榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命不確定性分析

陳 實(shí),張屹尚,張嘉誠,徐逸晗,孫 凱

(1.中國航發(fā)商用航空發(fā)動(dòng)機(jī)有限責(zé)任公司,上海 200241;2上海飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)工程技術(shù)中心,上海 200241)

0 引言

榫連接結(jié)構(gòu)是航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片與輪盤連接的主要形式,在航空發(fā)動(dòng)機(jī)飛行剖面轉(zhuǎn)速工況下承受巨大的交變離心載荷,使得微動(dòng)疲勞損傷成為其主要失效機(jī)制。而航空發(fā)動(dòng)機(jī)全生命周期存在幾何、載荷[1]、材料、監(jiān)測誤差等多種不確定性因素[2],這些因素導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)在試驗(yàn)、服役過程中性能偏離設(shè)計(jì)值,帶來性能不達(dá)標(biāo)甚至引發(fā)故障。因此針對榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命開展不確定性分析具有重要的意義。

蒙特卡洛法基于大數(shù)定律,適用于各種極限狀態(tài)方程形式、變量維數(shù)、變量分布特征,廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠性評估[3]。崔海濤等[4]以彈性模量、摩擦系數(shù)和壽命預(yù)測模型參數(shù)為隨機(jī)變量,通過104次蒙特卡洛模擬,得到了不同可靠度下的燕尾榫結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命;同時(shí),這一方法被用于燕尾榫結(jié)構(gòu)高周微動(dòng)疲勞壽命可靠性計(jì)算,然后基于Miner疲勞累積損傷準(zhǔn)則,建立了高低周微動(dòng)疲勞壽命對數(shù)正態(tài)分布模型[5]。此外,蒙特卡洛法也應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)其他關(guān)鍵部件的研究,例如渦輪盤持久壽命分析[6],且蒙特卡洛抽樣次數(shù)達(dá)到106。因此,對于高安全性要求的航空發(fā)動(dòng)機(jī)限壽件失效風(fēng)險(xiǎn)評估問題,其失效屬于小概率事件,傳統(tǒng)蒙特卡洛方法在模擬時(shí)存在計(jì)算成本高、效率不足的問題。為此,工程上發(fā)展了基于抽樣的傳統(tǒng)蒙特卡洛模擬方法及其改進(jìn)算法[7],與傳統(tǒng)蒙特卡洛法計(jì)算時(shí)間成本相比,重要性抽樣方法能夠?qū)r(shí)間降低約1個(gè)數(shù)量級(jí)。

目前,國內(nèi)關(guān)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命不確定性的研究相對較少。為此,本文中針對航空發(fā)動(dòng)機(jī)榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命不確定性分析這一工程問題,提出了改進(jìn)蒙特卡洛抽樣方法,其應(yīng)用貝塔分布抽樣和雙峰正態(tài)分布抽樣對樣本進(jìn)行抽樣,然后基于重要抽樣思想推導(dǎo)得到變量原始分布特征的失效概率。結(jié)合非線性算例分析了分布參數(shù)、縮放參數(shù)和平移參數(shù)對改進(jìn)蒙特卡洛抽樣方法失效概率評估性能的影響。進(jìn)一步地,針對航空發(fā)動(dòng)機(jī)風(fēng)扇葉片榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命不確定性分析問題,采用雙峰正態(tài)分布抽樣完成了失效概率計(jì)算及全局靈敏度分析。

1 改進(jìn)蒙特卡洛抽樣

蒙特卡洛法利用計(jì)算機(jī)生成服從變量空間隨機(jī)分布的抽樣樣本,然后進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn),從而根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果獲得系統(tǒng)失效概率。設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)為系統(tǒng)變量參數(shù),其分布概率密度函數(shù)記為fX(X),功能函數(shù)記為g(x),則系統(tǒng)失效概率Pf可計(jì)算為

(1)

其中If[g(x)]為功能函數(shù)g(x)的指示函數(shù),計(jì)算如下:

(2)

蒙特卡洛法借助計(jì)算機(jī)產(chǎn)生服從分布fX(x)的樣本xi,然后模擬系統(tǒng)特性,則式(1)系統(tǒng)失效概率Pf的估計(jì)值為

(3)

從式(3)可知產(chǎn)生服從變量分布的隨機(jī)樣本為蒙特卡洛法以及改進(jìn)的數(shù)字模擬方法的基礎(chǔ)[8]。式(3)所示的簡單隨機(jī)抽樣廣泛應(yīng)用于工程可靠性分析。但是在航空發(fā)動(dòng)機(jī)零部件參數(shù)不確定性分析中,設(shè)計(jì)點(diǎn)變量通常為對應(yīng)分布均值[1,10],屬于小概率失效問題,簡單隨機(jī)抽樣存在效率低、樣本量巨大的問題。針對這一問題,研究人員提出了重要抽樣法,其通過采用重要抽樣密度函數(shù)代替變量分布密度函數(shù),使得落入失效域的樣本概率增加,從而提高失效概率預(yù)估精度和收斂速度[9]。在重要抽樣法中,式(1)可計(jì)算為

(4)

式(4)中:hX(x)為重要抽樣密度函數(shù),此時(shí)失效概率估計(jì)值為:

(5)

式(5)中:xi不再服從變量分布概率密度函數(shù)fX(x),而是根據(jù)重要抽樣密度函數(shù)hX(x)隨機(jī)生成。

(6)

1.1 貝塔分布抽樣

貝塔分布是一組定義在(0,1)區(qū)間的連續(xù)概率分布,其概率密度函數(shù)計(jì)算如下

(7)

式中:α、β為貝塔分布的2個(gè)參數(shù),B(α,β)計(jì)算為

(8)

α、β均小于1時(shí)呈現(xiàn)中心概率密度小、邊緣概率密度大的特點(diǎn),均大于1時(shí)正相反,而均為1時(shí)則轉(zhuǎn)化為均勻分布。

針對簡單隨機(jī)抽樣在失效區(qū)域樣本分布不足問題,將貝塔分布函數(shù)構(gòu)造為重要抽樣密度函數(shù)。引入縮放參數(shù)kB,將貝塔分布區(qū)間其擴(kuò)增到目標(biāo)變量區(qū)間,使抽樣樣本xi能夠囊括失效區(qū)域,計(jì)算如下

(9)

(10)

1.2 雙峰正態(tài)分布抽樣

雙峰正態(tài)分布由2個(gè)正態(tài)分布疊加得到,其表達(dá)式為

(11)

式中:μ1、μ2、σ1、σ2分別為2個(gè)正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,r為第一個(gè)正態(tài)分布所占的比重,本文取σ1=σ2=σ,r=0.5。抽樣密度如圖1所示。為了增加分布樣本在失效區(qū)域的抽樣概率,引入平移參數(shù)kD,使得

圖1 雙峰正態(tài)分布曲線

(12)

式中:μ為設(shè)計(jì)點(diǎn),則式(11)為重要抽樣密度函數(shù)hX(x)。

1.3 失效概率評估流程

失效概率評估流程包括固定抽樣次數(shù)和依據(jù)收斂準(zhǔn)則2種流程。前者按照抽樣次數(shù)N直接進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn),然后根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果評估失效概率。相比于簡單隨機(jī)抽樣,重要抽樣法在計(jì)算失效概率時(shí)考慮了抽樣密度函數(shù)的影響。

按照收斂準(zhǔn)則的失效概率評估流程如圖2所示,收斂判據(jù)為前后兩次預(yù)測失效概率的相對誤差連續(xù)5次小于收斂指標(biāo)。初始抽樣次數(shù)為10,樣本池樣本為空集,按照抽樣次數(shù)進(jìn)行蒙特卡洛模擬,計(jì)算樣本池的預(yù)測失效概率,當(dāng)預(yù)測失效概率滿足收斂指標(biāo)時(shí)收斂次數(shù)加1;當(dāng)預(yù)測失效概率不滿足收斂指標(biāo)時(shí),收斂次數(shù)歸零,然后按照抽樣次數(shù)進(jìn)行蒙特卡洛模擬,并將模擬樣本放入樣本池中,在樣本池?cái)?shù)目達(dá)到抽樣次數(shù)的10倍時(shí),則應(yīng)更改抽樣次數(shù)為樣本池?cái)?shù)目,如此往復(fù),直至連續(xù)5次滿足收斂指標(biāo)后輸出預(yù)測失效概率。

圖2 依據(jù)收斂準(zhǔn)則的失效概率評估流程

2 抽樣性能分析

2.1 算例1

計(jì)算案例采用西北工業(yè)大學(xué)呂震宙等[8]提出的非線性功能函數(shù),如下所示:

(13)

式中:X1、X2相互獨(dú)立,且X1服從正態(tài)分布N(10,25),X2服從正態(tài)分布N(9.9,25),屬于小概率失效。

針對上述功能函數(shù),采用簡單隨機(jī)抽樣、貝塔分布抽樣和雙峰正態(tài)分布抽樣3種抽樣方法,設(shè)置蒙特卡洛抽樣次數(shù)分別為[10,102,103,104,105,106,107,108],開展100輪蒙特卡洛試驗(yàn)。

2.1.1簡單隨機(jī)抽樣

圖3 簡單隨機(jī)抽樣預(yù)測結(jié)果

2.1.2貝塔分布抽樣

影響貝塔抽樣密度函數(shù)及其失效概率評估的因素包括分布參數(shù)α、β以及縮放參數(shù)kB,通過隨機(jī)模擬,分析這些參數(shù)對失效概率預(yù)估性能的影響。

1) 貝塔分布參數(shù)。設(shè)置縮放參數(shù)kB為8,對應(yīng)樣本分布范圍為(μ-4σ,μ+4σ)。分布參數(shù)α=β且分別取值為0.75、1.00、1.25、1.50、1.75。如圖4(a)所示,隨著抽樣次數(shù)的增加,不同分布參數(shù)的失效概率預(yù)估值均趨于穩(wěn)定。在α=β=1.50時(shí)波動(dòng)迅速減小并穩(wěn)定在收斂值上,此時(shí)樣本能夠囊括絕大多數(shù)失效區(qū)域,且中心區(qū)域仍占有較多的樣本,使得失效概率評估收斂較快。預(yù)估失效概率標(biāo)準(zhǔn)差如圖4(b)所示,α=β=1.50情況下預(yù)估失效概率標(biāo)準(zhǔn)差在不同抽樣次數(shù)下均處于較低水平。

圖4 不同分布參數(shù)下貝塔分布抽樣預(yù)測結(jié)果

2) 縮放參數(shù)。設(shè)置分布參數(shù)α=β=1.50,縮放參數(shù)kB分別取值6、8、10、12、14,不同抽樣次數(shù)下的單輪預(yù)測失效概率如圖5(a)所示。在kB取值為6時(shí),由于模擬樣本分布范圍為(μ-3σ,μ+3σ),使得超出區(qū)域并沒有樣本,導(dǎo)致預(yù)估失效概率值低于準(zhǔn)確值。如圖5(b)所示,由于縮放參數(shù)增加導(dǎo)致其在概率密度較大的失效區(qū)域分布的樣本量反而減少,使得預(yù)測失效概率標(biāo)準(zhǔn)差隨縮放參數(shù)增加而增大,在取值為10時(shí)可以達(dá)到較好的收斂效果。

圖5 不同縮放參數(shù)下貝塔分布抽樣預(yù)測結(jié)果

2.1.3 雙峰正態(tài)分布抽樣

影響雙峰正態(tài)分布抽樣密度函數(shù)的因素為平移參數(shù)kD。如圖6(a)所示,不同平移參數(shù)單輪抽樣結(jié)果均在106時(shí)趨于穩(wěn)定,圖6(b)所示的標(biāo)準(zhǔn)差表明kD在取值為2.0時(shí)可以得到較好的收斂速度,此時(shí)2個(gè)正態(tài)分布的均值分別為μ-2σ和μ+2σ。預(yù)估失效概率的標(biāo)準(zhǔn)差并非隨著平移參數(shù)kD的增加而單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,這是因?yàn)楫?dāng)平移參數(shù)kD較小時(shí)其抽樣落入失效區(qū)域的樣本偏少,其預(yù)測失效概率標(biāo)準(zhǔn)差與簡單隨機(jī)抽樣相似;而當(dāng)平移參數(shù)kD較大時(shí)其抽樣樣本落入失效區(qū)域的概率增加,但是落入概率密度較大的失效區(qū)域的樣本量減少,導(dǎo)致其標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)增加。

圖6 不同平移參數(shù)下雙峰正態(tài)分布抽樣預(yù)測結(jié)果

2.1.4失效概率評估性能分析

設(shè)置貝塔分布參數(shù)α=β=1.50、kB=10,雙峰正態(tài)分布參數(shù)kD=2.0,進(jìn)一步對比三種抽樣方法對失效概率預(yù)測性能的影響。1 000次隨機(jī)抽樣下不同抽樣方式樣本點(diǎn)的分布如圖7所示,簡單隨機(jī)抽樣只有極少數(shù)樣本分布于非失效區(qū)域(黑色曲線左側(cè)),貝塔分布抽樣和雙峰正態(tài)分布抽樣樣本分布較為均勻,從而能夠提高失效概率預(yù)測精度。

圖7 不同抽樣方式樣本分布

如圖8(a)所示,在抽樣次數(shù)為10時(shí),由于雙峰正態(tài)分布和貝塔分布抽樣樣本點(diǎn)數(shù)目在失效和非失效區(qū)域分布量級(jí)一致,兩者給出了與理論值量級(jí)一致的預(yù)測失效概率。另一方面,圖8(b)為預(yù)測失效概率標(biāo)準(zhǔn)差相對于簡單隨機(jī)抽樣的值,可以看出雙峰正態(tài)分布失效概率預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差大約為簡單隨機(jī)抽樣的一半甚至更少,證明其在收斂性能上要優(yōu)于另外2種抽樣方式。

圖8 特定參數(shù)下不同抽樣方法預(yù)測性能對比

按照圖2流程,設(shè)置收斂指標(biāo)δ為5%,進(jìn)行10輪蒙特卡洛試驗(yàn),不同抽樣方式達(dá)到收斂所需的抽樣次數(shù)如表1所示。取簡單隨機(jī)抽樣108次預(yù)測失效概率期望值0.581 2%作為理論值,雙峰正態(tài)分布抽樣最為接近理論計(jì)算結(jié)果,其平均抽樣次數(shù)不到簡單隨機(jī)抽樣的1/10;而且簡單隨機(jī)抽樣標(biāo)準(zhǔn)差最大,雙峰正態(tài)分布抽樣最小。

表1 不同抽樣方法算例1預(yù)測結(jié)果對比

2.2 算例2

九盒段結(jié)構(gòu)由64個(gè)桿元件和42個(gè)板元件構(gòu)成,材料為鋁合金,其2個(gè)主要失效模式的功能函數(shù)為[8]:

(14)

式中:R68、R77、R68為單元強(qiáng)度,外載荷P均值為120 kg,所有參數(shù)均滿足正態(tài)分布,如表2所示。

表2 算例2計(jì)算參數(shù)

類似地,設(shè)置收斂指標(biāo)δ為5%,進(jìn)行10輪蒙特卡洛試驗(yàn),其中貝塔分布參數(shù)α、β設(shè)置為1.5,縮放參數(shù)kB=10,雙峰正態(tài)分布平移參數(shù)kD=2.0,3種抽樣方法計(jì)算得到的結(jié)果如表3所示,雙峰正態(tài)分布抽樣達(dá)到收斂的平均次數(shù)為7.19×105,小于簡單隨機(jī)抽樣和貝塔分布抽樣,驗(yàn)證了改進(jìn)蒙特卡洛抽樣的準(zhǔn)確性和高效性。

表3 不同抽樣方法算例2預(yù)測結(jié)果對比

3 微動(dòng)疲勞壽命不確定性分析

3.1 有限元模型

參考某型號(hào)風(fēng)扇葉片、輪盤提取榫連接結(jié)構(gòu),簡化為平面應(yīng)力模型,如圖9所示,榫頭頂端施加風(fēng)扇葉片離心載荷產(chǎn)生的壓強(qiáng)P,榫槽兩側(cè)施加周向約束,榫槽底部施加全約束,設(shè)置接觸區(qū)域摩擦系數(shù)為0.3。榫頭、榫槽均采用TC4鈦合金材料,如表4所示,參數(shù)均值來源于《中國航空材料手冊》[11]TC4棒材室溫下的低周疲勞數(shù)據(jù),考慮隨機(jī)因素為壓強(qiáng)P和應(yīng)變疲勞參數(shù)σ′f,假設(shè)兩者均服從正態(tài)分布。

表4 榫連接結(jié)構(gòu)計(jì)算參數(shù)

圖9 榫連接結(jié)構(gòu)有限元模型

取表4參數(shù)均值,計(jì)算結(jié)果如圖10所示,接觸區(qū)域應(yīng)力分布與渦輪葉片榫連接結(jié)構(gòu)[12]、樅樹形榫連接結(jié)構(gòu)[13]有限元計(jì)算結(jié)果相近,最大Mises應(yīng)力均位于接觸區(qū)邊緣。

圖10 榫連接結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布

3.2 微動(dòng)疲勞壽命計(jì)算

SWT損傷參量在鈦合金燕尾榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞預(yù)測方面具有較好的效果,該參量綜合考慮了臨界平面上的循環(huán)正應(yīng)變幅εn,a和最大正應(yīng)力σn,max為

SWT=σn,maxεn,a

(15)

其中臨界平面為SWT值最大的平面,對應(yīng)微動(dòng)疲勞壽命為:

(16)

提取榫連接結(jié)構(gòu)接觸區(qū)域的應(yīng)力和應(yīng)變信息,計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)的SWT損傷參量,如圖11所示,在滑動(dòng)區(qū)域兩側(cè)邊緣存在2個(gè)SWT極值,與榫連接結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件計(jì)算結(jié)果一致[12]。將最大SWT值代入式(16)得到微動(dòng)疲勞壽命為91 720,滿足10 000周循環(huán)的壽命要求。

圖11 接觸區(qū)域損傷參量

3.3 微動(dòng)疲勞壽命失效概率

考慮拉伸壓強(qiáng)P和應(yīng)變疲勞參數(shù)σ′f兩個(gè)隨機(jī)因素(表4),基于雙峰正態(tài)分布抽樣進(jìn)行蒙特卡洛法模擬,計(jì)算榫頭微動(dòng)疲勞壽命失效概率。設(shè)定功能函數(shù)為

g(X)=Nf(X)-104

(17)

雙峰正態(tài)分布抽樣結(jié)果如圖12所示,拉伸壓強(qiáng)P的增加和材料應(yīng)變疲勞參數(shù)σ′f的減少,都將導(dǎo)致榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命下降,甚至失效。對于同一個(gè)失效的樣本點(diǎn),相比于增加材料應(yīng)變疲勞參數(shù)σ′f,改變更少的拉伸壓強(qiáng)P就能滿足壽命要求,如圖12兩個(gè)箭頭所示。因此,降低轉(zhuǎn)速波動(dòng)更能有效降低結(jié)構(gòu)失效概率。將抽樣結(jié)果代入式(5)計(jì)算得到失效概率為0.046 4%。

3.4 失效概率影響因素分析

考慮拉伸壓強(qiáng)P和應(yīng)變疲勞參數(shù)σ′f的不確定性對榫連接結(jié)構(gòu)失效概率的影響時(shí),采用Cui等[14]提出的失效概率全局靈敏度指標(biāo),其表達(dá)式為

(18)

根據(jù)式(18)計(jì)算得到榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命失效概率影響因素的全局靈敏度指標(biāo)如表5所示。拉伸壓強(qiáng)P的全局靈敏度指標(biāo)最大,說明其對榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命失效概率影響最為顯著。這是因?yàn)槔靿簭?qiáng)P增大時(shí)將同時(shí)增加接觸面的摩擦力和正壓力,使得循環(huán)正應(yīng)變幅εn,a和最大正應(yīng)力σn,max增大,導(dǎo)致微動(dòng)疲勞損傷參量SWT值迅速增加,且在同等標(biāo)準(zhǔn)差下拉伸壓強(qiáng)P相對增加值更大,使得榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命迅速下降。因此,拉伸壓強(qiáng)P,即轉(zhuǎn)速波動(dòng)對榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命影響不可忽略。

4 結(jié)論

針對蒙特卡洛法簡單隨機(jī)抽樣在評估失效概率效率不足這一問題,本文中提出了基于貝塔抽樣和雙峰正態(tài)分布抽樣的蒙特卡洛模擬方法,在不引入大量計(jì)算復(fù)雜度的前提下提高了不確定性評估效率。得到如下結(jié)論:

1) 算例分析結(jié)果表明:影響貝塔分布抽樣預(yù)測失效概率性能的因素包括分布參數(shù)α、β和縮放參數(shù)kB,縮放參數(shù)過小時(shí)將會(huì)導(dǎo)致失效區(qū)域分布樣本不足。

2) 算例分析結(jié)果表明:影響雙峰正態(tài)分布抽樣預(yù)測失效概率性能的因素為平移參數(shù)kD,平移參數(shù)過小時(shí)其失效概率預(yù)測性能將會(huì)趨于簡單隨機(jī)抽樣,過大將會(huì)導(dǎo)致落在概率密度較大的失效區(qū)域的樣本量減少。給定算例下雙峰正態(tài)分布抽樣在預(yù)測失效概率精度和收斂性方面均表現(xiàn)更好。

3) 基于雙峰正態(tài)分布抽樣完成了風(fēng)扇榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命不確定性分析,計(jì)算得到失效概率為0.046 4%。基于全局靈敏度指標(biāo)分析表明拉伸壓強(qiáng)P對榫連接結(jié)構(gòu)微動(dòng)疲勞壽命失效概率影響最為顯著,在設(shè)計(jì)中應(yīng)給予考慮。