǔn)面面形公式為[14]:

(1)

對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面,可通過其對(duì)稱軸的截面進(jìn)行描述.本文所采用的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面均以z軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸,取xoz平面作為觀察面.對(duì)于橢圓,a、b分別為長、短軸;對(duì)于雙曲線,a、b分別為實(shí)、虛軸;對(duì)于拋物線,公式(1)可簡化為y2=2Rz.因此,旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面的結(jié)構(gòu)參數(shù)可用頂點(diǎn)曲率半徑R和conic系數(shù)k來表示,且在某種意義上,k反映曲面的平坦度.

1.2 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡的牛頓環(huán)

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面在xoz平面內(nèi)可表示為:

(2)

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱,因此在分析xoy平面光強(qiáng)分布時(shí),只需考慮其在xoz平面的截面圖(圖1)即可.

圖1 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡在xoz平面的截面圖

考慮入射光在基底上的半波損失,光程差為:

(3)

經(jīng)過曲面和基底反射光的相干強(qiáng)度可表述為:

(4)

第N級(jí)暗紋滿足條件:

2nzN=Nλ.

(5)

第N級(jí)亮紋滿足條件:

(6)

(7)

(8)

曲面以z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱,可取第N級(jí)暗紋或亮紋的直徑DN=2|xN|,則第N級(jí)暗紋直徑的平方可寫成:

(9)

第N級(jí)亮紋直徑的平方可寫成:

(10)

式(9)和式(10)描述了一般旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面產(chǎn)生的N級(jí)暗紋和亮紋直徑.

1.3 牛頓環(huán)位置與conic系數(shù)的關(guān)系

式(7)給出了N級(jí)暗環(huán)所在位置與二次曲面頂點(diǎn)曲率半徑、波長、間隙折射率和conic系數(shù)k之間的關(guān)系.對(duì)式(7)進(jìn)行分析可知,當(dāng)滿足關(guān)系式(11)時(shí),式(7)和式(9)即簡化為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的第N級(jí)平凸透鏡牛頓環(huán)暗環(huán)所在位置及其直徑,即表達(dá)式(12)和(13):

(11)

(12)

(13)

化簡式(11),得:

(14)

為研究各種二次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱曲面平凸透鏡的牛頓環(huán)位置與conic系數(shù)k之間的關(guān)系,本文取曲面頂點(diǎn)曲率半徑R為1 m,波長λ為589.3 nm,空氣間隙折射率n為1,以暗環(huán)位置為例,對(duì)各種k值下牛頓環(huán)的特征進(jìn)行研究.

取牛頓環(huán)級(jí)數(shù)N為10,通過上述參數(shù)對(duì)式(14)進(jìn)行分析可知,當(dāng)k106時(shí),所有的二次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱曲面平凸透鏡基本都能滿足大學(xué)光學(xué)實(shí)驗(yàn)中的牛頓環(huán)公式;當(dāng)k接近或大于106時(shí),牛頓環(huán)位置和直徑將會(huì)發(fā)生明顯變化.

2 各種conic系數(shù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡的牛頓環(huán)光強(qiáng)曲線

2.1 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面與conic系數(shù)的關(guān)系

根據(jù)以上參數(shù)對(duì)式(14)進(jìn)行分析可知,只有當(dāng)|k|接近或大于106時(shí),近中心區(qū)域各級(jí)牛頓環(huán)的位置才會(huì)發(fā)生明顯的變化.因此,首先要了解二次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱曲面與系數(shù)k之間的關(guān)系.圖2給出了當(dāng)頂點(diǎn)曲率半徑為1 m時(shí),各種k值下曲面在xoz平面的曲線圖形.為比較具有相同頂點(diǎn)曲率半徑二次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱曲面平坦度隨k系數(shù)的變化關(guān)系,取不同的k值,并以不同的x軸和z軸為坐標(biāo)軸,分別用圖2的(a)(b)(c)進(jìn)行描述.由圖2可知,k反映了曲面的平坦程度,當(dāng)k值減小時(shí),曲面變得越來越平坦;當(dāng)k值增大時(shí),曲面變得越來越陡峭.從圖2(c)可以看出,當(dāng)k值為106時(shí),曲線在x軸上的取值范圍也變得很小.

圖2 不同k值下旋轉(zhuǎn)二次曲面在xoz平面的截面圖

2.2 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡牛頓環(huán)強(qiáng)度分布與conic系數(shù)的關(guān)系

為便于對(duì)各種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡的牛頓環(huán)進(jìn)行比較分析,取波長為589.3 nm的鈉黃光作為光源,光強(qiáng)I0=1,二次旋轉(zhuǎn)曲面的頂點(diǎn)曲率半徑為1 m,k值的取值范圍為[-106,106],利用Matlab對(duì)光強(qiáng)分布進(jìn)行數(shù)值模擬,得到x軸方向光強(qiáng)分布曲線圖,見圖3的(a)(b)(c).

圖3 不同k值下牛頓環(huán)光強(qiáng)隨x軸的變化曲線

圖3(a)給出了k值為-103、-104、-105、-106時(shí)中心區(qū)域沿x軸的光強(qiáng)分布曲線.從圖3(a)可以看出,在中心區(qū)域,當(dāng)k值為-106時(shí),光強(qiáng)分布曲線明顯偏離其他k值的光強(qiáng)分布曲線.而事實(shí)上,圖3(a)只給出了中心區(qū)域的曲線變化,當(dāng)x更大時(shí),k值為-105的光強(qiáng)分布曲線也會(huì)明顯偏離-103的光強(qiáng)分布曲線.

圖3(b)給出了k值為-103、-10、10、103時(shí)中心區(qū)域沿x軸的光強(qiáng)分布曲線.從圖3(b)可以看出,當(dāng)k值范圍為[-103,103]時(shí),光強(qiáng)分布曲線基本不發(fā)生明顯變化,甚至在x軸稍大的區(qū)域,光強(qiáng)分布曲線也不發(fā)生明顯變化.由于當(dāng)顯示較大區(qū)域時(shí),光線會(huì)更加緊密,因此x軸稍大的區(qū)域不在此顯示.

圖3(c)給出了k值為103、104、105、106時(shí)中心區(qū)域沿x軸的光強(qiáng)分布曲線.從圖3(c)可以看出,在中心區(qū)域,當(dāng)k值為106時(shí),光強(qiáng)分布曲線明顯偏離其他k值的光強(qiáng)分布曲線.研究顯示,當(dāng)x軸區(qū)域取更大時(shí),k值為105的光強(qiáng)分布曲線相對(duì)k值為103的光強(qiáng)分布曲線也會(huì)發(fā)生較明顯的偏移.

對(duì)圖3中各種k值下的光強(qiáng)分布曲線進(jìn)行比較分析可知,在x軸中心區(qū)域(xoy的原點(diǎn)附近),當(dāng)k值大約在[-104,104]范圍內(nèi)時(shí),光強(qiáng)分布曲線不發(fā)生明顯變化;當(dāng)k值明顯小于-104或大于104時(shí),光強(qiáng)分布曲線將會(huì)發(fā)生明顯變化.該仿真結(jié)果與理論研究結(jié)果一致.

3 結(jié) 論

本文采用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)面面形公式,對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次曲面平凸透鏡產(chǎn)生的牛頓環(huán)進(jìn)行了理論分析和數(shù)值仿真研究,并給出了牛頓環(huán)光強(qiáng)分布的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式和光強(qiáng)分布曲線.給定曲面頂點(diǎn)曲率半徑為1 m,光波長為589.3 nm,當(dāng)曲面的conic系數(shù)k大約在[-104,104]范圍內(nèi)時(shí),完全可以像光學(xué)教材中所述,將曲面看成是球面,利用已有牛頓環(huán)的近似表達(dá)式對(duì)曲面頂點(diǎn)曲率半徑進(jìn)行研究;當(dāng)k明顯小于-104或大于104時(shí),則光學(xué)教材中關(guān)于平凸透鏡的牛頓環(huán)近似表達(dá)式將不再適用.該研究拓展了大學(xué)物理牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)的研究內(nèi)容,能夠加深學(xué)生對(duì)牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)的理解,也能為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱二次非球面結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、測量和調(diào)整等提供有益的參考.