斜面上平拋運(yùn)動(dòng)探討

蔣麗萍

(江蘇省射陽縣教師發(fā)展中心,江蘇 鹽城 224300)

平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是:初速度水平、只受重力作用,運(yùn)動(dòng)軌跡為一條拋物線。平拋運(yùn)動(dòng)中的一類典型問題是落在斜面上的平拋運(yùn)動(dòng),處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)問題常用的方法是“化曲為直”,將曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)方向上的直線運(yùn)動(dòng),借助直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)行分析。在具體計(jì)算過程中,理解斜面傾角的正切值所表示的含義、建立不同坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵。

1 利用平拋運(yùn)動(dòng)的速度偏轉(zhuǎn)角α與位移偏轉(zhuǎn)角β的關(guān)系解題

平拋運(yùn)動(dòng)的速度偏轉(zhuǎn)角α與位移偏轉(zhuǎn)角β的關(guān)系為:tanα=2tanβ,可利用此關(guān)系解題。

例1:如圖1所示,將一個(gè)小球從A點(diǎn)以速度v1水平拋出,小球垂直落在傾角為θ的斜面上的P點(diǎn),若將小球拋出點(diǎn)移到圖中的B點(diǎn),以速度v2水平拋出后小球垂直落在斜面上的Q點(diǎn)(圖中未標(biāo)出),下列說法中正確的是( )。

圖1

A.Q點(diǎn)在斜面上P點(diǎn)的下方

B.Q點(diǎn)在斜面上可能與P點(diǎn)重合

C. 水平初速度v2一定大于v1

D. 兩次小球落在斜面上的動(dòng)能可能相等

圖2

變式:如圖3所示,足夠長(zhǎng)的斜面靜止在水平地面上。先后兩次將帶正電的小球從斜面底端A處以相同的速度拋出,不計(jì)空氣阻力。第一次不加電場(chǎng),小球恰好沿水平方向撞到斜面上B點(diǎn)。第二次施加范圍足夠大、豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng),則小球( )。

圖3

A. 仍然會(huì)水平撞擊斜面

B. 撞擊點(diǎn)在B點(diǎn)的上方

C. 飛行時(shí)間比第一次長(zhǎng)

D. 撞擊斜面時(shí)的速度比第一次大

解析:第二次施加電場(chǎng),在豎直方向上有:vy0一定,a變大,則t變小,h變小,撞擊點(diǎn)在B點(diǎn)下方。兩次小球從A處以相同的速度拋出,運(yùn)用逆向思維研究?jī)蓚€(gè)平拋運(yùn)動(dòng),落至A點(diǎn)的速度方向相同,根據(jù)tanα=2tanβ,則位移偏轉(zhuǎn)角相同,第二次斜拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)在斜面上,仍然水平撞擊斜面。兩次斜拋運(yùn)動(dòng)水平方向速度不變,所以兩次撞擊斜面時(shí)的速度相同,故A選項(xiàng)正確。

點(diǎn)評(píng):本題考查速度偏轉(zhuǎn)角與位移偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系,與豎直方向的加速度的大小無關(guān)。若仍從斜面底端拋出,僅改變速度v0的大小,小球撞擊斜面,逆向研究平拋運(yùn)動(dòng),速度偏轉(zhuǎn)角相同,則位移偏轉(zhuǎn)角也相同。故小球仍然水平撞擊斜面,與速度v0的大小無關(guān),與速度的方向與斜面間的夾角有關(guān)。

2 將平拋運(yùn)動(dòng)沿斜面方向和垂直于斜面方向分解

在解決平拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí),常規(guī)的做法是沿水平和豎直方向分解速度和位移,對(duì)于斜面上的平拋運(yùn)動(dòng),有時(shí)沿斜面方向和垂直于斜面方向進(jìn)行分解,解題更為簡(jiǎn)便。

例2:第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月在北京舉辦,圖4為運(yùn)動(dòng)員跳臺(tái)滑雪的場(chǎng)景,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示。運(yùn)動(dòng)員從C點(diǎn)水平飛出,落到斜坡上的D點(diǎn),E點(diǎn)離坡道CD最遠(yuǎn),忽略空氣阻力。下列說法中正確的是( )。

圖4

圖5

A. 從C到E的時(shí)間比從E到D的時(shí)間短

B. 軌跡CE和ED長(zhǎng)度相等

C. 軌跡CE和ED在CD上的投影長(zhǎng)度之比為1∶3

D. 軌跡CE和ED在水平方向的投影長(zhǎng)度相等

解析:如圖6所示,設(shè)斜坡的傾角為θ,將平拋運(yùn)動(dòng)沿斜面方向與垂直于斜面方向進(jìn)行分解。在沿斜面方向運(yùn)動(dòng)員做勻加速直線運(yùn)動(dòng),有:vx0=v0cosθ,ax=gsinθ;在垂直于斜面方向運(yùn)動(dòng)員做類豎直上拋運(yùn)動(dòng),有:vy0=v0sinθ,ay=-gcosθ,從C到E與從E到D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等,A選項(xiàng)錯(cuò)誤。

圖6

沿斜面方向運(yùn)動(dòng)員做初速度不為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),所以軌跡CE和ED在CD上的投影長(zhǎng)度之比不為1∶3,軌跡CE和ED長(zhǎng)度也不相等,B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤。

由于運(yùn)動(dòng)員在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),兩段運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等,所以軌跡CE和ED在水平方向的投影長(zhǎng)度相等,故D選項(xiàng)正確。

點(diǎn)評(píng):斜坡的傾角θ既表示軌跡CD段的位移角,又表示E點(diǎn)的速度偏角。研究平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)一般沿水平方向和豎直方向上分解,本題通過轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系,將平拋運(yùn)動(dòng)沿斜面方向與垂直于斜面方向上分解,使問題迎刃而解。

變式:2022年2月8日,北京冬奧會(huì)舉行自由式滑雪女子大跳臺(tái)決賽。圖7為滑雪大跳臺(tái)的滑道示意圖。運(yùn)動(dòng)員由起點(diǎn)滑下,從跳臺(tái)上同一位置沿同一方向飛出后,在空中完成系列動(dòng)作,最后落至著落坡。運(yùn)動(dòng)員離開跳臺(tái)至落到著落坡階段的軌跡如圖8所示,不計(jì)空氣阻力,運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)。關(guān)于運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng),下列說法中正確的是( )。

圖7

圖8

A. 離著落坡最遠(yuǎn)時(shí)重力的功率為零

B. 在相等的時(shí)間內(nèi),動(dòng)量變化量逐漸變大

C. 在相等的時(shí)間內(nèi),動(dòng)能的變化量逐漸變大

D. 落到著落坡時(shí)的速度方向與飛出時(shí)速度的大小無關(guān)

解析:離著落坡最遠(yuǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)員的速度方向與斜坡方向平行,豎直方向有速度,所以重力的功率不為零,A選項(xiàng)錯(cuò)誤。

圖9

點(diǎn)評(píng):在解決該變式題時(shí),理解單位時(shí)間內(nèi)動(dòng)量變化量、動(dòng)能變化量的含義是關(guān)鍵。該題將運(yùn)動(dòng)員從斜面頂端做平拋運(yùn)動(dòng)變?yōu)樽鲂睊佭\(yùn)動(dòng),將此運(yùn)動(dòng)沿斜面方向與垂直于斜面方向分解,可得出結(jié)論:僅改變速度的大小,物體落至斜面時(shí)的速度方向不變。

3 結(jié)語

解決斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)問題的基本思路是“化曲為直”,把復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng),通常有兩種分解方法:(1) 沿水平方向和豎直方向分解;(2) 沿斜面方向與垂直于斜面方向分解。有時(shí)采用第2種分解方法可以達(dá)到事半功倍的效果。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解分解速度和位移時(shí),利用平拋運(yùn)動(dòng)的速度偏轉(zhuǎn)角與位移偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系也是處理問題的關(guān)鍵。