四參數(shù)二元Mc Kay型伽馬分布的幾何性質(zhì)

萬文龍,羅潔,許皓

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637009)

1 引言

信息幾何是用微分流形或用黎曼流形來研究概率分布的學(xué)科,該學(xué)科的主要思想是亞馬里(Amari)和永岡(Nagaoka)[1]提出的以費歇爾信息矩陣作為黎曼度量來建立黎曼流形,而概率分布的全體參數(shù)被視為該流形的坐標系統(tǒng)[2]。統(tǒng)計流形是信息幾何的核心內(nèi)容,被證明具有由費歇爾信息矩陣給出的唯一黎曼度量和對偶仿射聯(lián)絡(luò)。

伽馬分布是統(tǒng)計學(xué)的連續(xù)概率函數(shù)[3],是概率統(tǒng)計中非常重要的分布,許多分布都直接或間接地與之相關(guān)。麥凱拉(Mc Kay)和斯科(SC)[4]提出了二元Mc Kay型伽馬分布,本文基于四參數(shù)二元Mc Kay型伽馬分布,在其尺度參數(shù)和形態(tài)參數(shù)的基礎(chǔ)上增添了位置參數(shù)[5－22]。為了更好地研究四參數(shù)二元Mc Kay型伽馬分布的實際應(yīng)用和其他統(tǒng)計性質(zhì),本文嘗試從信息幾何的角度研究其幾何性質(zhì)。

本文計算了四參數(shù)二元Mc Kay型伽馬流形的信息矩陣及其逆矩陣、克里斯托弗符號和黎曼曲率張量,并給出了子流形的黎曼幾何結(jié)構(gòu)等。

2 統(tǒng)計流形

統(tǒng)計流形M＝的α－聯(lián)絡(luò)由下式給出:

其中g(shù)＝＜,＞是以ξ為局部坐標系的費歇爾信息矩陣,并且α－聯(lián)絡(luò)系數(shù)由下式給出:

當(dāng)α＝0時,上式為黎曼聯(lián)絡(luò)系數(shù)。此外,統(tǒng)計流形的黎曼曲率張量由下式給出:

定義2.1 設(shè)(U;xi) 是M的一個局部坐標系,則其曲率張量的分量為:

Ricci曲率張量的分量為:

從而有數(shù)量曲率R為:

以及截面曲率K(u,v)為:

3 四維伽馬流形的幾何結(jié)構(gòu)

若二元變量(X,Y)服從四參數(shù)二元Mckay型伽馬分布,其聯(lián)合密度函數(shù)為:

其中,β≤x＜y,a＞0,p＞2,q＞0,β是位置參數(shù),伽馬函數(shù)為:

關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)分別為:

X與Y的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)為:

相關(guān)系數(shù)ρ隨p,q變化的圖像如圖1所示。

圖1 相關(guān)系數(shù)隨p 和q 的變化圖

定理3.1 統(tǒng)計模型

是一個四維統(tǒng)計流形,稱為四維二元Mc Kay型伽馬流形,其自然坐標系為ξ＝(a,p,q,β)。

定理3.2 在自然坐標系ξ＝(a,p,q,β)下,四維二元Mc Kay型伽馬流形的費歇爾信息矩陣G( ξ )為:

其中ψ(p)＝?！?p)/Γ(p) ,?！?p) 是伽馬函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

證明根據(jù)其似然函數(shù):

則有:

從而有:

證畢。

由上面結(jié)果可知費歇爾信息矩陣的行列式為:

其圖像如圖2所示,可以看到,隨著p和q的增大,極速減小,其極限值為0。

圖2 行列式隨p 和q 的變化圖

通過計算可以得到費歇爾信息矩陣G (ξ)的逆矩陣G－1(ξ) ,其分量如下:

由(1)式,四維二元Mc Kay型伽馬流形的黎曼聯(lián)絡(luò)系數(shù)分別為:

其余未列出的分量為0。

定理3.3 在自然坐標系ξ＝(a,p,q,β)下,流形M的曲率張量的分量由下式給出:

4 Mc Kay型伽馬4－流形的子流形

4.1 子流形M 1 M:a＝1

在(3)式中,取a＝1,則有:

定理4.1在自然坐標系ξ＝(p,q,β)下,統(tǒng)計流形M1的費歇爾信息矩陣[gij]和它的逆矩陣[gij]分別如下:

定理4.2 在自然坐標系ξ＝(p,q,β)下,統(tǒng)計流形M1的黎曼聯(lián)絡(luò)系數(shù)分別為:

其余未列出的分量均為0。

4.2 子流形M 2 M:p ＝3

當(dāng)p＝3時,統(tǒng)計模型

是一個三維流形,其自然坐標系為ξ＝(a,q,β)。

定理4.3 在自然坐標系ξ＝(a,q,β)下,統(tǒng)計流形M2的費歇爾信息矩陣[gij]和它的逆矩陣[gij]分別如下:

定理4.4 在自然坐標系ξ＝(a,q,β)下,統(tǒng)計流形M2的黎曼聯(lián)絡(luò)系數(shù)分別為:

4.3 子流形M 3 M:q＝1

當(dāng)q＝1時,統(tǒng)計模型

是一個三維流形,其自然坐標系為ξ＝(a,p,β)。

定理4.5 在自然坐標系ξ＝(a,p,β)下,M3的費歇爾信息矩陣[gij]和它的逆矩陣[gij]如下:

定理4.6 在自然坐標系ξ＝(a,p,β)下,M3的克里斯托費爾符號如下:

4.4 子流形M 4 M:β＝0

當(dāng)β＝0時,統(tǒng)計模型

是一個三維流形,其自然坐標系為ξ＝(a,p,q)。

定理4.7 在自然坐標系ξ＝(a,p,q)下,統(tǒng)計流形M4的費歇爾信息矩陣[gij]和它的逆矩陣[gij]如下:

定理4.8 在自然坐標系ξ＝(a,p,q)下,統(tǒng)計流形M4的黎曼聯(lián)絡(luò)系數(shù)分別為:

定理4.9 在自然坐標系ξ＝(a,p,q)下,統(tǒng)計流形M4的曲率張量分量為

5 總結(jié)

本文給出了基于信息幾何的四參數(shù)二元Mc Kay型伽馬流形,并計算了相關(guān)幾何結(jié)構(gòu),包括費歇爾信息度量、黎曼聯(lián)絡(luò)和曲率張量等。此外,本文還給出了四參數(shù)二元Mc Kay型伽馬流形的四個子流形的相關(guān)幾何結(jié)構(gòu)。二元伽馬分布在地震預(yù)測和水文學(xué)上有廣泛的應(yīng)用,通過對其幾何結(jié)構(gòu)的研究,可以在相關(guān)概率預(yù)測模型上做優(yōu)化與改進。