軸向運(yùn)動分?jǐn)?shù)階粘彈性梁的動力學(xué)模型及振動問題研究

殷凱琳,歐志英

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,蘭州 730050)

0 引言

粘彈性梁理論對土木工程及阻尼技術(shù)具有重要的指導(dǎo)意義。粘彈性材料是在外力作用下,彈性與黏性兩種變形機(jī)制同時存在的材料。材料的粘彈性性質(zhì)依賴于時間、溫度、負(fù)荷、加載速率及應(yīng)變幅值等條件。許多固態(tài)新物質(zhì)、新材料的力學(xué)特性超出了彈性范疇,使得粘彈性理論的出現(xiàn)與發(fā)展成為必然。粘彈性材料憑借彈性、黏性及減震等特性已逐漸應(yīng)用于工程及航空航天領(lǐng)域。在載荷及環(huán)境影響下,其表現(xiàn)出隨時間變化的粘彈性響應(yīng)。常保平[1]在線性粘彈性范圍內(nèi)研究了粘彈性梁的動力特性。張建文等[2]考慮了具有介質(zhì)阻尼及非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系的梁方程,由此得到在一定的條件下所給偏微分方程等價于—常微分方程組的初值問題。Chen等[3]研究了以軸向脈沖速度運(yùn)動的粘彈性光束橫向振動的主要參數(shù)共振及粘彈性軸向運(yùn)動梁的非線性動力學(xué)行為。艾智勇等[4]采用分?jǐn)?shù)階Merchant模型研究飽和地基的流變固結(jié),并在此基礎(chǔ)上探討分?jǐn)?shù)階次與地基成層性對梁與粘彈性飽和地基共同作用的影響。

本研究著重將粘性系數(shù)引入分?jǐn)?shù)階微分方程的階數(shù),基于Euler-Bernoulli梁理論建立了粘彈性梁在位移應(yīng)變條件下的分?jǐn)?shù)階動力學(xué)模型。相比整數(shù)階模型,分?jǐn)?shù)階動力學(xué)方程的運(yùn)用范圍更廣。采用同倫攝動法求解分?jǐn)?shù)階微分方程,通過數(shù)值結(jié)果分析了材料粘性系數(shù)、阻尼比及固有頻率對梁模型振動的影響。

1 基礎(chǔ)知識

近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程(FDE)已被廣泛研究并應(yīng)用于諸多學(xué)科(如物理、化學(xué)、數(shù)學(xué)、工程等),其中最常見的是以下兩種形式:Riemann-Liouville型定義采用微分-積分形式避免了極限求解。在粘彈性材料研究中引入Caputo型微分,現(xiàn)實實際問題建模過程中廣泛應(yīng)用Caputo型定義。

定義1:Riemann-Liouville型[5]

(1)

性質(zhì)1:線性性質(zhì)

(2)

此性質(zhì)可通過簡單的代數(shù)運(yùn)算證明,并對所有其他類型的定義也成立。

性質(zhì)2:由定義

(3)

交換積分次序得

(4)

定義2:Caputo型

(5)

其性質(zhì)類似Riemann-Liouville型。

2 問題模型

梁理論是一個簡化線性彈性理論,用于計算梁受力與變形特征,是梁得以運(yùn)用于工程力學(xué)、經(jīng)典梁力學(xué)的基石。梁理論基本建立了有關(guān)經(jīng)典梁模型的全套理論體系,是后續(xù)一切梁分析的核心。結(jié)合梁理論考慮如圖1所示的粘彈性梁模型,具有均勻軸向運(yùn)動、密度ρ、截面積A、慣性矩I及初始張力P0的粘彈性梁在外部激勵F(x,t)的作用下沿棱以軸向傳輸速度v(t)移動,棱的兩端相隔距離L。僅考慮橫向位移u(x,t)描述的彎曲振動,其中t是時間坐標(biāo),x是軸向坐標(biāo)。

圖1 軸向運(yùn)動的粘彈性梁模型Fig.1 Viscoelastic beam model with axial motion

Euler-Bernoulli梁方程是一個關(guān)于工程力學(xué)、經(jīng)典梁力學(xué)的重要方程,其內(nèi)容描述了梁的位移與載荷的關(guān)系:

(6)

通過分析梁的動力學(xué)方程、牛頓第二定律及歐拉-伯努利假設(shè),忽略慣性矩與剪切變形,可以得到梁的動力學(xué)控制方程。結(jié)合本構(gòu)方程、動力學(xué)方程及邊界條件的無量綱變換,對非線性動力學(xué)模型進(jìn)行簡化。假設(shè)粘彈性材料服從分?jǐn)?shù)開爾文-沃特模型,故材料的本構(gòu)方程[6]可以寫成:

(7)

其中,φ(x,z,t)是法向應(yīng)力,ω(x,z,t)是軸向應(yīng)變,E0(x)是梁材料的楊氏模量,E1(x)是剪切模量,α是黏度系數(shù)。

在固體力學(xué)中,彎曲力矩是指當(dāng)外力或力矩施加到結(jié)構(gòu)元件上時,在結(jié)構(gòu)元件中引起的反作用力導(dǎo)致元件彎曲。為了平衡,外力或外力產(chǎn)生的力矩必須由內(nèi)部荷載引起耦合平衡,其中產(chǎn)生的內(nèi)部耦合稱為彎矩,因此彎矩是當(dāng)外力或力矩施加到元件上時在結(jié)構(gòu)元件中引起的反應(yīng),也是對應(yīng)施加外力合成的內(nèi)力偶分量。任何截面上的彎矩-應(yīng)力關(guān)系由以下公式確定:

(8)

根據(jù)牛頓第二定律和歐拉-伯努利假設(shè),忽略慣性矩與剪切變形,得到梁的動力學(xué)控制方程:

(9)

3 定解問題的求解

對于無限制的小變形效應(yīng),可以將位移關(guān)系表示為:

(10)

梁的彎矩:

(11)

(12)

這里參數(shù)ρ、A、v、E0、I、E1、P0、φ是常量。

近年來,同倫攝動法(HPM)被廣泛應(yīng)用于求解分?jǐn)?shù)階微分振動、異常擴(kuò)散、非線性波動、阻尼控制等問題,其主要思想是根據(jù)已知方程構(gòu)造同倫函數(shù)。以下面的方程式為例:

L(u)+N(u)=f(r),r∈Ω

(13)

其中,L是線性算子,N是非線性算子,f是已知的解析函數(shù),Ω為r所符范圍。建立以下同倫格式:

H(v,p)=(1-p)[L(v)-L(u0)]+p[L(v)+N(v)-f(r)]=0

(14)

或簡化為:

H(v,p)=L(v)-L(u0)+pL(u0)+p[N(v)-f(r)]=0

(15)

其中,p∈[0,1]中的是一個隱含參數(shù)。假設(shè)上述方程的解具有以下形式:

v=v0+pv1+p2v2+…

(16)

當(dāng)p接近1時,可獲得以下結(jié)果:

(17)

這是原方程的解。

將同倫攝動方法應(yīng)用于非線性問題[7],可獲得解析近似解。本研究使用一種新的改進(jìn)同倫攝動方法[8]來解決問題。將方程式(12)改寫為:

(18)

構(gòu)造同倫函數(shù):

(19)

根據(jù)該方程在相應(yīng)載荷條件下的解,用數(shù)值結(jié)果說明基于USD控制方程粘彈性梁的響應(yīng)。此處考慮簡支梁,f(x)表示為:

(20)

可將其看作是單自由度理想梁的力分布,通過截斷無限階來進(jìn)行數(shù)值計算。參考文獻(xiàn)[9]中的模型,假定在USD控制方程中E1/m=2ηw3/2、w2=E0I/ρA。

這里ρA=1、L=π、m=1、v=0.2、P0=0.6、φA=0.8,其中η是阻尼比,w是固有頻率。

設(shè)定條件中固有頻率w=5 rad/s,阻尼比η=0.5與α=0.5,繪制梁的橫向運(yùn)動如圖2所示。

圖2 USD控制方程的單位階躍響應(yīng)Fig.2 Unit step response of USD control equation

結(jié)果表明,粘彈性梁在初始時刻先開始振蕩,逐漸趨于靜態(tài)平衡位置。為了比較不同分?jǐn)?shù)階α對梁振動的影響,分析了局部階躍響應(yīng)。

為了進(jìn)一步驗證分?jǐn)?shù)階α對USD模型中粘彈性梁振動的影響,取參數(shù)α=0.4、0.5、0.6、0.7,繪制u(x,t)隨x與t變化的圖像。

圖3顯示,當(dāng)時間坐標(biāo)固定,粘彈性梁沿軸向坐標(biāo)的振動隨著α的增加而減小。當(dāng)軸向坐標(biāo)固定,粘彈性梁沿時間坐標(biāo)的振動隨著時間增加慢慢趨于靜態(tài)平衡狀態(tài),且α越小,其接近平衡的速度越快。在USD控制方程中固定分?jǐn)?shù)階的條件下,分析阻尼比與固有頻率對軸向運(yùn)動粘彈性梁振動的影響,展示當(dāng)阻尼比不同時,粘彈性梁在USD模型下的振動變化。

圖3 USD-α對梁振動的影響Fig.3 Influence of USD-α on beam vibration

圖4顯示,當(dāng)時間坐標(biāo)固定,阻尼比越小,粘彈性梁的振動越大。當(dāng)軸向坐標(biāo)固定,阻尼比越小,梁的振動趨于平衡靜態(tài)位置的速度越快。以下展示當(dāng)固有頻率w取不同值時,粘彈性梁在USD模型下的振動變化。

圖4 USD-η對梁振動的影響Fig.4 Influence of USD-η on beam vibration

圖5顯示,當(dāng)時間坐標(biāo)固定,固有頻率越大,粘彈性梁隨軸向坐標(biāo)變化的振動越大。當(dāng)軸向坐標(biāo)固定,在x=1.4前,固有頻率越高,梁的振動越快趨于平衡靜態(tài)位置。在x=1.4后,固有頻率越低,梁的振動越快趨于平衡靜態(tài)位置。根據(jù)算例分析可得到USD模型中梁振動隨各參量的變化,如表1所示。

表1 各參數(shù)與USD模型的關(guān)系Tab.1 Relationship between various parameters and the USD model

圖5 USD-w對梁振動的影響Fig.5 Influence of USD-w on beam vibration

對于階躍響應(yīng)函數(shù)的作用,軸向運(yùn)動的粘彈性梁經(jīng)歷了非常不同的過程,先在靜態(tài)平衡位置附近振蕩,緩慢地趨于零位移。也可以相應(yīng)地對脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行分析,通過改變系數(shù)值來總結(jié)結(jié)果與變量之間的關(guān)系。

4 結(jié)論

基于Euler-Bernoulli梁理論建立了分?jǐn)?shù)階型USD粘彈性梁模型,通過數(shù)值模擬對其響應(yīng)進(jìn)行分析。結(jié)果表明,分?jǐn)?shù)階、阻尼比及固有頻率對梁的橫向位移的振動有不同的影響。改進(jìn)同倫攝動法可用來求解具有任意階數(shù)的分?jǐn)?shù)微分的線性微分方程,其可以描述分?jǐn)?shù)階粘彈性梁的結(jié)構(gòu),從而得到簡支梁在受階躍與脈沖兩種負(fù)載情況下的無窮求和表達(dá)式的解。從數(shù)值結(jié)果比較可得出分?jǐn)?shù)階變化對USD模型影響最大,阻尼比變化及固定頻率變化對模型影響較小。本研究考慮的應(yīng)用模型是粘彈性梁,其方法也可參考適用于其他類型的梁模型系統(tǒng)。