基于分類討論的高中數(shù)學(xué)解題方法探究

葉碧桃

(福建省霞浦第七中學(xué),福建 寧德 355100)

高中生在解答數(shù)學(xué)問題時(shí),常常會(huì)遇到一些特殊的情況,解答到某一步之后,問題突然變得異常復(fù)雜,無法按照統(tǒng)一的方法和標(biāo)準(zhǔn)繼續(xù)進(jìn)行,這主要是因?yàn)轭}目中包含多種情況.鑒于此,我們考慮融入分類討論思想,按照一定的標(biāo)準(zhǔn)和要求,將問題進(jìn)行拆分,使其成為若干個(gè)小問題,并逐一進(jìn)行解答.文章將結(jié)合例題詳細(xì)闡述分類討論思想在高中數(shù)學(xué)例題中的具體應(yīng)用.

1 分類討論解決集合問題

集合是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要組成部分,也是學(xué)生最早接觸到的知識(shí)點(diǎn).在日?？荚囍?集合問題也屬于?？碱}目類型,占據(jù)著很大的分值比例.同時(shí),在部分集合題目中,由于存在參數(shù),學(xué)生在解答的時(shí)候需要進(jìn)行準(zhǔn)確分類處理,由此逐一討論和解答,最終得出正確的答案.

例1設(shè)集合A={x|-2≤x≤a}B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且C?B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍?

解析在解答本題目時(shí),因?yàn)榧螦和集合C中的范圍均和實(shí)數(shù)a的正負(fù)數(shù)存在密切的關(guān)系.因此,在解題時(shí)不能一概而論,必須要借助分類討論的思想,對(duì)實(shí)數(shù)a展開討論:

因?yàn)锳={x|-2≤x≤a},所以B={y|y=2x+3,x∈A}={y|-1≤y≤2a+3]

①當(dāng)-2≤a≤0時(shí),集合C={z|z=x2x∈A}={z|a2≤z≤4}

②當(dāng)0

③當(dāng)a>2時(shí),集合C={z|z=x2,x∈A}={z|0≤z≤a2}

因?yàn)镃?B,因此2a+3≥4,解不等式得出-1≤a≤3,結(jié)合條件a>2,即可得出2

2 分類討論解答函數(shù)問題

函數(shù)問題歷來是高中數(shù)學(xué)的重中之重,無論是選擇題、填空題,還是壓軸題,都能看到函數(shù)的影子.鑒于函數(shù)知識(shí)的繁雜性和抽象性,學(xué)生在解答問題時(shí),唯有借助分類討論思想,才能化繁為簡(jiǎn),形成明確的解題思路,最終完成數(shù)學(xué)問題的順利解答.

例2已知函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1),b≠0.,求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)?

3 分類討論解答不等式問題

不等式求解是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)之一,在考試中尤為常見.通常,在解答這一類型問題時(shí),必須要融入分類討論的思想,對(duì)其不同的情況展開討論,才能真正提升學(xué)生的解題效率.

例3當(dāng)a取什么值的時(shí)候,不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2>0的解是一切實(shí)數(shù)?

解析在本題目中,由于無法確定是一元一次不等式,還是一元二次不等式,在開展解答時(shí),唯有融入分類討論的思想,對(duì)不同的情況展開討論:

①當(dāng)a2-3a+2=0,通過解方程即可得出a=1,或者a=2.之后,再將其分別代入方程中,當(dāng)a=1時(shí),原不等式為2>0恒成立,因此a=1符合原不等式;當(dāng)a=2時(shí),代入不等式中,變成x+2>0,解不等式得出x>-2不符合題意.

4 分類討論解決數(shù)列問題

高中數(shù)學(xué)涉及的數(shù)列存在一定的規(guī)律性,即等差與等比數(shù)列.題目難度系數(shù)雖然比較小,但在考查時(shí),由于數(shù)列中常常含有一定的未知量、變量,稍有疏忽就會(huì)出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象.鑒于此,可融入分類討論思想,全面提升學(xué)生的解題效率.

假如Sn=a1+a2+……+an.如果Sn=2015,求n的值是多少?

解析這一題目比較抽象,因?yàn)閍的值無法確定,致使數(shù)列的周期也有所不同.此時(shí),在解題時(shí)唯有結(jié)合前n項(xiàng)和展開分類討論,才能正確解答這一問題:根據(jù)已知條件得出a2=-a1+3=-a+3.

①當(dāng)0

②當(dāng)1≤a≤2時(shí),因?yàn)?≤-a+3≤2,則有a3=-a2+3=a∈[1,2],即an+2=an,又因?yàn)閍1+a2=a3,則Sn=2 015=671×3+2,則a1=a=2,即:n=671×2+1=1 343.綜上分析得n的值為1 343.

5 分類討論解答幾何問題

幾何問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,也是考查的重點(diǎn).在解答這一問題時(shí),受到不確定性影響,導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)常常存在漏解的現(xiàn)象.鑒于此,必須要融入分類討論思想,優(yōu)化學(xué)生解題.

例5如圖1所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn),并且∠AOB>∠AOC,求證:OB

圖1 例5題圖

解析在證明這一問題時(shí),可結(jié)合:三角形中大角對(duì)大邊,小角對(duì)小邊進(jìn)行證明.

又因?yàn)椤螦OB>∠AOC,即α1>α2,且α1+α2>180°

因此,90°<α1<180°,0°<α2<180°

因?yàn)樵谶@一區(qū)間內(nèi),sinα2是非單調(diào)函數(shù),必須要融入分類討論的思想進(jìn)行解答:

①當(dāng)α2≥90°時(shí),因?yàn)棣?≥90°,且α1>α2,sinα1

所以sinβ

②當(dāng)α2<90°時(shí),因?yàn)棣?>90°,則有180°-α1<90°,又因?yàn)棣?+α2>180°

因此α2>180°-α1,則sinα1=sin180°-α1

所以sinβ

綜上討論,根據(jù)題意得出:∠ABC=∠ACB,∠OBC>∠OCB

所以O(shè)B

綜上所述,分類討論思想不僅僅是一種數(shù)學(xué)思想,還是解答數(shù)學(xué)問題的重要工具,也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵.鑒于此,在日常高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,必須堅(jiān)持開放性的教學(xué)觀念,鼓勵(lì)學(xué)生在典型的數(shù)學(xué)題目中,總結(jié)分類討論思想的分類標(biāo)準(zhǔn)等,以便于學(xué)生將其靈活應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題中,真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.