磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)鐵磁梁固有振動(dòng)與內(nèi)共振的理論及數(shù)值模擬研究

崔 雪, 孔祥清, 胡宇達(dá)

(1.遼寧工業(yè)大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,遼寧 錦州 121000; 2.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

軸向運(yùn)動(dòng)體系在工程實(shí)際中普遍存在,例如高速軸向運(yùn)動(dòng)的磁懸浮列車(chē)、空中纜車(chē)索道和電梯的牽引繩和動(dòng)力傳輸帶等等。軸向運(yùn)動(dòng)梁作為一種常見(jiàn)的結(jié)構(gòu),其橫向振動(dòng)和穩(wěn)定性的研究在工程中有著重要的研究?jī)r(jià)值。Mote等[1-2]是最早研究軸向運(yùn)動(dòng)體系振動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題的國(guó)外學(xué)者。對(duì)于軸向運(yùn)動(dòng)梁,彭麗等[3-4]對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性強(qiáng)迫振動(dòng)、非線性動(dòng)力學(xué)及穩(wěn)定性等做了大量研究工作。丁虎等[5]總結(jié)了軸向運(yùn)動(dòng)梁做自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)和參激振動(dòng)時(shí)兩組橫向模型的解析解研究進(jìn)展。文獻(xiàn)[6]研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向耦合振動(dòng)的非線性問(wèn)題。在磁彈性問(wèn)題上,鄭曉靜等[7-8]對(duì)鐵磁材料在電磁場(chǎng)作用下的彎曲、失穩(wěn)等問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究,給出了基本的理論框架和計(jì)算方法。周紀(jì)卿[9]給出了無(wú)軸向運(yùn)動(dòng)的梁在磁場(chǎng)中的振動(dòng)方程,并進(jìn)一步研究了梁的穩(wěn)定性問(wèn)題。胡宇達(dá)等[10-12]研究了磁場(chǎng)中導(dǎo)電梁和導(dǎo)電薄板的非線性共振、參數(shù)振動(dòng)及動(dòng)力穩(wěn)定性等問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]通過(guò)復(fù)模態(tài)方法求解了3種模型的控制方程,給出了其相應(yīng)的固有頻率及模態(tài)函數(shù)。Li等[14]研究了內(nèi)共振條件下四邊簡(jiǎn)支邊界條件下的矩形板全局分岔和多脈沖動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。胡海良等[15]利用改進(jìn)的攝動(dòng)法研究了含有立方項(xiàng)和平方項(xiàng)的非線性系統(tǒng)的1 ∶3內(nèi)共振問(wèn)題。黃玲璐等[16]用直接多尺度法研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁的內(nèi)共振問(wèn)題。

目前,針對(duì)磁場(chǎng)環(huán)境下軸向運(yùn)動(dòng)體系的研究還較少,本文針對(duì)電磁力激發(fā)下鐵磁梁的雙向耦合振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行研究,并考慮其軸向運(yùn)動(dòng)條件,解出梁雙向固有振動(dòng)的固有頻率表達(dá)式。并進(jìn)一步研究系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振時(shí)梁的振動(dòng)特性。最后通過(guò)有限元方法得到了和理論解比較吻合的數(shù)值解。本文研究結(jié)果可以為后續(xù)研究梁的受迫振動(dòng)提供理論基礎(chǔ)。

1 磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)鐵磁梁的非線性振動(dòng)方程

研究圖1所示在恒定橫向磁場(chǎng)B0(0,By,0)中做軸向運(yùn)動(dòng)的鐵磁梁,設(shè)梁的彈性模量、密度和電導(dǎo)率分別為E,ρ和σ,軸向拉力為T(mén)0x,梁橫截面為矩形,高為h,寬度為b,沿著x方向的軸向運(yùn)動(dòng)速度為c。

圖1 軸向運(yùn)動(dòng)鐵磁梁模型Fig.1 The model of ferromagnetic beam model with axially moving

1.1 洛倫茲力

當(dāng)鐵磁梁在磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)時(shí),由電磁場(chǎng)理論可知,由于振動(dòng)時(shí)切割磁感線使梁內(nèi)產(chǎn)生感應(yīng)電流,其電流密度為

(1)

由式(1)可得洛倫茲力矢量表達(dá)式為

(2)

從而可以得到磁場(chǎng)中鐵磁梁所受單位長(zhǎng)度橫向電磁力為

(3)

1.2 磁體力偶

因?yàn)榱旱淖冃螌?dǎo)致梁內(nèi)磁場(chǎng)發(fā)生變化,設(shè)梁內(nèi)總磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B=B0+θ(t)B1

(4)

式中:B為梁變形引起的攝動(dòng)磁場(chǎng);θ(t)為與時(shí)間有關(guān)的小的攝動(dòng)參數(shù)。在梁的正弦變形形式下[17]有

B=χmByΔ-1[coshkycoskx·i+sinhkysinkx·j]

(5)

鐵磁材料梁的磁化強(qiáng)度為

(6)

式中:μ0=4π×10-7為真空磁導(dǎo)率,H/m。

單位長(zhǎng)度梁上作用的磁體力偶為

(7)

又在小變形下,設(shè)單位長(zhǎng)度梁上受到的體積力偶與梁的撓曲線斜率成正比,則有

(8)

式中,k0為磁扭轉(zhuǎn)剛度。由式(7)和式(8)可得

(9)

忽略x方向軸向振動(dòng),當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)梁發(fā)生橫向振動(dòng)時(shí),其動(dòng)能為

(10)

根據(jù)彈性變形理論,可以得到梁的總勢(shì)能表達(dá)式

U=U1+U2+U3

(11)

其中

式中:U1為梁的拉力引起的應(yīng)變勢(shì)能;U2為梁的中面應(yīng)變勢(shì)能;U3彎曲應(yīng)變勢(shì)能。

1.3 磁彈性雙向振動(dòng)方程

根據(jù)哈密頓變分原理得到在橫向磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)鐵磁梁的雙向磁彈性自由振動(dòng)方程為

(12)

(13)

式中,Iz和Iy分別為梁對(duì)軸z和y軸的慣性矩。

2 雙向耦合固有振動(dòng)問(wèn)題理論求解

2.1 伽遼金法分離時(shí)間和空間變量

梁的邊界條件為

(14)

(15)

設(shè)滿足邊界條件的位移解為

(16)

(17)

將式(16)、式(17)代入式(12)、式(13),可得到分離時(shí)間和空間變量的梁的磁彈性雙向耦合振動(dòng)方程

(18)

(19)

式中:

2.2 求解耦合方程固有頻率

利用多尺度法近似求解弱非線性方程式(18)、式(19)時(shí),在方程組等號(hào)右端引入小參數(shù)ε,并改成如下形式

(20)

(21)

設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)按不同時(shí)間尺度T0=t和T1=εt變化。將式(20)、式(21)的解寫(xiě)為

q1=q11(T0,T1)+εq12(T0,T1)

(22)

q2=q21(T0,T1)+εq22(T0,T1)

(23)

將式(22)、式(23)代入(20)、式(21),令ε的同次冪系數(shù)相等,得到一次近似方程

(24)

(25)

二次近似方程

(26)

(27)

設(shè)式(26)、式(27)的復(fù)數(shù)形式的解為

(28)

(29)

將式(28)、式(29)代入式(26)、式(27)得到

(30)

(31)

式中,cc為等式右側(cè)各項(xiàng)的共軛。

消除式(30)、式(31)長(zhǎng)期項(xiàng)的條件是

(32)

(33)

將復(fù)函數(shù)A1,A2對(duì)t的導(dǎo)數(shù)寫(xiě)為

(34)

(35)

式中:D0A1=0;D0A2=0;D1A1和D1A2由式(32)、式(33)確定。

聯(lián)立式(32)～式(35),得到

(36)

(37)

設(shè)復(fù)函數(shù)Ar寫(xiě)成如下指數(shù)形式

(38)

式中,ar(T1),βr(T1)均為T(mén)1的實(shí)函數(shù)。

將式(38)代入式(36)、式(37),分離實(shí)部和虛部得到

(39)

(40)

(41)

(42)

積分式(39)和(40)得到

a1=a01

(43)

(44)

式中,積分常數(shù)a01和a02取決于初始條件。

所以得到系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率為

y方向

(45)

z方向

(46)

2.3 內(nèi)共振情況

觀察式(32)、式(33)可知,當(dāng)派生系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率滿足1∶1時(shí),系統(tǒng)將發(fā)生內(nèi)共振。

設(shè)派生系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率滿足

ω10=ω20+ελ

(47)

式中,λ為引入的頻率調(diào)諧參數(shù)。

考察式(30)、式(31)發(fā)現(xiàn),除了正比于eiω10T0和eiω20T0的項(xiàng)外,式中正比于ei(ω10-2ω20)T0和ei(2ω10-ω20)T0項(xiàng)也會(huì)產(chǎn)生長(zhǎng)期項(xiàng)。

這時(shí)消除式(30)、式(31)長(zhǎng)期項(xiàng)的條件是

(48)

(49)

將式(38)代入式(48)、式(49),將實(shí)部和虛部分離得到關(guān)于a1,a2,β1和β2的常微分方程組

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

3 算例分析

3.1 非內(nèi)共振

對(duì)橫向磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)鐵磁材料梁的固有振動(dòng)特性進(jìn)行分析。梁的物理參數(shù)如表1所示。梁材料選擇純鐵,梁橫截面面積為A=b×h=0.02 m×0.03 m,長(zhǎng)度為l=1 m。

表1 純鐵的物理參數(shù)

圖2和圖3分別給出了梁在y方向和z方向振動(dòng)的固有頻率ω1和ω2隨時(shí)間的變化曲線。在振動(dòng)的初始階段,固有頻率ω1和ω2隨時(shí)間減小,最終趨于一個(gè)常值。對(duì)比圖2(a)和圖3(a),圖2(a)中3條曲線沒(méi)有重合,是由于式(45)中存在磁扭轉(zhuǎn)剛度k0。由此可知當(dāng)時(shí)間足夠大時(shí),固有頻率ω1與磁場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān),而ω2與磁場(chǎng)強(qiáng)度無(wú)關(guān)。由圖2(b)、圖2(c)和圖3(b)、圖3(c)相比較可以看出:當(dāng)時(shí)間足夠大時(shí),初始振幅a01不同,對(duì)應(yīng)的固有頻率ω1和ω2也不同;初始振幅a02不會(huì)影響固有頻率ω1和ω2。

圖2 ω1隨時(shí)間變化規(guī)律Fig.2 Variation of ω1 with time

圖3 ω2隨時(shí)間變化規(guī)律Fig.3 Variation of ω2 with time

圖4和圖5分別給出了磁感應(yīng)強(qiáng)度和軸向速度對(duì)固有頻率ω1的影響曲線圖。圖6和圖7分別給出了磁感應(yīng)強(qiáng)度和軸向速度對(duì)固有頻率ω2的影響曲線圖。從圖中可以看出固有頻率ω1和ω2都隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度和軸向速度的增大而減小。圖4(c)中當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到某一值后3條曲線重合,是因?yàn)楫?dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度較小時(shí),初始振幅a02對(duì)ω1有較大影響,而當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大于某一個(gè)數(shù)值時(shí),初始振幅a02對(duì)ω1基本沒(méi)有影響。圖5(a)和圖7(a)中曲線較密集,說(shuō)明磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)ω1和ω2的影響較小。圖6中3條曲線隨磁感應(yīng)強(qiáng)度增大而逐漸平行y軸,表明當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度足夠大時(shí),其對(duì)ω2的影響會(huì)顯著降低。圖6(c)中當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到某一值后3條曲線相交,表明當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度足夠大時(shí),ω2的大小與a02無(wú)關(guān)。

圖4 By與ω1之間的關(guān)系Fig.4 Relationship between By and ω1

圖5 c與ω1之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between c and ω1

圖6 By與ω2之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between By and ω2

圖7 c與ω2之間的關(guān)系Fig.7 Relationship between c and ω2

3.2 內(nèi)共振

對(duì)橫向磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)純鐵材料梁的內(nèi)共振特性進(jìn)行分析。梁物理參數(shù)見(jiàn)表1。

當(dāng)梁發(fā)生1 ∶1內(nèi)共振時(shí),由固有頻率表達(dá)式可知,當(dāng)梁長(zhǎng)和寬越接近相等,兩個(gè)方向振動(dòng)固有頻率越接近1 ∶1,故選擇梁橫截面面積A=b×h=0.03 m×0.03 m。

圖8～圖12給出了系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振時(shí)振幅a1和a2隨時(shí)間變化的曲線圖。圖(b)是圖(a)在時(shí)間段0～0.001 s的截圖,圖(c)是圖(a)在時(shí)間段0.05～0.051 s的截圖。從圖中可以看到系統(tǒng)的能量在a1和a2之間不斷的交換,發(fā)生了明顯的內(nèi)共振現(xiàn)象。對(duì)比圖8～圖10可以看出,當(dāng)軸向速度為40 m/s,60 m/s和80 m/s時(shí),局部放大圖變化微小,可知軸向速度對(duì)系統(tǒng)內(nèi)共振影響較小。對(duì)比圖8、圖11和圖12可以看出,當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.2 T,0.3 T和0.4 T時(shí),局部放大圖變化明顯,可知磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)內(nèi)共振影響顯著,且磁感應(yīng)強(qiáng)度越大,系統(tǒng)內(nèi)共振現(xiàn)象越不明顯。

圖8 振幅能量交換時(shí)程圖(By=0.2 T, c=40 m/s)Fig.8 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.2 T, c=40 m/s)

圖9 振幅能量交換時(shí)程圖(By=0.2 T, c=60 m/s)Fig.9 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.2 T, c=60 m/s)

圖10 振幅能量交換時(shí)程圖(By=0.2 T, c=80 m/s)Fig.10 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.2 T, c=80 m/s)

圖11 振幅能量交換時(shí)程圖(By=0.3 T, c=40 m/s)Fig.11 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.3 T, c=40 m/s)

圖12 振幅能量交換時(shí)程圖(By=0.4 T, c=40 m/s)Fig.12 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.4 T, c=40 m/s)

圖13 梁振動(dòng)的前12階模態(tài)Fig.13 First twelve modes of beam vibration

4 有限元分析

4.1 計(jì)算模態(tài)和固有頻率

利用ABAQUS有限元軟件軟件建立了梁的三維實(shí)體模型,將梁劃分為10 000個(gè)單元,單元類型為C3D8R。計(jì)算了梁振動(dòng)的前12階模態(tài),并求解出各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率。

由圖(13)可知梁的前9階振動(dòng)模態(tài)均為y方向和z方向的振動(dòng),第10階模態(tài)為沿著軸向的振動(dòng),第11階模態(tài)為沿著軸向的扭轉(zhuǎn),第12階模態(tài)又回到了y方向。圖14給出了各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率。

圖14 各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率Fig.14 Natural frequencies corresponding to each mode

4.2 理論解與數(shù)值模擬對(duì)比

表2給出了梁振動(dòng)固有頻率的理論解和數(shù)值解,的理論解為342.21 rad/s,數(shù)值解為321.69 rad/s,誤差為6.00%;ω2的理論解為501.11 rad/s,數(shù)值解為486.94 rad/s,誤差為2.83%。

表2 固有頻率理論解與數(shù)值模擬結(jié)果

經(jīng)對(duì)比可知,理論求解和有限元分析結(jié)果吻合較好。

5 結(jié) 論

本文研究了橫向磁場(chǎng)中做軸向運(yùn)動(dòng)鐵磁梁的雙向耦合固有振動(dòng)和內(nèi)共振,給出了洛倫茲力和磁體力偶表達(dá)式,利用哈密頓原理推導(dǎo)出了梁的振動(dòng)方程,進(jìn)一步研究梁1 ∶1內(nèi)共振問(wèn)題,并將理論解與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比。本文得到結(jié)論如下:

(1)推導(dǎo)出了磁場(chǎng)中做軸向運(yùn)動(dòng)鐵磁梁的非線性雙向耦合振動(dòng)方程以及梁在y方向和z方向振動(dòng)固有頻率的表達(dá)式。

(2)由固有頻率表達(dá)式(45)、式(46)可知,當(dāng)梁長(zhǎng)和寬越接近相等時(shí),系統(tǒng)將發(fā)生1 ∶1內(nèi)共振,求解了系統(tǒng)內(nèi)共振情況下的振幅和相位調(diào)制方程。

(3)梁固有頻率隨磁感應(yīng)強(qiáng)度和軸向速度的增大而減小,最終趨于一個(gè)常值。

(4)y方向和z方向振動(dòng)的固有頻率數(shù)值解與理論解誤差分別為6.00%和2.83%,兩者吻合較好。