利用通用F-展開法求解ZK-BBM方程

陳 南

(廈門工學(xué)院,福建 廈門 361021)

0 引言

F′(ξ)=k+F2(ξ);

有橢圓方程:

F′2(ξ)=PF4(ξ)+QF2(ξ)+R.

在此基礎(chǔ)上,把F-展開式F=F(ξ)所滿足的方程推廣到一般橢圓方程:

φ′2=c0+c1φ+c2φ2+c3φ3+c4φ4.

(1)

其中,ci(i=0,1,2,3,4)為參數(shù).

通過研究一般橢圓方程(1)由系數(shù)之間的聯(lián)系所求出的解,并借助這些解把F-展開法推廣到一般橢圓方程的情形,稱之為通用F-展開法[4].

本文對ZK-BBM方程進行研究,ZK-BBM方程的表達(dá)式如下:

ut+cux+a(u2)x+b(uxt+uyy)x=0.

(2)

目前,學(xué)者們對方程(2)進行了研究,分別運用F-展開法[5]、含負(fù)次冪項的F-展開法[5]、同倫攝動法[6]、G′/G展開法[7]、廣義tanh函數(shù)法[8]、Sine-Cosine函數(shù)法[9]等方法,取得了不同類型的精確解.趙娟等[10]對ZK-BBM方程進行了擾動分析.本文選擇擴展的橢圓方程方法(通用F-展開法)對ZK-BBM方程進行求解.

1 應(yīng)用擴展的橢圓方程方法

對ZK-BBM方程作行波變換,u(x,y,t)=u(ξ),ξ=x+y+vt,則方程(2)變?yōu)?/p>

vu′+cu′+2auu′+b(v+1)u?=0,

對上式積分得到

(v+c)u+au2+b(v+1)u″+k=0,

(3)

其中,k為積分常數(shù).

假設(shè)方程(3)具有如下形式的解:

(4)

其中,n,ai(i=0,1,…,n)為待定常數(shù),且φ(ξ)滿足一般橢圓方程(1).

利用齊次平衡原則,可得n=2.故式(3)的解為

u(ξ)=a0+a1φ(ξ)+a2φ2(ξ),

(5)

其中,φ=φ(ξ)滿足式(1),則有

(6)

利用式(1)(5)(6)可得

u′=a1φ′+2a2φφ′.

(7)

(8)

將式(5)(8)代入式(3),并令φi(i=0,1,2,3,4)的系數(shù)為零,得到關(guān)于a0,a1,a2,k,a,b,v,c的方程組:

(9)

φ3:2aa1a2+b(v+1)(2a1c4+5a2c3)=0,

(10)

(11)

φ:(v+c)a1+2aa0a1+b(v+1)(a1c2+3a2c1)=0,

(12)

(13)

解該方程組,得到

(14)

將式(14)代入(12)(13)可得c0,c1所滿足的關(guān)系式.

2 ZK-BBM方程的精確解

(i)在式(1)中取c3=c0=c1=0,此時求解得到

(15)

(16)

(17)

將式(15)(16)(17)代入(5),得到方程(2)的具有扭狀孤子解、三角函數(shù)和有理函數(shù)解:

(18)

(19)

(20)

將式(18)(19)代入(5),得到方程(2)的具有扭狀孤子解、三角函數(shù)解:

(iii)在式(1)中取c3=c1=0,求解得到

(21)

(22)

(23)

在式(21)(22)(23)中,cn、sn、dn為Jacobi橢圓函數(shù),m(0

將式(21)(22)(23)代入(5),得到方程(2)具有三種Jacobi橢圓函數(shù)解:

下面根據(jù)文獻(xiàn)[4],運用Maple軟件獲得一般橢圓方程(1)在情況(iv)的四組新解.

(24)

(25)

(26)

(27)

將式(24)(25)(26)(27)代入(5),得到方程(2)的精確解:

3 結(jié)語

本文利用通用F-展開法對ZK-BBM方程進行求解,得到了ZK-BBM方程組的12組不同類型的解,包括孤子解、三角函數(shù)解、有理解和Jacobi橢圓函數(shù)解,進一步豐富了ZK-BBM方程的解系.后續(xù)工作可推廣至其他方程.