改進(jìn)的Ambrosio-Tortorelli模型及其圖像分割應(yīng)用

范 琴,胡 華

(寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 寧夏 銀川 750021)

0 引言

Mumford-Shah模型是偏微分方程圖像處理模型的典型代表之一[1],它以泛函變分、偏微分方程等數(shù)學(xué)原理和方法為基礎(chǔ),將圖像分割問(wèn)題轉(zhuǎn)化為泛函極小化問(wèn)題,具有很強(qiáng)的幾何物理意義,能夠克服傳統(tǒng)圖像分割方法的許多弊端,吸引了眾多學(xué)者研究.早期泛函建立在C1類函數(shù)空間上,數(shù)值求解局限性較大,Giorgi E D等[2]將其放寬到特殊有界變差(SBV)函數(shù)空間上,提出了Mumford-Shah泛函的弱形式;在此基礎(chǔ)上,Ambrosio L等[3]利用橢圓泛函近似弱形式中的幾何項(xiàng),得到Ambrosio-Tortorelli模型,使得模型數(shù)值求解容易實(shí)現(xiàn).

近年來(lái),不少學(xué)者對(duì)Ambrosio-Tortorelli模型進(jìn)行了深入研究,主要集中在模型的數(shù)值求解研究和改進(jìn)研究?jī)蓚€(gè)方面.關(guān)于模型數(shù)值求解,部分學(xué)者[4-6]考慮采用有限差分和有限分方法進(jìn)行求解,通過(guò)改進(jìn)網(wǎng)格剖分方法,有效解決了數(shù)值求解過(guò)程中產(chǎn)生的各向異性阻礙和邊界圖像過(guò)厚且模糊的問(wèn)題;Foare M等[7-8]用離散微積分框架表示了AT泛函的離散微積分公式,該方法對(duì)于復(fù)雜的拓?fù)淇蚣?也能清晰地表示邊界,并且對(duì)噪聲具有較好的穩(wěn)定性.關(guān)于模型改進(jìn),Trieu H,Foare M等[9]推導(dǎo)出PALM和SL-PAM兩種迭代格式來(lái)求解Ambrosio-Tortorelli泛函,并提出了一種多分辨率的網(wǎng)格搜索策略進(jìn)行參數(shù)選取,數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明PALM格式具有更優(yōu)的圖像分割效果,但SL-PAM格式由于計(jì)算成本過(guò)大,導(dǎo)致時(shí)間成本較大、分割效果相對(duì)較差;Burger M等[10]分別用Laplacian和Hessian二階邊緣項(xiàng)代替模型中的一階懲罰邊緣項(xiàng),提出了兩個(gè)改進(jìn)模型,該方法具有邊緣輪廓更平滑清晰、算法迭代次數(shù)顯著減少、收斂更優(yōu)的特點(diǎn).

本文在Ambrosio-Tortorelli模型基礎(chǔ)上,考慮其圖像分割應(yīng)用中邊緣檢測(cè)能力不足的問(wèn)題,在確保模型解的存在性等良好性質(zhì)前提下,對(duì)模型的邊緣懲罰項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn),提出了一種新的圖像邊緣測(cè)度的逼近形式,采用變分法、梯度下降法和有限差分法等設(shè)計(jì)了有效的數(shù)值求解算法,通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了圖像弱邊緣檢測(cè)能力的提高.

1 Ambrosio-Tortorelli模型

Mumford-Shah模型是由Mumford D等[11]在1989年針對(duì)計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的圖像分割問(wèn)題提出的解決方法.該模型如下:

MS(u,Γ)=?Ω(u-g)2dxdy+
λ?ΩΓ|?u|2dxdy+α|Γ|.

(1)

其中:g是要進(jìn)行處理的原始圖像,g∈L∞(Ω);Ω為有界開(kāi)集合,Ω?R2;u∈C1(ΩΓ),u是對(duì)圖像g的逼近光滑圖像;Γ是圖像g中的不連續(xù)點(diǎn)集;|Γ|代表組成Γ的弧的總長(zhǎng)度;λ,α>0是調(diào)節(jié)參數(shù).

求解Mumford-Shah模型就是要找出最優(yōu)的u和Γ,使得能量泛函MS值最小.Mumford-Shah模型由3項(xiàng)組成:第一項(xiàng)是保真項(xiàng),表示逼近光滑圖像u與輸入圖像g的近似程度;第二項(xiàng)是平滑項(xiàng),強(qiáng)調(diào)u在區(qū)域ΩΓ上盡量平滑;第三項(xiàng)是幾何測(cè)度項(xiàng),確保邊緣不致填滿整幅圖像,即要求邊界曲線Γ盡可能光滑.

Mumford D和Shah J提出的泛函建立在C1類函數(shù)空間上,且其中的幾何項(xiàng)是非下半連續(xù)的,使得該泛函求解十分困難.Giorgi E D等[2]在有界變差(BV)函數(shù)空間的基礎(chǔ)上,發(fā)展了特殊有界變差(SBV)函數(shù)空間,將原泛函放寬到特殊有界變差函數(shù)空間上,并將Γ集用u的不連續(xù)集Su替代,得到了Mumford-Shah模型的弱形式:

MSw(u)=?Ω(u-g)2dxdy+
λ?Ω|?u|2dxdy+αH1(Su).

(2)

其中,u∈SBV.

雖然Giorgi E D等[12]證明了Mumford-Shah泛函在SBV空間下的弱形式的解的存在性,但因?yàn)槠渲袔缀雾?xiàng)的存在使得弱泛函是不可微的,從而無(wú)法推導(dǎo)得出弱泛函對(duì)應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程,所以該弱泛函的數(shù)值求解仍然是十分復(fù)雜的.Ambrosio L和Tortorelli V M[3]對(duì)式(2)進(jìn)行了改進(jìn),在Γ收斂相關(guān)理論基礎(chǔ)上,利用輔助函數(shù)

Mε(v)=
?Ω(ε|?v|2+W(v)/4ε)dxdy,

近似式(2)中的幾何項(xiàng)H1(Su),其中W(v)=1-v2,從而得到了Mumford-Shah模型的逼近形式—Ambrosio-Tortorelli模型:

(3)

Maso G D等[13]證明了泛函ATε擴(kuò)展到W1,2(Ω)×W1,2(Ω)之外的+∞,在ε→0+時(shí),Γ收斂到泛函MSw.在Ambrosio-Tortorelli模型中,求解對(duì)象u仍然是分割后的平滑圖像,但另一求解對(duì)象v不再是原泛函中的邊緣Γ,而是輸入圖像g的邊緣圖像,所有積分都定義在同一二維區(qū)域Ω,并用橢圓泛函Mε(v)近似不連續(xù)集Su的Hausdorff一維測(cè)度,使得數(shù)值求解更容易實(shí)現(xiàn).

2 改進(jìn)的Ambrosio-Tortorelli模型

Ambrosio-Tortorelli模型可利用變分法、梯度下降法和有限差分法等方法直接進(jìn)行數(shù)值求解[14],利用數(shù)值求解結(jié)果進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),可以發(fā)現(xiàn),該模型對(duì)圖像弱邊緣檢測(cè)能力較弱,易導(dǎo)致分割后的邊界圖像v產(chǎn)生邊緣信息弱化現(xiàn)象.

為克服這一缺點(diǎn),本節(jié)對(duì)Ambrosio-Tortorelli模型進(jìn)行了改進(jìn),在保證模型解的存在性等良好性質(zhì)前提下,對(duì)輔助函數(shù)Mε(v)中W(v)項(xiàng)進(jìn)行修改,構(gòu)建了新的圖像邊緣測(cè)度逼近項(xiàng).從原模型W1(v)=(1-v)2的圖像特征出發(fā),尋求與其具有類似圖像特征的W(v),最終確定將其修改為W2(v)=e-5v2.

W2(v)和Vr2(v)函數(shù)對(duì)比如圖1所示,從圖中可發(fā)現(xiàn),在[0,1]區(qū)間內(nèi),W1(v)與W2(v)具有類似的性質(zhì):圖像都呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì);圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1);W1(v)函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),W2(v)函數(shù)曲線無(wú)限趨近于點(diǎn)(1,0).

圖1 W1(v)和W2(v)函數(shù)對(duì)比圖

不同性質(zhì):W2(v)函數(shù)值降低,呈現(xiàn)先緩慢再加速的趨勢(shì).具體表現(xiàn):在v→0+時(shí),W2(v)函數(shù)值緩慢降低,保證了圖像分割過(guò)程中邊界清晰處能夠較好、較完整地收斂,隨著v的增大,W2(v)函數(shù)值加速降低,意味著平滑不清晰、較淺邊界,即在近邊緣處減緩衰減而在遠(yuǎn)邊緣處加快衰減,從而提高對(duì)圖像的弱邊緣檢測(cè)能力.

建立改進(jìn)的Ambrosio-Tortorelli模型為

(4)

基于變分法計(jì)算式(4)對(duì)應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程:

(5)

其中,邊界處滿足紐曼邊界條件.

采用梯度下降法計(jì)算出式(5)對(duì)應(yīng)的梯度下降流:

(6)

其中

最后采用有限差分法離散式(6),得到改進(jìn)Ambrosio-Tortorelli模型的迭代方程為

(7)

其中,

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析

3.1 圖像分割介紹

3.2 收斂性分析

本節(jié)實(shí)驗(yàn)在Window 10操作系統(tǒng)下,利用Matlab R 2017a軟件編寫程序?qū)崿F(xiàn).利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果,分析改進(jìn)Ambrosio-Tortorelli模型的收斂性.將原始圖像(圖2)進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn),參數(shù)設(shè)置為α=0.4,λ=180,ε=0.7,迭代次數(shù)為1 000,得到圖像分割后光滑圖像u和邊界圖像v(如圖3、圖4).

圖2 原始圖像

圖3 光滑圖像u(迭代次數(shù)從1～1 000)

圖4 邊界圖像v(迭代次數(shù)從1～1 000)

圖5 平均能量泛函變化圖

圖6 Nu值變化圖

3.3 對(duì)比分析

注:下圖為上圖放大呈現(xiàn)圖9 平均能量泛函變化圖

圖10 Nu值變化圖

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明,改進(jìn)Ambrosio-Tortorelli模型的圖像分割應(yīng)用具備有效性,且具有更恰當(dāng)?shù)乃p模式,能改善原模型中圖像邊緣測(cè)度逼近項(xiàng)隨梯度模衰減過(guò)早且速度較慢等不足,在一定程度上提高了對(duì)圖像弱邊緣的辨識(shí)能力,即實(shí)現(xiàn)了圖像弱邊緣檢測(cè)能力的提高.