應(yīng)用GeoGebra軟件分析帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)

徐 雪

(貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550025)

隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂與高考評(píng)價(jià)體系的實(shí)施,高考命題的立意逐步發(fā)生改變,從知識(shí)引領(lǐng)到能力引領(lǐng),從三維目標(biāo)到核心素養(yǎng),從物理知識(shí)到物理觀念.在2022年高考全國甲卷理綜第18題中設(shè)計(jì)了帶電粒子從靜止開始在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng),本文將借助該道例題的物理模型,應(yīng)用GeoGebra軟件對(duì)帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)展開研究.

1 GeoGebra軟件介紹

GeoGebra軟件是結(jié)合幾何(geometry)和微積分(algebra)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大大學(xué)的數(shù)學(xué)教授 Markus Hohenwarter 開發(fā),逐步從歐洲推廣到各國,從數(shù)學(xué)應(yīng)用到物理[1].GeoGebra功能齊全并易于操作,集幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)、微積分于一體,軟件界面有繪圖區(qū)、指令區(qū)、代數(shù)區(qū)、工具欄、選項(xiàng)欄,如圖1所示.繪圖區(qū)制作圖形,指令區(qū)輸入代數(shù)表達(dá)式,代數(shù)區(qū)顯示繪制圖形的代數(shù)特征以及指令區(qū)輸入的代數(shù),工具欄提供作圖工具.通過基本圖形繪制出各種復(fù)雜模型,結(jié)合函數(shù)及數(shù)學(xué)方程可建立各種物理模型.筆者將借助GeoGebra軟件研究帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng),彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)技術(shù)的不足,提高模型建構(gòu)能力;彌補(bǔ)空間想象力的不足,提高理解能力;彌補(bǔ)抽象思維能力的不足,提高分析推理能力.

圖1 GeoGebra的操作界面

2 GeoGebra軟件應(yīng)用

2.1 試題

【例1】(2022年高考全國甲卷理綜第18題)空間存在著勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場,磁場的方向垂直于紙面(xOy平面)向里,電場的方向沿y軸正方向.一帶正電的粒子在電場和磁場的作用下,從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止開始運(yùn)動(dòng).下列4幅圖中,可能正確描述該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的是( )

2.2 課件制作

2.2.1 模型制作原理

首先,分析帶電粒子在復(fù)合場中的受力情況,不計(jì)重力的情況下,帶電粒子在復(fù)合場中會(huì)同時(shí)受到洛倫茲力和電場力的作用.其次,結(jié)合動(dòng)力學(xué)方程即牛頓第二定律微分方程,將粒子的受力情況與運(yùn)動(dòng)情況建立聯(lián)系.最后,建立微分方程組,求得帶電粒子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,也就建立了該模型最核心的數(shù)學(xué)方程式[2].

設(shè)一帶電粒子質(zhì)量為m,帶電荷量為q,在正交勻強(qiáng)電磁場中xOy平面上運(yùn)動(dòng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,其方向垂直平面向外,電場強(qiáng)度為E,其方向沿y軸正方向.帶電粒子的初始位置在坐標(biāo)原點(diǎn),用v0x和v0y分別表示帶電粒子的初速度在x軸和y軸方向上的分量.求出帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程.

解析：帶電粒子受到的電場力為

F電=qE

受到的洛倫茲力為

F洛=qv×B

因此帶電粒子在電磁場中的受力為

F=qE+qv×B=q(E+v×B)

根據(jù)牛頓第二定律

可得微分方程

當(dāng)t=0時(shí)將初始條件

代入方程,微分方程組可解得

2.2.2 課件制作步驟

(1)設(shè)置參量數(shù)值.在指令欄中輸入時(shí)間、質(zhì)量、電荷量、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電場強(qiáng)度、初速度分量等各物理量的具體數(shù)值,并確定各物理量的取值范圍.

(2)輸入軌跡函數(shù).確定帶電粒子任意時(shí)刻的位置P,在指令欄中輸入vx、vy隨時(shí)間變化的速度方程,再輸入x、y隨時(shí)間變化的位置方程.此處需要注意運(yùn)用If條件語句,以vx為例,輸入:

cos(qBt/m)+v0ysin(qBt/m))

其含義為:如果B=0,則

vx(t)=v0x

否則

同理輸入其余方程確定粒子運(yùn)動(dòng)的速度以及P的位置坐標(biāo).

(4)確定其余點(diǎn),畫速度方向.以P點(diǎn)為參考點(diǎn),找P1點(diǎn)和P2點(diǎn)坐標(biāo)位置與P點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,P1為[x(P)+vx(t),y(P)],P2為[x(P),y(P)+vy(t)],利用向量工具連接P與P1、P2得到x軸、y軸的速度分量.再由P1、P2坐標(biāo)確定A坐標(biāo)位置為(P1,P2),用向量工具連接P、A即為粒子合速度方向.

(6)改變參量,開啟動(dòng)畫.開啟對(duì)P點(diǎn)的跟蹤,便可顯示帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的軌跡,最后效果圖如圖2所示.

圖2 帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)軌跡

2.3 帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的可視化

2.3.1 單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的可視化

以2022年高考全國甲卷理綜第18題為例進(jìn)行操作演示.磁場方向垂直紙面向里,與所預(yù)設(shè)條件相反,故B為負(fù)值;電場方向沿y軸正方向,與預(yù)設(shè)條件相同,故E為正值.帶正電的粒子由靜止開始運(yùn)動(dòng),電荷量q為正值,初始速度為零,即沿坐標(biāo)軸上的速度分量都為零.隨機(jī)改變B、m、E、q的大小,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡都是一條擺線,如圖3所示.通過控制變量,還可直觀感受到磁場變大時(shí),擺線幅度減小;電場變大時(shí),擺線幅度增大.當(dāng)改變電磁場的方向時(shí),擺線所在的坐標(biāo)象限會(huì)相應(yīng)改變.一題變多題,一種情景變多種情景,不僅加深學(xué)生的理解和認(rèn)知,而且學(xué)生從“聽見”到“看見”的過程中能在頭腦中主動(dòng)建構(gòu)物理模型,提高模型建構(gòu)能力.

圖3 改變參量前后的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

2.3.2 多個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的可視化

假設(shè)磁場方向垂直紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=1 T,電場沿y軸正方向,電場強(qiáng)度的大小E=2 N/C,粒子質(zhì)量m=1 kg,電荷量q=1 C.當(dāng)初速度不為零時(shí),粒子的軌跡又將如何變化?

情況一:粒子沿x軸方向以初速度v0x射出,改變v0x的大小,觀察粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的變化.

(1)當(dāng)粒子以一定初速度沿x軸正半軸射出,速度v0x的大小依次設(shè)為0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.5、4等數(shù)值,其所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡順序依次為從上到下的短擺線,當(dāng)v0x=4時(shí),其所對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)軌跡為最下面一條擺線,如圖4所示.

圖4 粒子沿x軸正半軸射出的運(yùn)動(dòng)軌跡

(2)若再繼續(xù)增大v0x的值分別為5、6、7、8、9、10,其所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡順序依次為由里到外的長擺線,如圖5所示.

圖5 粒子速度繼續(xù)增大的運(yùn)動(dòng)軌跡

(3)若當(dāng)粒子以一定初速度沿x軸負(fù)半軸射出,v0x的數(shù)值為別為1、2、3、4、5,則所對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡順序依次是由下到上的長擺線,如圖6所示.

圖6 粒子沿x軸負(fù)半軸射出的運(yùn)動(dòng)軌跡

情況二：粒子沿y軸方向以初速度為v0y射出,改變v0y的大小,觀察粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的變化.

(1)當(dāng)粒子以一定初速度沿y軸正半軸射出,速度v0y的大小依次設(shè)為2、3、4、5、6等數(shù)值,其所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡順序依次為由里到外的長擺線,如圖7所示.

圖7 粒子沿y軸正半軸射出的運(yùn)動(dòng)軌跡

(2)當(dāng)粒子以一定初速度沿y軸負(fù)半軸射出,速度v0y的大小依次設(shè)為2、3、4、5、6等數(shù)值,其所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡順序依次為由里到外的長擺線,如圖8所示.

圖8 粒子沿y軸負(fù)半軸射出的運(yùn)動(dòng)軌跡

由粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)方程,模擬出任意情況下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡.在教學(xué)中,讓學(xué)生既具有物理觀念、科學(xué)思維,也具有發(fā)現(xiàn)物理美的眼睛.正如莊子所言:判天地之美,析萬物之理.“理”是物理學(xué)中的概念、定律、公式,是自然界遵從統(tǒng)一的物理規(guī)律方程;“美”是物理世界中的色彩、線條、圖畫,是自然界所呈現(xiàn)的和諧統(tǒng)一的圖景.教師要善于引導(dǎo)學(xué)生用美的眼睛去欣賞物理學(xué),揭示物理規(guī)律的統(tǒng)一美、物理公式的簡潔美、物理圖像的和諧美.

2.4 定性分析帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)

2.4.1 試題情境

【例2】(1988年高考全國卷物理試題)設(shè)空間存在向下的勻強(qiáng)電場和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,如圖9所示.已知一離子在電場力和洛倫茲力的作用下,從靜止開始自A點(diǎn)沿曲線ACB運(yùn)動(dòng),到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為零.C點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn).

圖9 例2題圖

【例3】(2022年高考廣東卷物理試題)如圖10所示,磁控管內(nèi)局部區(qū)域分布有水平向右的勻強(qiáng)電場和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場.電子從M點(diǎn)由靜止釋放,沿圖中所示軌跡經(jīng)過N、P兩點(diǎn).

圖10 例3題圖

2.4.2 定性分析

(1)運(yùn)動(dòng)軌跡分析

在例2和例3兩題中,只需要定性描述帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng).依據(jù)兩題所創(chuàng)設(shè)的物理情境,設(shè)計(jì)相應(yīng)模擬動(dòng)畫.在原有設(shè)計(jì)程序基礎(chǔ)上,調(diào)節(jié)滑動(dòng)條,使動(dòng)畫中電場、磁場方向與問題情境保持一致,確定粒子電性以及速度,模擬帶電粒子運(yùn)動(dòng)路徑.在兩題情境中,分別以A、M為運(yùn)動(dòng)起點(diǎn),且由靜止釋放.例2和例3的運(yùn)動(dòng)軌跡分別如圖11和圖12所示,模擬軌跡與題圖中的軌跡完全符合.從兩題中可看出,粒子運(yùn)動(dòng)情境各有不同,但運(yùn)動(dòng)規(guī)律始終如一.從局部區(qū)域的運(yùn)動(dòng)到整體周期性運(yùn)動(dòng),學(xué)生對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡分析從靜態(tài)局部分析走向動(dòng)態(tài)全過程分析,對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)會(huì)更深刻,提高理解能力.

圖11 模擬例2運(yùn)動(dòng)軌跡

圖12 模擬例3運(yùn)動(dòng)軌跡

(2)運(yùn)動(dòng)速度分析

基于已有設(shè)計(jì),開啟對(duì)合速度v的跟蹤,可直觀演示粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度變化.如圖13和圖14所示.用帶箭頭的線段表示粒子運(yùn)動(dòng)的速度,箭頭的方向表示速度的方向,線段的長短表示速度的大小.可明顯看出,例2中的離子從A點(diǎn)到C點(diǎn)速度逐漸增大,C點(diǎn)到B點(diǎn)速度不斷減小,因此C點(diǎn)是速度最大的點(diǎn);例3中的電子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn),速度隨運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生周期性變化,M點(diǎn)的速度與P點(diǎn)的速度相同且為零.學(xué)生從多角度、多維度定性分析粒子運(yùn)動(dòng),既對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)更全面,也增加了對(duì)抽象物理量變化過程的感性認(rèn)識(shí).定性分析是定量研究的基礎(chǔ),下面筆者將運(yùn)用GeoGebra軟件定量研究帶電粒子的運(yùn)動(dòng).

圖13 例2中粒子速度變化

圖14 例3中粒子速度變化

2.5 定量研究帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)

2.5.1 試題

【例4】(2013年高考福建卷)空間存在著范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場,磁場的方向垂直于紙面(xOy平面)向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,電場的方向沿y軸正方向,電場強(qiáng)度為E.一帶正電粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q,不計(jì)重力.

(1)粒子在電場和磁場的作用下從坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng),求釋放后的粒子在運(yùn)動(dòng)過程中能達(dá)到的最大速度.

(2)粒子在電場和磁場的作用下從坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)以初速度vy沿y軸正向發(fā)射,求出發(fā)射后的粒子在運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度.

2.5.2 配速法

配速法是指給帶電粒子配上一對(duì)等大反向的速度,其中一個(gè)速度所產(chǎn)生的洛倫茲力與電場力相抵消,另一個(gè)速度產(chǎn)生的洛倫茲力使粒子做圓周運(yùn)動(dòng).配速法的目的是產(chǎn)生抵消電場力的洛倫茲力,將“多力”問題轉(zhuǎn)化為“多速度”問題,因分運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性,在求解速度問題上會(huì)更容易.

(1)粒子靜止在坐標(biāo)原點(diǎn),給粒子配上一對(duì)等大反向的速度v1、v2,v1產(chǎn)生的洛倫茲力qv1B與電場力Eq相抵消,v2產(chǎn)生的洛倫茲力為qv2B,如圖15所示.此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)是以速度v2繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),同時(shí)又以速度v1做勻速直線運(yùn)動(dòng),粒子合速度v合為v1、v2的矢量合成速度,如圖16所示[3].

圖15 例4(1)問配速法

圖16 例4(1)問運(yùn)動(dòng)合成分析

(2)粒子在坐標(biāo)原點(diǎn)以速度vy沿y軸射出,同樣地給粒子配上一對(duì)等大反向的速度v1、v2,v1產(chǎn)生的洛倫茲力qv1B與電場力Eq相抵消,此時(shí)v2與vy的合速度為v,v產(chǎn)生的洛倫茲力為qvB,如圖17所示.因此,帶電粒子以速度v繞O′做勻速圓周運(yùn)動(dòng),同時(shí)又以速度v1做勻速直線運(yùn)動(dòng),粒子的合速度v合為v、v1的矢量合成速度,如圖18所示.

圖17 例4(2)問配速法

圖18 例4(2)問運(yùn)動(dòng)合成分析

2.5.3 定量研究

(1)通過GeoGebra課件演示帶電粒子運(yùn)動(dòng)過程中合速度的方向、大小的改變,讓學(xué)生感受運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的粒子速度的變化,看出粒子在x坐標(biāo)軸上的速度為零,如圖19所示.緊接著進(jìn)行定量研究,如圖20所示,由于v1與v2的大小不變且大小相等,當(dāng)粒子達(dá)到擺線最高點(diǎn)時(shí),合成速度達(dá)到最大值,此時(shí)v合=v1+v2,只需求出v1就能算出v合的最大值.先定性后定量,利于學(xué)生分析速度的變化,進(jìn)一步推理出最大速度,提高分析推理能力.

圖19 感受合速度變化特點(diǎn)

圖20 分析最大速度

(2)同樣地先通過動(dòng)畫演示,讓學(xué)生感受粒子以初速度vy沿y軸正向發(fā)射后的速度變化特點(diǎn),如圖21所示.隨后定量研究運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的粒子速度達(dá)到的最大值,分速度v的方向改變但大小保持不變,分速度v1的方向、大小均保持不變.當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)到長擺線最高點(diǎn)時(shí),分速度的矢量合達(dá)到最大值,vmax=v1+v,如圖22所示.

圖21 感受合速度變化特點(diǎn)

圖22 分析最大速度

v2與vy合成的合速度

此時(shí)粒子的最大速度為

3 總結(jié)

通過應(yīng)用GeoGebra軟件研究帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng),發(fā)現(xiàn)該軟件能將復(fù)雜的粒子運(yùn)動(dòng)過程可視化,對(duì)物理教學(xué)具有重要作用和價(jià)值.第一,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生建模能力可謂是錦上添花,更有助于理解和分析抽象的物理過程;第二,拓寬學(xué)生思維,由一問變成多問,由一解變成多解,由一題變成多題,同時(shí)啟發(fā)學(xué)生“多題歸一”;第三,發(fā)揮物理學(xué)科育人功能,開展美育教育,感受物理美,欣賞物理美,創(chuàng)造物理美;第四,有利于試題改編與校對(duì),確保學(xué)校出題的科學(xué)性和有效性,提高教師教學(xué)水平.一言以蔽之,GeoGebra軟件讓物理學(xué)可視化,也讓物理學(xué)的美可視化.但當(dāng)我們?cè)谙硎苡?jì)算機(jī)帶給教學(xué)益處的同時(shí),也不應(yīng)忘記教學(xué)初心,計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)卻永遠(yuǎn)是輔助而不能成為“代替”.