基于能量守恒理論的波浪侵蝕土質岸坡范圍預測方法

王 力，陳玙珊，王世梅*，張 倫，郭 飛

(1.三峽庫區(qū)地質災害教育部重點實驗室（三峽大學），湖北 宜昌 443002；2.三峽大學 土木與建筑學院，湖北 宜昌 443002)

隨著三峽水庫的長期運行，受庫水位漲落和波浪作用，土質岸坡侵蝕不斷推進，最大侵蝕進深已達十余米。侵蝕不僅造成庫岸水土流失，影響三峽庫區(qū)生態(tài)安全和制約長江上游生態(tài)屏障建設，還導致大規(guī)模塌岸并誘發(fā)滑坡災害，嚴重威脅庫區(qū)基礎設施、人民生命財產及航運安全。日趨嚴重的侵蝕災害已經成為影響三峽水庫安全和可持續(xù)運行的重大關切，也是當今乃至今后三峽庫區(qū)防災減災工作的重大挑戰(zhàn)。

與其他水動力因素相比，波浪對庫岸的持續(xù)侵蝕作用更為關鍵，如：在黃河三門峽水庫自1960年成庫后的40年內，受波浪侵蝕作用影響，產生的塌岸長達119.8 km之多[1]。通常認為山區(qū)河道型水庫風浪作用較小，事實上，由于峽谷效應，三峽河谷地區(qū)是湖北省風災風險最大地區(qū)[2]，而且三峽水庫蓄水后水面開闊，風浪作用更為明顯。波浪對黏土岸坡的持續(xù)侵蝕已經成為威脅地質和生態(tài)環(huán)境安全的重要問題，預測波浪對岸坡的侵蝕范圍是解決該問題的關鍵措施之一。

海洋波浪作用強烈，導致海岸岸坡發(fā)生了直觀的蝕退變形，許多地區(qū)的海岸岸坡蝕退速率達到了1～2 m/a[3]。多年以來，世界各地區(qū)積累了長期、大量海崖蝕退距離的測量數據，因此，多數波浪侵蝕海岸蝕退距離的預測研究以建立蝕退速率時間方程為主，主要方法包括定值法[4]和概率法[5]。上述兩種方法主要是基于歷史地形變化數據建立蝕退距離與時間的經驗關系，沒有考慮波浪作用海崖的侵蝕機制。因此，也有學者在波浪侵蝕海岸預測的研究中考慮了海崖的蝕退機制，如：Huppert等[6]在研究中發(fā)現了波浪能量和巖質海崖蝕退的正相關關系，構建了海崖蝕退的能量預測方程，且與調查結果對比發(fā)現預測效果較好；Gerivani等[7]發(fā)現波浪力作用方向與巖質海崖的坡度具有顯著關系，并推導構建了海崖侵蝕坡度的預測方程。但這些研究仍屬于經驗方法，預測方程難以推廣應用。

對于內陸江河水庫岸坡，有學者通過長期、多次的無人機測量、波浪流速測量等手段研究了船行波浪對河岸岸坡的漸進式侵蝕，構建了岸坡的長期侵蝕預測方程[8]。但內陸水庫風浪相對較小，波浪對岸坡的侵蝕進展相對緩慢，因此，能在有限時間實現侵蝕全過程演化模擬的水槽試驗成為一種有效的研究手段。有學者通過波浪水槽模型試驗，構建了波高與岸坡侵蝕特征之間的經驗關系方程[9-10]，用以預測岸坡的侵蝕進展。隨著理論與計算機技術的不斷發(fā)展，也有學者將數值技術手段應用于波浪侵蝕岸坡的模擬[11-12]，由于岸坡物質組成的復雜及數值模擬技術的局限性，這些方法難以獲得準確的預測效果。

綜上，本文將以三峽庫區(qū)侵蝕最為發(fā)育的土質岸坡為研究對象，以波浪作用為水動力條件，重點開展波浪作用土質岸坡的侵蝕范圍預測研究。考慮波浪上爬岸坡的流體運動特性，分別構建波浪上爬的勢能方程與摩擦耗能方程，并采用能量守恒理論最終構建波浪侵蝕岸坡范圍預測方程；開展波浪上爬岸坡試驗，獲取預測方程的相關參數，并通過波浪侵蝕岸坡模型試驗獲取岸坡侵蝕的演化進程，驗證侵蝕范圍預測方程的可靠性。研究成果可望為水庫土質岸坡侵蝕研究提供創(chuàng)新思路，為三峽庫區(qū)庫岸防治提供科學依據。

1 波浪作用岸坡的侵蝕范圍預測方程構建

1.1 波浪能量轉換

波浪沖刷過程中，能量來源主要為波浪攜帶的動能及勢能。庫區(qū)波浪主要因風浪產生，為深水波，適用于規(guī)則波理論，故可將實際波簡化為2維波。在2維波單寬長度內的1個波所包括的總能量E為：

式中， ρ為水流密度，g為重力加速度，H為波高，L為波長。本文主要關心波浪傳播至岸坡時破碎后的岸坡侵蝕效應，假定波浪破碎時損耗的能量為Eb，則最終作用于岸坡沖刷過程的總能量Eq為：

波浪破碎時能量損耗Eb計算如下：如圖1所示，假定波浪的破碎能量主要在破碎波峰截面x=x1和截面x=x2之間耗散，其耗散能量D表達式為[13]：

圖1 波浪破碎區(qū)的能量耗散示意圖Fig.1 Schematic diagram of energy dissipation in the wave breaking zone

式中，S為單位面積、單位時間的波能損耗率，其表達式為[13]：

式中，hb為波浪破碎深度，T為波浪周期，其他參數同前。

測得破碎波峰穿越截面x=x1和截面x=x2所用的時間T1，則最終的波浪破碎損耗能量Eb的表達式如下：

波浪破碎后沿岸坡上爬的過程中，波浪所具有的能量主要轉化為以下幾種：

式中，Eq為波浪總能量，Qe為侵蝕土體的侵蝕能，Qt為搬運土體的搬運能，Qf為摩擦、湍流及熱量損失，Qp、Qk分別為爬坡時具有的勢能及回落時轉化的動能。

在整個侵蝕過程中，波浪轉化的各類能量處于動態(tài)變化過程而難以確定及計算。但在岸坡已穩(wěn)定時，侵蝕坡角不再發(fā)生變化，侵蝕范圍確定，土體基本不再受到波浪侵蝕及搬運，侵蝕能Qe及搬運能Qt消失。在波浪上爬完成的那一刻，動能全部轉化為勢能，此時，摩擦湍流路徑固定。在侵蝕完成后，波浪沿岸坡能量轉換關系如式（7）所示：

1.2 波浪上爬的勢能方程構建

波浪破碎后沿岸坡上爬，上爬至最高點與靜水位間的垂直距離稱為波浪上爬高度R，一般用統(tǒng)計數據得來的Ru,2%（超越概率為2%的入射波爬高）表示波浪上爬高度的特征值。勢能大小Qp與上爬水流厚度h(z)相關，上爬水流厚度分布示意如圖2所示。圖2中，h0為坐標原點處的水流厚度，h(xA)為xA點處的水流厚度。 Hunt[14]在大量試驗研究的基礎上提出了Ru,2%值的表達式：

圖2 波浪上爬厚度分布示意圖Fig.2 Schematic diagram of wave climbing thickness distribution

式中： ζd為波類型系數；Hs為坡角處的顯著波高，一般用H1/3（波高H的1/3）表示；L0為對應的波長；c1為經驗系數； θ為岸坡坡角。

Schüttrumpf等[15]完成了多次波浪上爬模型試驗，包括大比例尺和小比例尺，研究發(fā)現在岸坡上波浪上爬水流的厚度呈線性衰減分布。因此，結合圖2對式（8）變形整理可得波浪爬升水平距離X(R)，表示為：

如圖2所示，某一點的上爬水流厚度隨X(R)增大而線性增大，即滿足如下關系[15]：

式中，c2為經驗系數。根據圖2所示的幾何關系，將式（10）整理成與Ru,2%相關的方程如下：

式中：h(z)為沿高度任一點的水流厚度；ch為爬坡水流衰減經驗系數，與岸坡坡度相關的函數，可表示為：

式中， θ為岸坡坡度。

根據水流厚度分布積分可得波浪上爬至最高點時的水流勢能Qp表達式如下：

岸坡上的位移微分 dx=dz/tan θ，將其代入到式（13）可得：

積分求解，可得：

1.3 波浪上爬的摩擦耗能方程構建

波浪上爬時的主要能量損耗為摩擦湍流損失，表現為水流流速急速降低而產生能量耗損。在此過程中，水流動量全部傳遞給了土體，動量傳遞的結果會產生剪力，而剪力 τ與速度相關的表達式如式（16）所示[16]：

式中，u*為底部摩阻流速。由于摩阻流速難以測得，定義底部剪應力與近底流速ub的關系表達式如下[17]：

式中，f為摩阻系數，較難測定，對于坡面流體一般定義為與雷諾數Re相關的函數[18]。聯合式（16）和（17），摩阻系數f可用以下形式表示[19]：

薄層水流作用于土體顆粒時，ub與u*的關系轉換如下[20]：

將式（19）代入式（18）中，即可得薄層水流作用于岸坡土體時的摩阻系數f近似值為0.060 1。

Jonsson等[21]定義剪切力在位移上做功的能量耗損函數為 ?f，表示單位時間、單位截面的能量損耗，其表達式為：

式中，U為實測泥沙起動的水流垂線平均流速，韓其為等[22]提出U與底部摩阻流速u*的關系表達式如下：

式中，h為水流深度，d為泥沙顆粒直徑。

重新整理式（19）和（22）可得U和ub的關系如下：

將f值和ub的表達式代入到式（20）中，對式（20）沿路徑和時間進行積分，則波浪上爬過程中的摩擦湍流損失能量Qf可以表示為：

式中：s為沿斜坡方向的坐標， ds=dz/sin θ；t為上爬時間。Schüttrumpf等[15]通過波浪上爬岸坡的模型試驗獲得了大量流速數據，觀測發(fā)現波浪上爬過程中各點的流速是一個與位置有關的變量函數Bosman，進一步研究可得[23]：

式中：U50%為某一位置入射波超越概率50%時的水流速度；cu水流速度系數，與岸坡坡度相關，表達式為：

則水流摩擦能量表達公式可以變形為：

波浪上爬過程中的流速變化近似于勻減速過程，上爬時間為：

將式（28）代入式（27）中，進一步簡化為：

1.4 波浪侵蝕岸坡范圍預測方程

將勢能方程（15）、摩擦耗能方程（29）、Eq表達式代入式（7）中，可得波浪侵蝕岸坡的能量守恒方程：

假定式（30）的左側項為一固定波浪能量，其他參數為常數，則等式右側中括號中第1項為勢能方程，第2項為摩擦損耗方程。對式（30）進行試算，可見轉化的勢能、摩擦耗能與岸坡坡度存在如圖3所示的相互關系，岸坡坡度減小時，波浪能量更多地轉化為勢能，而轉化的與水流流速相關的摩擦耗能逐漸減?。贿@也說明，坡度較小時岸坡難以被波浪水流侵蝕。

式（30）包含兩個待解參數，若要對其進行求解，顯然需要表示 θ和R的另一方程。岸坡的侵蝕過程實際是一種土體的沖刷起動現象，侵蝕穩(wěn)定終態(tài)時波流剪切力與土體的抗剪切力相等，因此，可以考慮此時波浪水流流速應與岸坡土體臨界起動流速相等這一條件建立方程。然而，由于波浪流速在上爬過程中是不斷變化的，難以確定固定波浪流速與土體的臨界沖刷起動流速建立關系。但是，侵蝕穩(wěn)定狀態(tài)時與波浪流速對應的摩擦耗能是可以確定的，因此，考慮采用土體的臨界起動流速來表示土體的抗侵蝕能力，從而可建立摩擦耗能與土體抗侵蝕能相關方程。本文定義岸坡土體的抗侵蝕能量Ed的大小表示為侵蝕穩(wěn)定狀態(tài)時，波浪上爬起點至最高點范圍內波流剪切力產生的摩擦耗能。其計算過程如下：

將式（23）變形得：

再將式（31）代入到式（20），并帶入參數，得到單位面積的抗侵蝕能如下：

則岸坡土體的抗侵蝕能量Ed表達式如下：

則侵蝕穩(wěn)定狀態(tài)時波浪的摩擦耗能與土體抗侵蝕能存在如下關系：

聯立式（34）和式（30）即可建立波浪作用土質岸坡的侵蝕范圍預測方程：

式（35）的第1個式子為波浪能量轉化方程，第2個式子為波浪侵蝕岸坡的能量穩(wěn)定方程，其中波浪上爬高度R及穩(wěn)定坡角 θ為待求解的預測值。應用式（35）時需要確定的參數包括岸坡土體的臨界起動流速ub、水流厚度參數ch和水流流速參數cu。其中，確定的臨界起動流速ub表達式見文獻[20]。本文將通過波浪上爬岸坡的模擬試驗，確定ch和cu的表達式。

2 波浪水槽模型試驗

2.1 波浪上爬模型試驗

Schüttrumpf[15]和Bosman[23]等通過一系列的試驗研究確定ch和cu值僅與岸坡坡度相關，而與岸坡坡面粗糙程度、岸坡比例尺寸等因素無關。為此，本文采用自主研制的波浪沖刷岸坡模型試驗裝置，開展不同坡度的波浪上爬岸坡試驗，通過測量波浪上爬過程中爬高、水流厚度及流速值，分析波浪爬高、水流厚度、流速與坡度的相關性，計算確定不同坡度時的ch和cu值分布區(qū)間，從而構建其與岸坡坡度間的數學方程。

2.1.1 試驗裝置與方案

試驗裝置包括鋼化玻璃水槽（尺寸：長6.0 m×寬0.5 m×高1.0 m）、岸坡堆砌板、坡度調節(jié)裝置、流速儀、造波裝置（無級調速電機和造波板）、攝像裝置，其示意圖如圖4（a）所示，模型實物如圖4（b）所示。造波裝置由造波板、無級調速電機及調速控制器組成，無級調速電機可實現0～1 500 R/min轉速的自由調整，在蓄水深0.4～0.5 m的條件下可制造波高為3～10 cm的規(guī)則波。

圖4 波浪上爬岸坡模型試驗裝置波浪侵蝕模型Fig.4 Wave erosion model of model test device for climbing bank slope on waves

考慮到塌岸預測公式中的沖磨蝕角普遍小于15°[24]，本文設計開展了4組不同坡度的波浪上爬試驗，岸坡坡度分別為7°、10°、13°、16°，每組試驗采用規(guī)則波進行150次以上的波浪上爬試驗，波浪上爬試驗中需要測量的數據主要包括指定位置的水流厚度、水流流速及波浪上爬高度，數據測量主要通過高速攝像機結合測量尺拍攝波浪傳播、破碎及上爬進程并逐幀進行分析，如圖5所示。采用LS-300A便攜式流速測算儀測定流速，各組試驗中流速測定位置與厚度測定位置保持一致。

圖5 層厚、流速及爬高測量示意圖Fig.5 Schematic diagram of layer thickness, flow velocity and climbing height measurement

2.1.2 水流層厚與厚度系數方程

按照試驗方案進行4組不同坡度的波浪上爬岸坡試驗，各組試驗中的波浪要素基本相同，試驗時的靜水位高度約為23.5 cm。通過高速攝像機錄制并逐幀分析波浪上爬至頂部的圖像，4組試驗的層厚測量位置分別為靜水位上0.4、1.1、0.8 和1.0 cm，參考標尺測量得到每組岸坡波浪爬高與層厚值，剔除結果變異性較大的點后繪制爬高與層厚值的分布，如圖6所示。比較4組試驗的爬高及固定測點的水流層厚可知，隨著岸坡坡度逐漸變大，同一大小波浪的爬高也越大，且不同坡度相近測點的水流厚度隨岸坡坡度的增加而增加。對比同一坡度上爬試驗中的爬高與水流厚度的相關性（測點位置相近的10°、13°、16°試驗組）可知，爬高越高，測得的水流厚度越大。

圖6 不同坡度岸坡的爬高與層厚分布Fig.6 Climbing height and layer thickness distribution map of bank slopes with different slopes

根據圖6中測得的爬高與層厚分布結果，運用式（11）即可計算獲得不同坡度岸坡的水流厚度系數。受造波機制造波浪產生的誤差及測量誤差影響，計算所得的水流厚度系數具有一定的離散性。不同坡度岸坡的水流厚度系數分布區(qū)間及頻數結果如圖7所示，受限于篇幅，僅列出了坡度為7°時的結果，最終各組岸坡的厚度系數按統(tǒng)計學中的規(guī)定取累積概率50%時的值作為代表值。計算結果由圖7可知：7°岸坡的爬高較小且測點位置的厚度相對較大，計算所得的厚度系數ch分散區(qū)間較廣，分布在0.33～0.58間，累積概率50%時的ch值為0.438；10°計算所得的厚度系數ch分布在0.28～0.32間居多，累積概率50%時的ch值為0.291；13°岸坡的爬高、層厚較大且分布范圍相對集中，計算所得的厚度系數ch分布在0.175～0.215間，累積概率50%時的ch值為0.19；16°岸坡的爬高較大，且爬高及層厚分布范圍廣，計算所得的厚度系數ch較分散，分布在0.08～0.235間，累積概率50%時的ch值為0.153。

圖7 爬高試驗的厚度系數分布及累積概率（坡度7°）Fig.7 Thickness coefficient distribution and cumulative probability of climbing test (slope 7°)

將上述各組岸坡試驗中累積概率50%對應的層厚系數作散點圖，如圖8所示。由圖8可知，ch為坡度相關的函數，經試算，正弦函數擬合效果最好，所構建的ch表達式如（36）所示，擬合決定系數R2為0.769。

圖8 水流爬坡厚度系數與坡度相關性Fig.8 Correlation between water flow climbing thickness coefficient and slope

將圖8擬合曲線與Bosman[23]的試驗值進行對比可知，擬合函數能基本反映不同坡度條件下的水流厚度系數值；受試驗手段的局限性及測量誤差等因素影響，擬合函數與實際計算值仍有一定偏差，但總體趨勢基本一致。

2.1.3 水流流速與流速系數方程

4組不同坡度的波浪上爬岸坡試驗中同時測量距靜水位上0.4、1.1、0.8和1.0 cm處的爬坡水流流速，剔除結果變異性較大的點后繪制爬高與流速的分布關系如圖9所示。觀察流速測點距離靜水位位置比較相近的10°、13°和16°岸坡試驗組， 10°岸坡測得的水流流速主要分布在0.75～0.95 m/s之間，13°岸坡測得的水流流速主要分布在0.70～0.90 m/s之間，16°岸坡測得的水流流速主要分布在0.55～0.70 m/s之間，流速隨坡度的增加而減小。同一坡度的試驗組中可以明顯觀察到，爬高越大時測得的水流流速越大。岸坡坡度為7°時，由于測點位置距靜水位較近，水流流速較大，分布在1.1～1.2 m/s之間。

圖9 不同坡度岸坡的流速與爬高分布Fig.9 Distribution of flow velocity and climbing height of bank slopes with different slopes

根據圖9中測得的不同坡度爬高與水流流速的分布結果，運用式（25）即可計算獲得水流流速系數cu。受各組波浪爬高不一及受波浪流速測量誤差影響，計算所得流速系數也具有一定的離散性，不同坡度岸坡的水流流速系數分布區(qū)間及頻數結果如圖10所示，受限于篇幅，僅列出了坡度為7°時的結果，最終各組岸坡的流速系數按統(tǒng)計學中的規(guī)定取累積概率50%時的值作為代表值。統(tǒng)計可知：7°岸坡的爬高較小且測點位置的流速較大，計算所得的流速系數cu分散區(qū)間較廣，主要分布在2.2～2.7之間，累積概率50%時的cu值為2.48；10°岸坡計算所得的流速系數cu主要分布在1.6～1.8之間，累積概率50%時的cu值為1.69；13°岸坡的流速分布范圍相對集中，因此計算所得的厚度系數cu分布區(qū)間集中，分布在1.15～1.40之間，累積概率50%時的cu值為1.25；16°岸坡的流速分布范圍較小，計算所得的厚度系數cu值分布在0.95～1.30之間，累積概率50%時的cu值為1.10。

圖10 爬高試驗的流速系數分布及累積概率（坡度7°）Fig.10 Flow velocity coefficient distribution and cumulative probability of the climbing test (slope 7°)

將上述各組岸坡試驗中累積概率50%對應的流速系數做散點圖，如圖11所示，cu是與岸坡坡度相關的函數，經試算，正弦函數擬合效果最好，擬合確定的cu表達式如（37）所示，擬合決定系數R2為0.99。

圖11 水流流速系數與岸坡坡度關系曲線Fig.11 Relationship between water flow velocity coefficient and bank slope slope

將擬合曲線與Bosman[23]的試驗值進行對比（圖11）可知，擬合函數與Bosman試驗數據基本吻合，也驗證了本文岸坡波浪爬高試驗的結果是可靠的。

2.2 波浪侵蝕岸坡模型試驗

驗證該預測方程式（35）的可靠性也是一個關鍵問題，由于波浪侵蝕岸坡是一種緩慢、長期、動態(tài)變化的過程，因此，難以通過現場觀測岸坡的侵蝕終態(tài)實現驗證，而基于水槽模型開展波浪侵蝕岸坡試驗是一種快速、有效的觀測與驗證方法[25]。

為此，本文采用波浪侵蝕岸坡模型試驗裝置，開展不同碎石含量土質岸坡的波浪侵蝕模型試驗，獲取波浪侵蝕土質岸坡的演化進程，探索干密度、碎石含量等土體物理參數對岸坡抗侵蝕特性的影響，并確定波浪侵蝕岸坡的最終穩(wěn)定狀態(tài)。然后，采用波浪侵蝕岸坡范圍預測方程計算確定岸坡模型的侵蝕穩(wěn)定坡角和對應的波浪上爬高度，將計算值與模型試驗的結果進行對比，驗證侵蝕范圍預測方程的可靠性。需要說明的是，模型試驗的最主要目的是驗證本文提出的波浪侵蝕土質岸坡范圍預測方法，觀測岸坡形態(tài)演化特征。因此，模型試驗不針對具體原型展開研究，主要考慮岸坡土體性質、岸坡結構及波浪特性等物理性質方面與研究對象一致。

因此，新經濟環(huán)境是技術進步和市場進步的共同結果，技術和市場對于中小制造企業(yè)將產生至關重要的影響。正確認識技術環(huán)境發(fā)展狀況和市場環(huán)境的發(fā)展狀況，是中小制造企業(yè)制定戰(zhàn)略的思維基礎。

2.2.1 試驗裝置與試驗土樣

試驗采用的模型試驗裝置與波浪上爬岸坡試驗裝置相同。除此之外，試驗采用WGZ-200B濁度儀測量侵蝕部位的水流濁度，以此來判斷岸坡侵蝕是否達到穩(wěn)定狀態(tài)。通過高清高速攝像機錄制波浪傳播時的高分辨率視頻，并逐幀輸出波浪傳播圖片，借助側壁鋼化玻璃上布設的測量尺確定波浪要素（波高、波長及周期）。

考慮到庫區(qū)岸坡的實際情況，模型試驗所采用的試驗材料為碎石土，由粉質黏土和碎石按一定的比例混合而成，兩種材料的顆粒級配曲線如圖12所示。

圖12 試驗材料的顆粒級配Fig.12 Particle size distribution of test material

2.2.2 試驗方案

作者前期研究[20]已確定黏土的干密度是影響侵蝕的主要因素之一，因此構建的預測方程也包含了干密度這一參數，所以模型試驗土體材料考慮的主要控制參數便是干密度。為確定碎石對波浪侵蝕的影響，試驗中也以碎石含量作為模型材料的另一主要參數?？紤]到岸坡土體鋪設的質量控制及庫區(qū)岸坡土體的實際干密度分布，干密度選取1.45、1.50、1.60 g/cm3。根據庫區(qū)土石混合體岸坡中碎石含量的實際情況，確定試驗土體碎石的含量分別為20%、30%、40%和50%。按照不同的干密度和碎石含量組合，共配制6組試驗用土（表1），每組土質岸坡共進行兩組不同能量大小的波浪侵蝕試驗。波浪能量由小變大，先完成能量較小的波浪侵蝕試驗，待侵蝕狀態(tài)穩(wěn)定后進行波浪能量較大的沖刷試驗，按此方法，通過6組岸坡可完成波浪侵蝕岸坡模型試驗共12組。

表1 模型試驗方案Tab.1 Model test plan

1）岸坡侵蝕穩(wěn)定狀態(tài)的確定

波浪侵蝕岸坡穩(wěn)定的標準通過目測結合濁度儀測量結果判斷。若試驗中觀察到坡體表面沒有明顯的大顆粒移動，同時連續(xù)3次以上的濁度測量值相對穩(wěn)定，則可判斷波浪侵蝕岸坡已完成，岸坡處于侵蝕穩(wěn)定狀態(tài)。第1種波浪條件下測得的濁度值隨時間變化情況如圖13所示。

圖13 各組試驗在第1種波浪沖刷過程中的濁度變化Fig.13 Turbidity changes of each bank slope during the first wave scouring process

分析圖13可知：波浪持續(xù)沖刷侵蝕過程中，岸坡侵蝕變形最強烈的時間段是0～2 h內，各組試驗中普遍表現出濁度值持續(xù)增加的狀態(tài)，試驗中觀測的現象也是如此，岸坡坡面侵蝕變形劇烈。2～4 h內，岸坡侵蝕變形現象相對減弱，濁度值的測量結果也是在小范圍內持續(xù)增大。4～8 h測量的濁度值均表現出波動變化的狀態(tài)，此時目測的侵蝕變形已不明顯，觀察坡面發(fā)現已存在一層碎石護面層。8 h后測量的濁度值逐漸減小，但各組岸坡進入侵蝕穩(wěn)定的時間不一，侵蝕穩(wěn)定時間隨干密度的增加而增加，由此可知土體干密度越大，土體顆粒越難被侵蝕，達到侵蝕穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間越長。同一干密度條件時，碎石含量較大的試驗組的侵蝕穩(wěn)定時間相對較短，主要原因是碎石在坡面上形成粗化層，對坡面的侵蝕具有保護作用。由于波浪持續(xù)波動，沖刷流失的細粒土顆粒持續(xù)漂浮在水中，各組岸坡的侵蝕穩(wěn)定濁度值均分布在20～25 NTU而不再下降。

2）波浪要素

波浪侵蝕試驗的過程中，通過高速攝像裝置記錄了波浪的傳播與破碎過程，逐幀分析波浪的傳播形態(tài)照片，通過刻度線輔助測量波浪的波高及波長參數，同時根據一個周期內波浪傳播過程的圖像幀數換算得出波浪的周期，每一組試驗測量多組數據后取平均值，最終確定的波浪要素見表2。

表2 試驗中測定的各組波浪平均波浪要素Tab.2 Average wave elements of each group of waves measured in the test

3）岸坡沖刷侵蝕進程

完成的6組岸坡試驗的侵蝕演化進程較為相似，本文以第1組試驗的結果為例（圖14），闡述波浪侵蝕岸坡的演化進程。由圖14可知：試驗初期的侵蝕現象非常強烈，第10 min的侵蝕照片可見岸坡前部大范圍垮塌，此時的岸坡侵蝕面相對平整；其后，沖刷侵蝕速率變緩，主要的變形表現為波浪侵蝕形成浪蝕龕，由于侵蝕速度較快，形成的浪蝕龕深度較大，表層土體失去支撐發(fā)生緩慢拉裂破壞形成陡坎，陡坎位置隨時間發(fā)展逐漸向后推移，因物質組成成分不同，不同位置的侵蝕寬度表現出不同的大小，如第60 min和240 min的侵蝕圖所示；240 min后，變形不再明顯，主要表現為細顆粒土體被沖刷流失。

圖14 第1組試驗的沖刷侵蝕進程Fig.14 Erosion and erosion process of the first group of model test

4）岸坡侵蝕穩(wěn)定終態(tài)

在波浪的持續(xù)作用下，當波浪能量不足以使岸坡土體顆粒產生起動現象時，則可視為岸坡達到最終侵蝕穩(wěn)定狀態(tài)，由濁度值判別岸坡侵蝕穩(wěn)定的最終狀態(tài)，并測量各組試驗最終穩(wěn)定剖面，以第1組試驗為例作圖，如圖15所示。

圖15 第1組試驗的侵蝕穩(wěn)定剖面圖Fig.15 Erosion stability profile of the first group of model test

如圖15所示，在同一岸坡試驗中，第1種波浪侵蝕穩(wěn)定后，能量更大的第2種波浪會進一步對岸坡產生侵蝕，使得岸坡沖刷加劇，坡度變緩。測量的各組岸坡侵蝕穩(wěn)定坡度和侵蝕穩(wěn)定狀態(tài)時波浪爬高值（圖15中波浪入射點到上爬最高點的垂直距離）及計算的波浪能量值見表3。對比表3中數據可知，對干密度相同的兩組岸坡來說，碎石含量越高，其抵抗波浪沖刷的能力越大；對碎石含量相同的岸坡來說，干密度越大，其抵抗波浪沖刷的能力越強。

表3 各組試驗侵蝕穩(wěn)定坡度、波浪爬高及波浪能量值Tab.3 Erosion stable slopes, wave run-up and wave energy values of each group

2.2.4 波浪侵蝕岸坡范圍預測方程的驗證

完成上述波浪侵蝕岸坡的模型試驗后，根據試驗結果對本文提出的波浪侵蝕范圍預測方程組（35）進行驗證。波浪沖刷的薄層水流的厚度h按試驗中的厚度取15 mm，d取土樣的中值粒徑0.022 mm，據此計算可得

方程組（35）中，ub取黏性土坡的臨界起動流速公式，將 ζ值、厚度系數方程（36）和流速系數方程（37）分別代入到土質岸坡的侵蝕范圍預測方程組（35）。

方程組（35）是含三角函數的非線性方程組，通常可用最小二乘法進行求解，獲取準確值時需給定適當的初值，當方程有多個解時，若初值選取不當，常出現計算偏差較大的情況。因此，考慮采用圖解法求解方程組（35）。以第1組試驗的模型試驗參數為例進行圖解計算，方程組（35）第1式為一固定波浪能量作用下岸坡坡度和波浪爬高的相關方程，將表2中的波浪參數代入其中，繪制其爬高與坡度關系如圖16所示，其爬高與坡度的分布呈近線性關系，對其進行線性擬合可得擬合方程（圖16），擬合決定系數為0.999 31。將擬合方程代入方程組（35）第2式中，同時將第1組試驗的土體參數代入其中，繪制抗侵蝕能量、摩擦耗能與坡度的相關曲線如圖17所示，兩條曲線的交點即為1-1試驗組侵蝕穩(wěn)定坡角的計算值12.5°。

圖16 1-1試驗組波浪能量作用時的坡度與爬高分布Fig.16 1-1 slope and climb distribution of the test group under the action of wave energy

圖17 1-1試驗組抗侵蝕能量與摩擦耗能相關曲線Fig.17 1-1 correlation curves between erosion resistance energy and friction energy consumption of the test group

分析圖16所示的爬高與坡度分布，可見：在一固定波浪能量作用下，岸坡坡度越大，波浪的爬高越大；不同能量大小的波浪作用于同一坡度的岸坡時，波浪能量越大，擬合函數的斜率大，其爬高越大，這也與模型試驗中測得的結果一致。

由圖17可知：同一波浪能量作用于同一岸坡時，坡度較大時波浪能所轉化的摩擦耗能較大，則轉化的勢能能量較?。浑S岸坡坡度的減小，波浪轉化的摩擦耗能逐漸減小，當坡度減小到5°以內時，轉化的摩擦耗能減小幅度陡變。同時，岸坡的抗侵蝕能量隨坡度的減小而緩增，當摩擦耗能隨坡度減小而抗侵蝕能量隨坡度增加時，兩種能量出現的交點即為固定波浪作用于岸坡的侵蝕穩(wěn)定坡角，將此坡角代入到圖16，所對應的爬高即為侵蝕穩(wěn)定爬高。將各組岸坡的侵蝕穩(wěn)定坡角、爬高的計算值與試驗實測值繪制成如圖18所示的散點圖并進行對比驗證，總體來說，預測值與試驗值計算結果較為接近。

圖18 穩(wěn)定坡度、爬高的計算值與試驗值對比Fig.18 Comparison between calculated values and test values of stable slope angle and climbing height

波浪能量對岸坡侵蝕穩(wěn)定坡角影響極大，無論是預測值還是試驗值，表現為各組岸坡的第2種波浪作用下的穩(wěn)定坡角顯著小于第1種波浪作用，尤其是波浪能量較大的第5組和第6組試驗更為明顯。

對比同一組試驗的計算值和預測值，第1種波浪作用下的侵蝕穩(wěn)定坡度較為接近，預測值相對偏大，偏差僅在1°左右的范圍內，此時波浪爬高的預測值相對試驗值偏小。由于能量法無法考慮碎石顆粒粗化層的保護作用，第2種波浪作用下的侵蝕穩(wěn)定坡角表現出預測值較試驗值偏小的情況，但偏差也在2°以內，相對應的預測值的爬高也較計算值偏小。結果對比表明預測值與試驗值總體相符，證明了本文提出的波浪侵蝕岸坡范圍預測公式的可靠性。相對于目前多數塌岸預測方法難以確定塌岸參數，本文的預測公式具有明確的物理意義，能夠準確地確定塌岸預測參數。

2.2.5 應用實例

以三峽庫區(qū)樹坪滑坡為例，對本文提出的波浪侵蝕岸坡范圍預測公式進行應用，樹坪滑坡詳細概況見文獻[26]。波浪要素的確定方法如下：采用樹坪滑坡臨近茶園坡氣象自動站所記錄的風速數據[2]，并應用官廳水庫公式計算確定的風浪月均波高為0.062 m，波長為1.124 m?，F場取樣測得的黏土干密度為1.63 g/cm3，黏粒含量為24.32%。將上述參數代入式（38），計算可得侵蝕范圍坡度為14.3°（沖磨蝕角），波浪爬高約為0.146 m。

考慮到庫水位的周期性波動作用，侵蝕范圍即為岸坡消落帶全區(qū)域。岸坡侵蝕后，水上的部位因消落帶岸坡侵蝕逐漸發(fā)生自然崩塌，采用極限平衡法計算確定的水上穩(wěn)定坡度約為52°，將上述預測參數在樹坪滑坡主剖面圖中繪制，如圖19所示。由于樹坪滑坡消落帶天然坡度較緩，預測的波浪侵蝕范圍相對較小。

3 結 論

1）提出以能量守恒理論描述波浪侵蝕岸坡范圍的方法，為此探索了波浪上爬岸坡過程中水流厚度、水流速度與水流爬高間的響應規(guī)律，分別構建了波浪上爬過程中的勢能轉換方程和摩擦耗能方程，在此基礎上建立了波浪侵蝕岸坡的能量守恒方程。提出岸坡土體抗侵蝕能量這一概念，并建立了侵蝕穩(wěn)定時抗侵蝕能量與摩擦耗能的關系表達式，與波浪侵蝕岸坡的能量守恒方程聯立構建了波浪侵蝕岸坡范圍預測方程。

2）開展了4組不同坡度的波浪上爬岸坡試驗，測得了波浪上爬過程中爬高、水流厚度及流速值，結果表明岸坡坡度越大，則波浪爬高越大，爬坡水流厚度也隨之增大，但爬坡水流流速隨之減小。計算確定了水流厚度參數和流速參數的分布區(qū)間，從而構建了水流厚度參數及流速參數與岸坡坡度間的關系方程。

3）開展了12組不同干密度、碎石含量的波浪侵蝕岸坡物理模型試驗，獲取了波浪作用岸坡的侵蝕進程。試驗結果表明：土體干密度越大，岸坡的抗侵蝕能力越強，且岸坡達到最終穩(wěn)態(tài)所需的時間越長；碎石含量越多，岸坡的抗侵蝕能力越強，因為碎石護面作用使得岸坡侵蝕穩(wěn)定的時間縮短。

4）利用波浪侵蝕岸坡模型試驗的結果對本文提出的波浪侵蝕岸坡范圍預測方程進行了驗證，證明了預測方程的可靠性。通過波浪侵蝕范圍預測方程分析了波浪上爬過程中的能量轉化規(guī)律，坡度越大時，同一種波浪的爬高越大，波浪能量主要轉化為摩擦耗能，此時岸坡的抗侵蝕能量較小，岸坡容易發(fā)生侵蝕，與波浪侵蝕岸坡模型試驗中觀察到的現象相同。