凹角外問(wèn)題非重疊區(qū)域分解算法的自適應(yīng)研究

蔡文璐，劉保慶

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

在求解和研究無(wú)界區(qū)域的偏微分方程問(wèn)題時(shí)，區(qū)域分解算法有著廣泛的應(yīng)用［1-5］。但是，當(dāng)面對(duì)具有間斷解或大梯度解的偏微分方程問(wèn)題時(shí)，均勻網(wǎng)格產(chǎn)生的誤差可能會(huì)很大，為了提高解的精度，自適應(yīng)方法則可以根據(jù)偏微分方程的特點(diǎn)進(jìn)行剖分［6-9］。本文在非重疊型區(qū)域分解算法的基礎(chǔ)上，提出了無(wú)界凹角區(qū)域上各向異性偏微分方程的自適應(yīng)研究。

1 問(wèn)題描述

設(shè)Ω 是具有光滑邊界、簡(jiǎn)單的無(wú)界區(qū)域，?Ω=Γ1∪?！圈?，其中

Γ2=｛（r，θ）│r=a，θ=ω）｝，考慮如下邊值問(wèn)題

設(shè)b>a>0，區(qū)域Ω，邊界Γ1，Γ2，Γ 用極坐標(biāo)可以表示成

其中，（r，θ）為極坐標(biāo)，它與直角坐標(biāo)（x，y）的關(guān)系如下

下面為了將各向異性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題進(jìn)行討論，作如下變量變換

則Γ 上任一點(diǎn)（ξ，η）處的單位外法方向?yàn)?/p>

于是Dirichlet 邊值問(wèn)題（1）轉(zhuǎn)化為如下調(diào)和問(wèn)題

引入橢圓坐標(biāo)（μ，φ），它與坐標(biāo)（ξ，η）的關(guān)系如下

通過(guò)Fourier 級(jí)數(shù)展開(kāi)法可得到如下Poisson 積分公式和自然積分公式

2 D-N 算法以及變分問(wèn)題

作半徑為R'的圓弧Γ'包圍Γ，外區(qū)域Ω 被分為兩個(gè)部分：有界區(qū)域Ω1和無(wú)界區(qū)域Ω2，具體如圖1所示。

圖1 D-N 交替算法求解區(qū)域

圖2 9*2 的均勻網(wǎng)格

圖3 9*2 的移動(dòng)網(wǎng)格

D-N 算法的定義如下：

步驟4：計(jì)算或輸入松弛因子δk，并在Γ'上令+（1-δk）λk。

步驟5：k=k+1，繼續(xù)步驟2 的計(jì)算。

將圓弧Γ'分為N 份，并在Ω1中進(jìn)行有限元剖分，可以得到D-N 交替算法的離散化格式。

3 收斂性分析

離散D-N 算法的迭代過(guò)程可以寫(xiě)成

定理1 離散D-N 算法（5），（6）與預(yù)處理Richardson 迭代法等價(jià)。

預(yù)處理Richardson 迭代法構(gòu)造如下

定理3 當(dāng)0＜min δk≤max δk＜1 時(shí)，離散D-N 算法均收斂，且收斂速度與h 無(wú)關(guān)。

4 自適應(yīng)算法與數(shù)值例子

自適應(yīng)算法有很多種，本文將運(yùn)用移動(dòng)網(wǎng)格方法。為了提高解的精度，通過(guò)控制函數(shù)將節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到解需要精確逼近的地方,所以自適應(yīng)算法相比一般的均勻網(wǎng)格剖分具有高效率高精度的特點(diǎn)。

由表1、2 可知，迭代序列是幾何收斂的；數(shù)值解與精確解的誤差隨著剖分網(wǎng)格的加密而降低；無(wú)論網(wǎng)格粗細(xì)，收斂速度大致相同，說(shuō)明D-N 算法的收斂速度與網(wǎng)格參數(shù)無(wú)關(guān)，這與第3 節(jié)的定理結(jié)論一致；移動(dòng)網(wǎng)格下的數(shù)值解與精確解的誤差比均勻網(wǎng)格下的小，說(shuō)明移動(dòng)網(wǎng)格的數(shù)值解的精度比均勻網(wǎng)格的更高。

表1 均勻網(wǎng)格中誤差與網(wǎng)格的關(guān)系

表2 移動(dòng)網(wǎng)格中誤差與網(wǎng)格的關(guān)系